Η αναζήτηση βρήκε 731 εγγραφές

από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 5:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 553

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 α) Βρείτε όλους τους πρώτους $p, q, r$ τέτοιους ώστε $3 \nmid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα. β) Υπάρχουν πρώτοι $p, q, r$ τέτοιοι ώστε $3 \mid p+q+r$ και οι αριθμοί $p+q+r$ και $pq+qr+rp+3$ να είναι τέλεια τετράγωνα; Ισχυρισμός: Αν $\rm p,q,r$ πρώτο...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 2:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 341

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 α) Βρείτε το άθροισμα όλων των τριψήφιων αριθμών που περιέχουν τουλάχιστον ένα περιττό και τουλάχιστον ένα άρτιο ψηφίο. β) Βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων ζευγών $(A, B)$ όπου $A, B$ υποσύνολα του συνόλου $\{1, 2, ... , 5\}$ για τα οποία δεν ισχύει ούτε $A\subseteq B$ ούτε $B\subseteq A.$...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Κυρ Απρ 05, 2020 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 341

Re: Τεστ Εξάσκησης (38), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Έστω $A B C D E F$ κυρτό εξάγωνο και σημείο $P$ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε τα τετράπλευρα $PABC$ και $P D E F$ να είναι ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με $PA = BC = PD = EF$ και $AB = PC = DE = PF.$ Η ευθεία $l$ διέρχεται από το μέσο του $AF$ και το περίκεντρο του τριγώνου $PCD.$ Να δείξετε ό...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 11:45 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Καθέτων ...γεννητούρια!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 259

Re: Καθέτων ...γεννητούρια!

Καλησπέρα σε όλους . Προς το παρόν δεν έχω "κλειδώσει" την απόδειξη του θέματος που ακολουθεί όμως... μένουμε μέσα στο περιβάλλον του :logo: , συνεπώς :) δεν πρέπει ν' ανησυχώ! 4-4 Καθέτων ..γεννητούρια.PNG Θεωρούμε το τρίγωνο $ABC$, το μέσον $O$ της $BC$ και τα σημεία $L,N$ της $BC$ ώστε να είναι ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 9:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανακλώμενη εφαπτομένη
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 590

Re: Ανακλώμενη εφαπτομένη

FB833=GEOMETRIA184.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC, \hat{A}=90^o$ γράφουμε το τεταρτοκύκλιο με κέντρο $A$ και ακτίνα το ύψος $AD$. Από (κατάλληλο) σημειο $P$ της υποτείνουσας $BC$ φέρουμε εφαπτομένη στο τετατροκύκλιο που "ανακλώμενη¨σε σημείο $S$ της $AB$ επανατέμνει την $BC$ στο $Q$. Δείξτε οτι : $B...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία από ισότητες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 176

Re: Παραλληλία από ισότητες

Παραλληλία από ισότητες.png $D, E$ είναι σημεία των πλευρών $AB, AC$ αντίστοιχα, τριγώνου $ABC$ για τα οποία $AD=AE$ και η $DE$ τέμνει τη διάμεσο $AM$ στο $F.$ Ορίζω τα σημεία $K$ στην $AB$ και $L$ στην $AC$ ώστε $AK=FE$ και $AL=DF.$ Να δείξετε ότι $KL||BC.$ Μια γρήγορη λύση προκύπτει από το γενικε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 12:57 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Δύο τα τετράγωνα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 236

Re: Δύο τα τετράγωνα

Δύο τα τετράγωνα..png Το $E$ είναι τυχαίο σημείο της διαγωνίου $BD$ τετραγώνου $ABCD$ και $K, L$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $AEB, AED$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι και το $AKEL$ είναι τετράγωνο. 1) Μέχρι την αλλαγή της ώρας και για οποιοδήποτε φάκελο! 2) Αν σας φαίνεται γνωστή μην σπεύσετε με π...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 1:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 335

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2020 (7η τάξη)

Πρόβλημα 3. Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται $6$ μήλα (όχι απαραίτητα ίδιου βάρους). Η Σοφία τοποθέτησε από $3$ σε κάθε πιατέλα ζυγού ισορροπίας και ο ζυγός ισορρόπησε. Η Αλεξάνδρα τοποθέτησε τα ίδια μήλα διαφορετικά: $2$ μήλα στη μία πιατέλα και $4$ στην άλλη και ο ζυγός πάλι ισορρόπησε. Να αποδείξετε ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Σάβ Απρ 04, 2020 12:19 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 539

Re: Τεστ Εξάσκησης (30), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Υπάρχουν ακέραιοι $x, y$ και $z$ ώστε $z^2 = (x^2 + 1)(y^2-1) + n$ αν (α) $n = 2006$ (β) $n = 2007$; (Γενικεύστε!) Για $\rm n=2006$ υπάρχουν λύσεις $\rm x=5,y=18,z=102$. Θα δείξω πως εν γένει για $\rm n\equiv 7 \pmod8$ η εξίσωση δεν έχει λύσεις(υποθέτω αυτό εννοεί το γενικεύστε ). Τα τετραγω...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 476

Re: Τεστ Εξάσκησης (26), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι. Φυσικά ερωτήματα που γεννιούνται : Να λυθεί η εξίσωση $36^k - 5^m=11.$ Ποια είναι η δεύτερη μικρότερη τιμή της παράστασης $|36^k - 5^m|,$ όπου $k$ και $m$ θετικοί ακέραιοι; (δεν έχω λύση) To έβαλα κ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 5:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 7 συντρέχουν
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 156

Re: 7 συντρέχουν

Προέκυψε σε προσπάθεια λύσης άλλης (Vietnam MO 2020 P4 day 1 για οποιον ενδιαφερεται). Έστω τρίγωνο $ABC$ και $O,H$ το περίκεντρο και το ορθόκεντρο αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι Euler των τριγώνων: $AOH, BOH, COH, AOB, AOC, BOC, ABC$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Σημείωση: Το σημείο αυτό...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 143
Προβολές: 15925

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 33: Αν $\displaystyle{a,\,b,\,c,\,d,\,e,\, f,\, g,\, h}$ είναι αναδιάταξη των $1,\,2,\,3, \, 4, \, 5, \, 6, \, 7,\, 8,$ ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός βαθμός που μπορεί να έχει το πολυώνυμο $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-(x-e)(x-f)(x-g)(x-h)$ ; Σχόλιο: Η άσκηση σε αλλιώτικη μορφή είναι ουσιαστικά λ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 11:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με ψηφία...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 956

Re: Με ψηφία...

Πρόδρομε, επειδή $(6,8) \neq 1$ δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί το Euler-Fermat για το $6^{7^8^9} \bmod 8$. Βγαίνει βέβαια άμεσα ότι $6^{7^8^9} \equiv 0 \bmod 8$. Έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη,ευτυχώς διορθώνεται εύκολα.Υπάρχουν και άλλα λάθη στην λύση μου,τα διορθώνω.(πάντως καταλήγει στο ίδιο αποτέλεσμα...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Παρ Απρ 03, 2020 1:17 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Με ψηφία...
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 956

Re: Με ψηφία...

Η μόνη πυθαγόρεια τριάδα με μονοψήφιους αριθμούς είναι η $3,4,5$. Άρα το τελευταίο ψηφίο του δοσμένου αριθμού πρέπει να είναι ένα από αυτά. Όμως ο αριθμός ισούται με $2$ σε περιττή δύναμη και άρα το τελευταίο ψηφίο του πρέπει να ισούται με $2$ ή $8$, άτοπο. Πολύ όμορφα κ. Δημήτρη! Ας το συνεχίσουμε...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 8:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 592

Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $n$ με διαιρέτες τους αριθμούς $\displaystyle{1=d_1<d_2<...<d_k=n}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{n^2 = d_{22}^2\left(d_7^2 + d_{10}^2 \right)}$ Μια απαίσια λύση :( Δείχνω πρώτα τα εξής $\rm i)\,\,\,\,2\mid n\,\,\,ii)\,\,\,3\mid n,\,\,\,\,iii)...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερό γινόμενο και τόπος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 187

Re: Σταθερό γινόμενο και τόπος

Σταθερό γινόμενο και τόπος.png Στη διάμετρο $AB$ ενός κύκλου $(O, r)$ θεωρούμε ένα σταθερό σημείο $S$ ώστε $AS=d$ και έστω $DE$ μία μεταβλητή χορδή που διέρχεται από το $S.$ Η εφαπτομένη του κύκλου στο $A$ τέμνει τις $BD, BE$ στα $M, N$ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο $MDEN$ είναι εγγρ...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Πέμ Απρ 02, 2020 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 318

Re: Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος

Χαιρετώ. Ίσα τμήματα και σταθερός λόγος.PNG Δίνεται το τρίγωνο $ABC$. Το σημείο $R$ διατρέχει την διχοτόμο $AD$ . Η κάθετη από το $R$ προς την $BC$ τέμνει την διάμεσο $AM$ στο $E$ και η παράλληλη από το $E$ προς την $BC$ τέμνει την $AB$ στο $Q$ και την $AC$ στο $F$. Ακόμη, ο κύκλος των $R,E,Q$ τέμν...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 598

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Αν $\displaystyle{\rm x,y,z>0}$ με $\displaystyle{\rm x+y+z=xy+yz+zx}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\rm \mathcal{F}=\frac{xy}{x+y}+\frac{yz}{z+y}+\frac{zx}{z+x}>1}$ και να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $\mathcal{F}.$ Θα δείξω πως $ \rm F_{max}=\dfrac{3}{2}$ (το $\dfrac{3}{2}$ δεν...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 598

Re: Τεστ Εξάσκησης (40), Μικροί

ΘΕΜΑ 2 Ο Γιώργος λέει αλήθεια κάποιες μέρες της εβδομάδας και ψέμματα τις υπόλοιπες, ακολουθώντας το ίδιο μοτίβο κάθε εβδομάδα (λέει δηλαδή την αλήθεια τις ίδιες μέρες κάθε εβδομάδας και ψέματα τις υπόλοιπες). Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας, ο Γιώργος είπε "αύριο θα πω ψέμματα" δύο μέρες και "αύρι...
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δευ Μαρ 30, 2020 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 592

Re: Τεστ Εξάσκησης (39), Μικροί

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε όλες τις πραγματικές λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{(x^2 + 3x + 1)^{x^2−x−6} = 1.}$ Γράφω μια αναλυτική λύση Οι περιπτώσεις είναι $\rm x^2+3x+1=1 ,x^2-x-6=0$ και η $\rm x^2+3x+1=-1$ με $\rm x^2-x-6$ άρτιο. $\rm x^2+3x+1=1 \Leftrightarrow x(x+3)=0 \Leftrightarrow x=0\,\,\,or\,\,...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση