Η αναζήτηση βρήκε 1055 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Ιαν 07, 2012 12:31 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο αθροίσματος
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 359
Re: Όριο αθροίσματος
Καλησπέρα και Καλή Χρονιά.Νομίζω πως το όριο βγαίνει εύκολα και με χρηση του κριτηρίου Cesaro-Stoltz, αφού η $\displaystyle a_{n}=n\sqrt{n}$ είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο $\displaystyle +\infty$ θα είναι : $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{k}}}{n\sqrt{n}}=\lim...
- Σάβ Δεκ 10, 2011 1:46 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ομάδα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 273
Re: Ομάδα
Άς το δουμε και κάπως αλλιώς.Αφού $\displaystyle a,b,c \geqslant 1$ τότε θέτουμε $\displaystyle a=\cosh x, b=\coh y, c=\cosh z, x,y,z>0$ από την γνωστή σχέση $\displaystyle \cosh^2 w-\sinh^2 w=1\Rightarrow \sin h w=\sqrt{\cosh^2{w}-1},w>0$. Tότε έχουμε $\displaystyle a \circ b=\cosh x \cosh y+\sinh ...
- Δευ Νοέμ 28, 2011 7:55 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 554
Re: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.
Γράφω μια λύση με μιγαδική. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{\coth\left(z \right)}{z^3}-\frac{1}{3z^2}-\frac{1}{z^4}, z\neq k \pi i , k \in \mathbb{Z}_{+}$ στο άνω ημικυκλιο $C$,ακτίνας $R$, στο οποίο είναι μερόμορφη. H συναρτησή μας αφού καντικαταστήσουμε την $\displayst...
- Δευ Νοέμ 28, 2011 3:04 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Άθροισμα Δυωνυμικών (2)
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 357
Re: Άθροισμα Δυωνυμικών (2)
Μια μεταμεσονύκτια λύση. Aρχικά μας φαίνεται αρκετά δύκολο να υπολογίσουμε κλειστό τύπο για την ακολουθία $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n-k}{k}}2^{k}$ για αυτό θα υπολογίσουμε και την γεννήτρια αυτής την $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n-k}{k}2^{k}x^{n}}}=\sum...
- Παρ Νοέμ 25, 2011 5:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Κλειστός τύπος για ακολουθία (1)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 250
Re: Κλειστός τύπος για ακολουθία
Νομίζω πως βρήκα μια λύση με γεννήτριες συναρτήσεις. Έστω $\displaystyle \left(a_{n} \right)_{n=0}^{\infty}$ η ακολουθία μας και $\displaystyle G\left(x \right):=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}}x^k$ η γεννήτρια συνάρτηση αυτής για όλα τα $x$ που συγκλίνει. Tότε παρατηρούμε ότι $\displaystyle G\left(x \rig...
- Δευ Νοέμ 21, 2011 1:53 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Πράξη!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 193
Re: Πράξη!
Προφανώς το $\displaystyle 1*2*3*...*2011=1$ αφού $\displaystyle 1*2=1,1*x=\frac{x+1}{x+1}=1$.\Για το δεύτερο ορίζουμε την ακολουθία $\displaystyle \left(a_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}: a_{2}=2,a_{n}=\frac{a_{n-1}+n}{na_{n-1}+1}$.Προφανώς ο $\displaystyle 2*3*...*2011$ είναι ο $a_{2011}$.Γενικότερ...
- Παρ Νοέμ 18, 2011 8:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Από τον Σάχη!
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 222
Re: Από τον Σάχη!
Παρατηρούμε ότι από την ανισότητα Caychy-Swarzt: $\displaystyle \left(\sum{x\sqrt{y}} \right)^2=\left(\sum{\sqrt{x}\sqrt{xy}} \right)^2\leqslant \sum{xy}\sum{x}$. Άρα $\displaystyle {\sum{x\sqrt{y}}}\leqslant \sqrt{\prod{\left(x+y \right)+xyz}}\leqslant \sqrt{\frac{9}{8}}\sqrt{\prod{\left(x+y \right...
- Τετ Νοέμ 16, 2011 5:27 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Πρωινό ολοκλήρωμα 4
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 404
Re: Πρωινό ολοκλήρωμα 4
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{1}{\left(e^z-z \right)^2+\pi^2}$, η οποία είναι μερόμορφη στο άνω ημιεπίπεδο, και έχει απλούς πόλους τις τις ρίζες που προκύπτουν από τον μηδενισμό του παρανομαστή.Έστω και το ημικύκλιο (θετικής φοράς) $\displaystyle \gamma:\left[0,\pi \ri...
- Παρ Νοέμ 11, 2011 9:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ζόρικη Ανισότητα (3)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 388
Re: Ζόρικη Ανισότητα (3)
Με πολλαπλασιαστές.Επειδή όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί του μηδενός, και λόγω ομιογένιας της παράστασης υποθέτουμε ότι $\displaystyle a+b+c=1$, και το σύνολο $\displaystyle U:=\left\{\left(a,b,c \right)\in \mathbb{R}^3:a+b+c=1, a,b,c \in \left[0,1 \right] \right\}$ είναι συμπαγές. Eπομένως η συ...
- Πέμ Νοέμ 10, 2011 12:10 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Πεδίο τιμών
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 396
Re: Πεδίο τιμών
Μια λύση, ελπίζω σωστή. Eπειδή έχουμε δυο σχέσεις θα απαλέιψουμε την πρώτη άρα η δεύτερη γίνεται: $\displaystyle a^2+b^2-a-b+ab=\frac{1}{2}, c=1-a-b$ και $\displaystyle F\left(a,b \right)=a^4+b^4+\left(1-a-b \right)^4$. Ο περιορισμός μας με τα $a,b$ ορίζει μια έλλειψη, άρα σε αυτή περίπτωση το σύνολ...
- Δευ Νοέμ 07, 2011 11:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 255
Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
Βλέπωντας το δεύτερο μήνυμα του κ. Βασίλη το πλήθος των αύξουσων απεικονίσεων $\displaystyle f:A\rightarrow B$ (με τους ορισμούς της παραπάνω δημοσιέυσης) είναι $\displaystyle \begin{bmatrix} m \\ k \end{bmatrix}=\binom{m+k-1}{k}$. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν παραπάνω από 1 στοιχεία $a_{i}$ τα οπο...
- Δευ Νοέμ 07, 2011 11:28 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 255
Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
Kaλησπέρα και από μένα, ξεκλέβοντας λίγο χρόνο, αναφέρω πως γενικά ο αριθμός των $\displaystyle 1-1$ απεικονίσεων $\displaystyle f:A\rightarrow B$ με $\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{k} \right\}$ και $\displaystyle B=\left\{b_{1},b_{2},...,b_{m} \right\}, m>k$, είναι $\displaystyle \binom{...
- Παρ Σεπ 23, 2011 3:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 498
Re: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)
Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα: Άν $\displaystyle p | a^2+b^2, a,b \in \mathbb{Z},p \in \mathbb{P}, p=4m+3,m \in \mathbb{N}\Longrightarrow$ $\displaystyle p|a \wedge p|b$. Άρα στην περιπτωσή μας επειδή (αφού ο $121$ διαιρεί τον $\displaystyle x^2+y^2$ θα τον διαρεί και ο $11$ ) $\displaystyle 11|...
- Παρ Σεπ 23, 2011 12:45 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Μια ανισότητα!
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1132
Re: Μια ανισότητα!
Από την ανισότητα Hoelder: $\displaystyle \sqrt[k]{\left(a+b+b+c+c+a \right)\left(\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a} \right)3^{k-2}}\geqslant$ $\displaystyle a+b+c\Rightarrow \sum{\frac{a^k}{a+b}}\geqslant \frac{\left(a+b+c \right)^k}{2\cdot 3^{k-2}\left(a+b+c \right)}= \frac{\left(a+b+...
- Πέμ Σεπ 22, 2011 5:00 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Γεννήτρια συνάρτηση
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1105
Re: Γεννήτρια συνάρτηση
Μια άλλη λύση για την αρχική που αντιμετωπίζει παρόμοια θέματα με αναγωγικές εξισώσεις. Αρχικά η γεννήτρια συνάρτηση της $\displaystyle f\left(m,n \right)$ είναι $\displaystyle \mathcal{F}_{m}\left(t \right)=\sum_{n=0}^{\infty}{f\left(m,n\right)}t^k$. Πολλαπλασιάζουμε την αρχική αναγωγική σχέση με $...
- Δευ Σεπ 19, 2011 5:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Πρόβλημα του Γαλιλαίου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 378
Re: Πρόβλημα του Γαλιλαίου
Μια άλλη γνωστή μέθοδος, χρησιμοποιεί την αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού και είναι ιδιαιτερα διδακτική. Άς πούμε $\displaystyle x_{i} \in \left\{1,2,...,6 \right\}$ την ένδειξη του ζαριού. Ουσιαστικά o $\displaystyle \mathcal {H}\left(n,k \right)$ είναι το πλήθος των θετικών και ακέραιων λύσεων της...
- Κυρ Σεπ 18, 2011 10:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Στερεομετρία (Ελπίζω να μην είναι γνωστή!)
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1831
Re: Στερεομετρία (Ελπίζω να μην είναι γνωστή!)
To εμβαδό από τα δύο καπελάκια το οπόίο απομένει και είναι αυτό πους μας ενδιαφέρει μπορεί να υπολογισθεί και με την βοήθεια τριπλών ολοκληρωμάτων. Tοποθετούμε στον χώρο την σφαίρα. έτσι ώστε το $\displaystyle \left(0,0,0 \right)$ να είναι το κέντρο της σφαίρας με εξίσωση πλέον: $\displaystyle x^2+y...
- Κυρ Σεπ 18, 2011 8:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Αγορά απορρυπαντικού
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 399
Re: Αγορά απορρυπαντικού
Δημήτρη, νομίζω πως μετράει για ένα απορυπαντικό.
- Κυρ Σεπ 18, 2011 1:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Αγορά απορρυπαντικού
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 399
Αγορά απορρυπαντικού
Καθε απορρυπαντικό τύπου $TIDE$ περιέχει ένα κουπόνι πάνω στο οποίο αναγράφεται ένα από τα γράμματα $T,I,D,E$.Άν ο πελάτης συγκεντρώσει όλα τα γράμματα της λέξης $TIDE$ παίρνει ένα πακέτο δωρεάν.Nα βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει $i$ πακέτα, όπου $\displaystyle i=0,1,2$ ένα άτομο που αγοράζει $8$ ...
- Κυρ Σεπ 18, 2011 1:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Πρόβλημα του Γαλιλαίου
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 378
Πρόβλημα του Γαλιλαίου
Έστω $\displaystyle \mathcal{H}\left(n,k \right)$ ο αριθμός των δυνατών αποτελεσμάτων ρίψης $n$ διακεκριμένων κύβων σε καθένα από τα οποία το άθροισμα των εδρών είναι ίσο με $k$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \mathcal{H}\left(n,k \right)=\sum_{m=0}^{s}{\left(-1 \right)^m \binom{n}{m}\binom{k-6m-...