Η αναζήτηση βρήκε 117 εγγραφές

από Datis-Kalali
Κυρ Μαρ 05, 2017 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2017
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1613

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/IMO, 2017

Πρόβλημα 1 Έστω $\displaystyle{x, y, z}$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{x+y+z\geqslant xyz}$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{xy}\geqslant\sqrt{3}}$ Έχουμε ότι $\displaystyle{x+y+z\geqslant xyz} \Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+...
από Datis-Kalali
Κυρ Μαρ 05, 2017 1:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 904

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

2) $\displaystyle{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2017}$ $\displaystyle{\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{1}{2017}$ $ab-2017a+2017b=0$ $(a-2017)(b-2017)=2017^2$ Αφου 2017 είναι πρώτος αριθμός, εχουμε της περιπτοσεις $a-2017=2017^2$ $a-2017=2017$ $a-2017=1$ $a-2017=-1$ $a-2017=-2017$ που απαγορεύεται $a-201...
από Datis-Kalali
Κυρ Μαρ 05, 2017 1:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 904

Re: Β΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2017

1) Έχουμε ότι $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3\alpha\beta\gamma$ Θα χρισημοπιασουμε το μεθοδο της εις άτοπον απαγωγής. $$ Αν $\dfrac{\gamma^2+\alpha^2}{\gamma\alpha}<2016$ $\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}<2016$ $\dfrac{\beta^2+\gamma^2}{\beta\gamma}<2016$ Τότε $\frac{\alpha^2 \beta+\bet...
από Datis-Kalali
Τετ Μαρ 01, 2017 6:38 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Καλή και ομορφη ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 829

Καλή και ομορφη ανισότητα

Αν a,b,c είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί,έτσι ώστε a+b+c=1 να δείξετε οτι \frac{1}{(a+b)^2} +\frac{1}{(c+b)^2} +\frac{1}{(a+c)^2} \le \frac{1}{(ab+ac+bc)^3}
από Datis-Kalali
Τετ Φεβ 22, 2017 8:38 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πρακτική ανάλυση Γ ΠΡΟΣΑΝ
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 461

Re: Πρακτική ανάλυση Γ ΠΡΟΣΑΝ

α) $y=mx^2$ τότε $m= \frac{b}{a^2}$ β) $y'=2mx =2 \cdot \frac{b}{a^2} \cdot a = \frac{2b}{a}$ τότε $y-b=\frac{2b}{a}(x-a) \Rightarrow y=\frac{2b}{a} \cdot x -b$ γ) Το εμβαδόν του ΟSA είναι$\int_0^a \frac{bx^2}{a^2} dx= \frac {ab}{3}$ Για το σημείο P: $y=\frac{2b}{a} \cdot x -b=0 \Rightarrow x=\frac{...
από Datis-Kalali
Τρί Φεβ 21, 2017 8:26 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1092

Re: Άθροισμα διαδοχικών ακεραίων

Γεια σας,
Αν ο αριθμός μας είναι n,
n=x+(x+1)+...+(x+8)=9x+36 \equiv 0 (mod) 9
n=y+(y+1)+...+(y+9)=10x+45=10k'+5 \equiv 5(mod 10) \equiv 0 (mod 5)
n=z+(z+1)+...+(z+10)=11z+55 \equiv 0 (mod 11)
Το ΕΚΠ[9,5,11]=495 \equiv 5 (mod 10)
Αρα min (n)=495
από Datis-Kalali
Κυρ Φεβ 12, 2017 9:10 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Καλή ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 716

Καλή ανισότητα

Αν a και b είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, έτσι ώστε a^2+b^2=a^9+b^9, να δείξετε οτι,
a^ {9002}+b^ {9002} \ge a^ {2009}+b^ {2009}
από Datis-Kalali
Σάβ Φεβ 11, 2017 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 10170

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 8 Juniors Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: $2a^2+ab+3a=b^2+12$ Η εξίσωση γράφεται , $b^2-ab-(2a^2+3a-12)=0$ Αφου $$ είναι θετικός ακέραιος, $\Delta=a^2+4(2a^2+3a-12)=(3a+2)^2-52=k^2$. $\Rightarrow$$(3a+k+2)(3a-k+2)=13\cdot 2^2$ Εχούμε ότι $(3a+k+2)\equiv(3a-k+2) (mod2)$ και $a>0$...
από Datis-Kalali
Παρ Φεβ 10, 2017 8:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Θεωρια αριθμων (Poland 1999)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1131

Θεωρια αριθμων (Poland 1999)

Αν m,n ειναι ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε mn \vert m^2+n^2+m,
Να αποδείξετε ότι m είναι τέλειο τετράγωνο.
από Datis-Kalali
Κυρ Φεβ 05, 2017 5:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Όμορφη ανισότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 895

Όμορφη ανισότητα

Αν a,b,c ειναι θετικοί πραγματικοί αριθμοι, έτσι ώστε ab+ac+bc=3, να αποδείξετε ότι¨
3+\frac {(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2} \ge \frac{c+a^2b^2}{a+b}+\frac{a+b^2c^2}{b+c}+\frac{b+c^2a^2}{c+a}
από Datis-Kalali
Σάβ Φεβ 04, 2017 1:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1159

ωραιο προβλημα θεωρια αριθμων (Ρουμανια 2005)

Να βρειτε ολα τα ζευγαρια των θετικων ακεριαων (x,y) που ικανοποιουν την εξησωση¨
3^x=2^x \cdot y +1
από Datis-Kalali
Δευ Ιαν 30, 2017 6:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1110

Θεωρια Αριθμων (Περσια 2005)

Αν a,b,c ειναι θετικοι ακεραιοι ετσι ωστε a,b \neq c. Να αποδειξειτε οτι υπαρχει απειροι πρωτοι αριθμοι p, ετσι ωστε υπαρχουν τουλαχιστον ενας θετικος ακεραιος n, για τον οποια ισχυει,
p\vert a^n+b^n-c^n
από Datis-Kalali
Δευ Ιαν 30, 2017 6:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 1125

Θεωρια αριθμων (Yugoslavia 2004)

Αν a,b,c ειναι ακεραιοι, ετσι ωστε N= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} ειναι επισης ακεπαραιος αριθμος. Να αποδειξειτε οτι a\cdot b\cdot c ειναι τελειος κυβος.

Δατης Καλαλη Γ'γυμνασιου, Κυπρος
από Datis-Kalali
Κυρ Ιαν 22, 2017 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1332

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO, 2017

Για το προβλημα 2 $\lambda^2+k^2 \vert k^3-2-(\lambda^3-2)=k^3-\lambda^3=(k-\lambda)(k^2+\lambda^2+\lambda k)$ Επειδη $\lambda^2+k^2$ ειναι πρωτος θα εχουμε $\lambda^2+k^2 \vert k-\lambda$ η $\lambda^2+k^2 \vert k^2+\lambda^2+\lambda k$. Τοτε $\lambda^2+k^2 \vert \lambda k$ που ειναι ατοπο επειδη κ,...
από Datis-Kalali
Τρί Δεκ 13, 2016 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1144

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Β΄Γυμνασίου Πρόβλημα 4 (γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S_2=\dfrac{1}{1\cdot 3}+\dfrac{1}{3\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 7}+\ldots+\dfrac{1}{2015\cdot 2017}}$ γ) Χρησιμοποιώντας την νοοτροποία του πρώτου βήματος πρέπει να βρούμε κατάλληλα $C$, $D$ ώστε: $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{C}{n}+ \fra...
από Datis-Kalali
Δευ Δεκ 12, 2016 5:53 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 1144

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Γυμνασίου (2016)

Για το προβλημα 3, Φερουμε την $\Delta Z$ παρραληλη προς την ευθεια $AB$. Το $Z\Delta$ και $A \Delta$ θα ειναι καθετες. Φερουμε την $ZK$ καθετη στην πλευρα $AB$. Τοτε το τετραπλευρο $\Delta AKZ$ ειναι ορθογωνιο παραλληλογραμο. $\Gamma \Delta Ζ=135^{\circ}$ και αρα $\Delta \Gamma Z=45^{\circ}$ και το...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση