Η αναζήτηση βρήκε 1055 εγγραφές

από kwstas12345
Παρ Ιουν 29, 2012 1:47 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία (21)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 256

Re: Ακολουθία (21)

Έστω $\displaystyle 0<a\leqslant 1$ τότε $\displaystyle \frac{n}{n+a^n}\geqslant \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+a^k}}\geqslant \frac{n}{n+a}$ και επειδή $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+a^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+a}=1\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^{n}{\...
από kwstas12345
Παρ Ιουν 29, 2012 12:52 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία (20)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 209

Re: Ακολουθία (20)

Παρατηρούμε ότι η ακολουθία $\displaystyle \exp(H_{n+1}) -\exp(H_{n})$ είναι αύξουσα. Πράγματι για να δειχθεί αυτό είναι αρκετό να ισχύει ότι: $\displaystyle \exp\left(\frac{1}{n} +\frac{1}{n+1} \right)+1 \geq 2\exp\left(1/n \right)$. Η συνάρτηση $\displaystyle f\left(n \right):=\exp\left(\frac{2n+1...
από kwstas12345
Πέμ Ιουν 28, 2012 9:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία (14)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Re: Ακολουθία (14)

Ένας άλλος τρόπος για να βρούμε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2011}}{n}$. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle a_{n+1}^{2011}-a_{n}^{2011}=2011(a_{n+1}-a_{n})\xi _{n}^{2010}=2011\left(\frac{\xi_{n}}{a_{n}} \right)^{2010}$. Όμως μιας και $\displaystyle a_{n}<\xi_{n} <a_{n+...
από kwstas12345
Πέμ Ιουν 28, 2012 9:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία (15)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 298

Re: Ακολουθία (15)

Έστω $\displaystyle y_{n}=a_{n}^{-1}$.Τότε ισχύει ότι: $\displaystyle y_{n+1} =y_{n} -y_{n+1}^3$. Yψώνοντας εις την $-2$ έχουμε ότι: $\displaystyle y_{n+1}^{-2} -y_{n}^{-2} =2+3y_{n}^2 +O(y_{n}^4)$. T'ότε επειδή $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (y_{n}^{-2} -y_{n}^{-2}) =2$. Άρα αθροίζοντας...
από kwstas12345
Πέμ Ιουν 28, 2012 4:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία (15)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 298

Re: Ακολουθία (15)

Eύκολα βλέπουμε πώς $\displaystyle a_{n}>1$ και ότι η ακολυθία είναι γνησίως αύξουσα μιας και $\displaystyle a_{n+1}-a_{n} =\frac{1}{a_{n}^2 -1} >0$ ,άρα υπάρχει το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$. Άν το όριο ήταν πεπερασμένο, έστω ίσο με $l$ , θα έπρεπε $\displaystyle l (l^2 ...
από kwstas12345
Δευ Ιουν 25, 2012 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος (26)
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 586

Re: Όριο αθροίσματος (26)

Άλλη μια λύση που είχα βρεί: Eύκολα γράφοντας τον $\displaystyle H_{n} =\int_{0}^{1} \frac{x^n -1}{x-1}$ λαμβάνουμε πώς: $\displaystyle 2^{-n}\sum_{k=1}^{n}{\binom{n}{k}H_{k}}=2^{-n}\int_{0}^{1}\frac{1}{x-1}{\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}\left(x^k -1 \right)}}dx=\int_{0}^{1}{\frac{1}{x-1}\left(\left(\f...
από kwstas12345
Πέμ Μάιος 31, 2012 10:57 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προκριματικός Διαγωνισμός Ε.Μ.Π για τον IMC 2012
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1526

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Ε.Μ.Π για τον IMC 2012

Μια λύση για το 4.Το πρώτο ερώτημα γενικά ισχύει για οποιοδήποτε χώρο, πραγματικό ,με εσωτερικό γινόμενο.Πράγματι άν το $\displaystyle \left\{u_{1},u_{2},...,u_{n} \right\}$ σύνολο είναι γραμμικώς εξαρτημένο τότε υπάρχει μη τετριμένος γραμμικός συνδυασμός που κάνει 0, άρα υπάρχει $\displaystyle x:=\...
από kwstas12345
Κυρ Μάιος 27, 2012 6:03 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αναδρομική ακολουθία (4)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 439

Re: Αναδρομική ακολουθία (4)

Ευκολα βλέπουμε πως η ακολουθία μας είναι γνισίως φθίνουσα , και επειδή είναι θετικών όρων θα συγκλίνει στην ρίζα της $\displaystyle x=xe^{-x^2 /4}\Rightarrow x=0$, άρα $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} x_{n}=0$.Όμως επειδή $\displaystyle e^x =1+x+\frac{x^2}{2}+O\left(x^3 \right)\Rightarrow ...
από kwstas12345
Τετ Μάιος 23, 2012 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ
Απαντήσεις: 57
Προβολές: 1943

Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

Ας ευχηθώ και εγω (αν και καθυστερημένα) χρόνια πολλά σε όλους όσους γιόρταζαν χτές.Σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας.Να είστε πάντα καλά!
από kwstas12345
Παρ Μάιος 18, 2012 9:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακες 10
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 246

Re: Πίνακες 10

Η απάντηση είναι για όλα τα $\displaystyle n\geqslant 3$.Στην περίπτωση $n=1$ είναι τετριμμένο.Για $n=2$ επειδή ο $AB$ είναι μηδενοδύναμος θα ισχύει $\displaystyle \chi _{AB}\left(x \right)=\chi _{BA}\left(x \right)=x^2\Rightarrow \left(BA \right)^2=O_{2}$. Για $n=3$ μετά από δοκιμές βρίσκω ότι για ...
από kwstas12345
Πέμ Μάιος 17, 2012 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακες 9
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 223

Re: Πίνακες 9

Από το θεώρημα Cayley-Hamilton ισχύει ότι $\displaystyle A^2 -cA+\det A I=O, B^2-cB+\det B I =0, c=tr A$.Τώρα πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με τον $B$ από αριστερά και δεξιά, και αφαιρώντας εύκολα βλέπουμε $\displaystyle A^2 B -BA^2 =c\left(AB-BA \right)$.Στην δευτερη σχέση πολλαπλασιάζοντας πάλι από ...
από kwstas12345
Κυρ Μάιος 13, 2012 4:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Υπολογισμός σθροίσματος (23) (αθροίζοντας ουρές)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 470

Re: Υπολογισμός σθροίσματος (23) (αθροίζοντας ουρές)

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\left(\log 2 +\sum_{k=1}^{n}{\frac{\left(-1 \right)^k}{k}} \right)}=N\log 2 +\sum_{n=1}^{N}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{\left(-1 \right)^{k}}{k}}}$ $\displaystyle =N\log 2+\sum_{k=1}^{N}{\sum_{n=k}^{N}{\frac{\left(-1 \right)^k}{k}}}=N\log 2+\sum_{k=1}^{N}{\frac...
από kwstas12345
Σάβ Μάιος 12, 2012 1:20 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Να αποδειχθεί ότι
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 514

Re: Να αποδειχθεί ότι

Θεωρώ ότι ο όρος για n=0 είναι ο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow 0}\left(1+n\log\frac{2n}{2n+2} +\log\frac{2n+1}{2n+2}\right)=\log\left(\frac{e}{2} \right)$.Άρα $\displaystyle \sum_{n=1}^{N}{\left(1+n\log\frac{2n}{2n+2} +\log\frac{2n+1}{2n+2}\right)}=\log\left(\frac{e}{2} \cdot e^{N}\cdot \prod_{n...
από kwstas12345
Πέμ Μάιος 10, 2012 11:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όρια με ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 214
Προβολές: 24052

Re: Όρια με ολοκληρώματα

Για το 81. Εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει $\displaystyle n\int_{0}^{1}{\frac{x^m}{x^n +a}}dx=\int_{0}^{1}{\frac{y^{\frac{m+1}{n}}}{y\left(y+a \right)}}=\frac{1}{a}\left(\int_{0}^{1}{y^{\frac{m+1}{n}-1}} dy-\int_{0}^{1}{\frac{y^{\frac{m+1}{n}}}{y+a}}dy\right)$ $\displaystyle =\frac{n}{a\left(m+1 \right)}...
από kwstas12345
Σάβ Μάιος 05, 2012 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 1998/1/1
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 306

Re: IMC 1998/1/1

Θεωρώ ότι κάθε γραμμικός τελεστής του $\displaystyle \mathcal{L}\left(V,V \right)$ παριστάνεται από τον πίνακα ως πρός κάποια βάση $\displaystyle \mathcal{B}$.Έπειδή $\displaystyle \dim U_{1}=3$ υπάρχει μια βάση $\displaystyle \left\{v_{1},v_{2},v_{3} \right\}$.Μπορώ να επεκτείνω την βάση αυτή σε μι...
από kwstas12345
Δευ Απρ 30, 2012 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 1997/1/3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 323

Re: IMC 1997/1/3

Μια λύση. Έστω $\displaystyle \omega =e^{\pi i/3}$, τότε παρατηρούμε ότι: $\displaystyle \left(A -\omega B \right)\left(A-\omega^{-1} B \right)=A^2 +B^2 -\omega^{-1} AB -\omega BA=\left(1-\omega^{-1} \right)AB-\omega BA$ $\displaystyle =\omega\left(AB-BA \right)$. Άρα $\displaystyle \det\left(A-\ome...
από kwstas12345
Δευ Απρ 30, 2012 12:01 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ανισότητα με ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 393

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Έχουμε ότι $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{t^{2k}}{k!}}=e^{t^{2}}$, συνεπώς $\displaystyle \int_{0}^{1}{e^{t^{2}}}dt=\int_{0}^{1}{}\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{t^{2k}}{k!}}dt=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(2k+1 \right)k!}}$. Επίσης $\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$, συνεπ...
από kwstas12345
Πέμ Απρ 26, 2012 4:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακες 7
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 194

Re: Πίνακες 7

Έστω $\displaystyle p\left(x \right)=\det\left(A+xB \right) \in \mathbb{R}_{2}\left[x \right]$ με $\displaystyle x \in \mathbb{C}$.Παρατηρούμε ότι επειδή οι πίνακες μετατίθενται έπεται ότι $\displaystyle \left(A+iB \right)\left(A-iB \right)=A^2+B^2$.Άρα ισχύει ότι: $\displaystyle \det\left(A^2+B^2 \...
από kwstas12345
Πέμ Απρ 26, 2012 3:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πίνακες 5
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 186

Re: Πίνακες 5

Παρατηρούμε αρχικά ότι: $\displaystyle AB^2 =A-B\Rightarrow A\left(B-I \right)\left(B+I \right)+B+I=I\Rightarrow$ $\displaystyle \left(AB-A+I \right)\left(B+I \right)=I$.Έπεται ότι $\displaystyle \left(B+I \right)^{-1}=AB-A+I$.Άρα $\displaystyle \left(B+I \right)\left(AB-A+I \right)=I\Rightarrow BAB...
από kwstas12345
Δευ Απρ 23, 2012 6:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 1996/1/3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 451

Re: IMC 1996/1/3

Το πρώτο ερώτημα είναι αρκετά απλό αφού ο τελεστής ικανοποιεί την σχέση: $\displaystyle A^2 =1_{V} \Rightarrow m_{A}\left(x \right)|x^2-1$.Σε κάθε περίπτωση το ελάχιστο πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle \left(x-1 \right)\left(x+1 \right),x-1, x+1$, άρα πάντα γινόμενο διακεκριμένων όρων, συνε...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση