Η αναζήτηση βρήκε 1055 εγγραφές

από kwstas12345
Σάβ Ιαν 07, 2012 12:31 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο αθροίσματος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 348

Re: Όριο αθροίσματος

Καλησπέρα και Καλή Χρονιά.Νομίζω πως το όριο βγαίνει εύκολα και με χρηση του κριτηρίου Cesaro-Stoltz, αφού η $\displaystyle a_{n}=n\sqrt{n}$ είναι γνησίως αύξουσα και έχει όριο $\displaystyle +\infty$ θα είναι : $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}{\sqrt{k}}}{n\sqrt{n}}=\lim...
από kwstas12345
Σάβ Δεκ 10, 2011 1:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ομάδα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 266

Re: Ομάδα

Άς το δουμε και κάπως αλλιώς.Αφού $\displaystyle a,b,c \geqslant 1$ τότε θέτουμε $\displaystyle a=\cosh x, b=\coh y, c=\cosh z, x,y,z>0$ από την γνωστή σχέση $\displaystyle \cosh^2 w-\sinh^2 w=1\Rightarrow \sin h w=\sqrt{\cosh^2{w}-1},w>0$. Tότε έχουμε $\displaystyle a \circ b=\cosh x \cosh y+\sinh ...
από kwstas12345
Δευ Νοέμ 28, 2011 7:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 514

Re: Αποτέλεσμα ολοκληρώματος με την σταθερά Apéry.

Γράφω μια λύση με μιγαδική. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{\coth\left(z \right)}{z^3}-\frac{1}{3z^2}-\frac{1}{z^4}, z\neq k \pi i , k \in \mathbb{Z}_{+}$ στο άνω ημικυκλιο $C$,ακτίνας $R$, στο οποίο είναι μερόμορφη. H συναρτησή μας αφού καντικαταστήσουμε την $\displayst...
από kwstas12345
Δευ Νοέμ 28, 2011 3:04 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Άθροισμα Δυωνυμικών (2)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 353

Re: Άθροισμα Δυωνυμικών (2)

Μια μεταμεσονύκτια λύση. Aρχικά μας φαίνεται αρκετά δύκολο να υπολογίσουμε κλειστό τύπο για την ακολουθία $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n-k}{k}}2^{k}$ για αυτό θα υπολογίσουμε και την γεννήτρια αυτής την $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n-k}{k}2^{k}x^{n}}}=\sum...
από kwstas12345
Παρ Νοέμ 25, 2011 5:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Κλειστός τύπος για ακολουθία (1)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 246

Re: Κλειστός τύπος για ακολουθία

Νομίζω πως βρήκα μια λύση με γεννήτριες συναρτήσεις. Έστω $\displaystyle \left(a_{n} \right)_{n=0}^{\infty}$ η ακολουθία μας και $\displaystyle G\left(x \right):=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}}x^k$ η γεννήτρια συνάρτηση αυτής για όλα τα $x$ που συγκλίνει. Tότε παρατηρούμε ότι $\displaystyle G\left(x \rig...
από kwstas12345
Δευ Νοέμ 21, 2011 1:53 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πράξη!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 189

Re: Πράξη!

Προφανώς το $\displaystyle 1*2*3*...*2011=1$ αφού $\displaystyle 1*2=1,1*x=\frac{x+1}{x+1}=1$.\Για το δεύτερο ορίζουμε την ακολουθία $\displaystyle \left(a_{n} \right)_{n \in \mathbb{N}}: a_{2}=2,a_{n}=\frac{a_{n-1}+n}{na_{n-1}+1}$.Προφανώς ο $\displaystyle 2*3*...*2011$ είναι ο $a_{2011}$.Γενικότερ...
από kwstas12345
Παρ Νοέμ 18, 2011 8:25 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Από τον Σάχη!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 218

Re: Από τον Σάχη!

Παρατηρούμε ότι από την ανισότητα Caychy-Swarzt: $\displaystyle \left(\sum{x\sqrt{y}} \right)^2=\left(\sum{\sqrt{x}\sqrt{xy}} \right)^2\leqslant \sum{xy}\sum{x}$. Άρα $\displaystyle {\sum{x\sqrt{y}}}\leqslant \sqrt{\prod{\left(x+y \right)+xyz}}\leqslant \sqrt{\frac{9}{8}}\sqrt{\prod{\left(x+y \right...
από kwstas12345
Τετ Νοέμ 16, 2011 5:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Πρωινό ολοκλήρωμα 4
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 394

Re: Πρωινό ολοκλήρωμα 4

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle f\left(z \right)=\frac{1}{\left(e^z-z \right)^2+\pi^2}$, η οποία είναι μερόμορφη στο άνω ημιεπίπεδο, και έχει απλούς πόλους τις τις ρίζες που προκύπτουν από τον μηδενισμό του παρανομαστή.Έστω και το ημικύκλιο (θετικής φοράς) $\displaystyle \gamma:\left[0,\pi \ri...
από kwstas12345
Παρ Νοέμ 11, 2011 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ζόρικη Ανισότητα (3)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 384

Re: Ζόρικη Ανισότητα (3)

Με πολλαπλασιαστές.Επειδή όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί του μηδενός, και λόγω ομιογένιας της παράστασης υποθέτουμε ότι $\displaystyle a+b+c=1$, και το σύνολο $\displaystyle U:=\left\{\left(a,b,c \right)\in \mathbb{R}^3:a+b+c=1, a,b,c \in \left[0,1 \right] \right\}$ είναι συμπαγές. Eπομένως η συ...
από kwstas12345
Πέμ Νοέμ 10, 2011 12:10 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πεδίο τιμών
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 392

Re: Πεδίο τιμών

Μια λύση, ελπίζω σωστή. Eπειδή έχουμε δυο σχέσεις θα απαλέιψουμε την πρώτη άρα η δεύτερη γίνεται: $\displaystyle a^2+b^2-a-b+ab=\frac{1}{2}, c=1-a-b$ και $\displaystyle F\left(a,b \right)=a^4+b^4+\left(1-a-b \right)^4$. Ο περιορισμός μας με τα $a,b$ ορίζει μια έλλειψη, άρα σε αυτή περίπτωση το σύνολ...
από kwstas12345
Δευ Νοέμ 07, 2011 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 247

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

Βλέπωντας το δεύτερο μήνυμα του κ. Βασίλη το πλήθος των αύξουσων απεικονίσεων $\displaystyle f:A\rightarrow B$ (με τους ορισμούς της παραπάνω δημοσιέυσης) είναι $\displaystyle \begin{bmatrix} m \\ k \end{bmatrix}=\binom{m+k-1}{k}$. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν παραπάνω από 1 στοιχεία $a_{i}$ τα οπο...
από kwstas12345
Δευ Νοέμ 07, 2011 11:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 247

Re: Συνδυασμοί γνήσια αυξουσών συναρτήσεων

Kaλησπέρα και από μένα, ξεκλέβοντας λίγο χρόνο, αναφέρω πως γενικά ο αριθμός των $\displaystyle 1-1$ απεικονίσεων $\displaystyle f:A\rightarrow B$ με $\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},...,a_{k} \right\}$ και $\displaystyle B=\left\{b_{1},b_{2},...,b_{m} \right\}, m>k$, είναι $\displaystyle \binom{...
από kwstas12345
Παρ Σεπ 23, 2011 3:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 493

Re: Μια προτεινόμενη από τον Θ. Μπόλη (από πολύ παλιά)

Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής λήμμα: Άν $\displaystyle p | a^2+b^2, a,b \in \mathbb{Z},p \in \mathbb{P}, p=4m+3,m \in \mathbb{N}\Longrightarrow$ $\displaystyle p|a \wedge p|b$. Άρα στην περιπτωσή μας επειδή (αφού ο $121$ διαιρεί τον $\displaystyle x^2+y^2$ θα τον διαρεί και ο $11$ ) $\displaystyle 11|...
από kwstas12345
Παρ Σεπ 23, 2011 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ανισότητα!
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 1111

Re: Μια ανισότητα!

Από την ανισότητα Hoelder: $\displaystyle \sqrt[k]{\left(a+b+b+c+c+a \right)\left(\frac{a^k}{a+b}+\frac{b^k}{b+c}+\frac{c^k}{c+a} \right)3^{k-2}}\geqslant$ $\displaystyle a+b+c\Rightarrow \sum{\frac{a^k}{a+b}}\geqslant \frac{\left(a+b+c \right)^k}{2\cdot 3^{k-2}\left(a+b+c \right)}= \frac{\left(a+b+...
από kwstas12345
Πέμ Σεπ 22, 2011 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Γεννήτρια συνάρτηση
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1091

Re: Γεννήτρια συνάρτηση

Μια άλλη λύση για την αρχική που αντιμετωπίζει παρόμοια θέματα με αναγωγικές εξισώσεις. Αρχικά η γεννήτρια συνάρτηση της $\displaystyle f\left(m,n \right)$ είναι $\displaystyle \mathcal{F}_{m}\left(t \right)=\sum_{n=0}^{\infty}{f\left(m,n\right)}t^k$. Πολλαπλασιάζουμε την αρχική αναγωγική σχέση με $...
από kwstas12345
Δευ Σεπ 19, 2011 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πρόβλημα του Γαλιλαίου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 370

Re: Πρόβλημα του Γαλιλαίου

Μια άλλη γνωστή μέθοδος, χρησιμοποιεί την αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού και είναι ιδιαιτερα διδακτική. Άς πούμε $\displaystyle x_{i} \in \left\{1,2,...,6 \right\}$ την ένδειξη του ζαριού. Ουσιαστικά o $\displaystyle \mathcal {H}\left(n,k \right)$ είναι το πλήθος των θετικών και ακέραιων λύσεων της...
από kwstas12345
Κυρ Σεπ 18, 2011 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Στερεομετρία (Ελπίζω να μην είναι γνωστή!)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1710

Re: Στερεομετρία (Ελπίζω να μην είναι γνωστή!)

To εμβαδό από τα δύο καπελάκια το οπόίο απομένει και είναι αυτό πους μας ενδιαφέρει μπορεί να υπολογισθεί και με την βοήθεια τριπλών ολοκληρωμάτων. Tοποθετούμε στον χώρο την σφαίρα. έτσι ώστε το $\displaystyle \left(0,0,0 \right)$ να είναι το κέντρο της σφαίρας με εξίσωση πλέον: $\displaystyle x^2+y...
από kwstas12345
Κυρ Σεπ 18, 2011 8:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αγορά απορρυπαντικού
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 391

Re: Αγορά απορρυπαντικού

Δημήτρη, νομίζω πως μετράει για ένα απορυπαντικό.
από kwstas12345
Κυρ Σεπ 18, 2011 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Αγορά απορρυπαντικού
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 391

Αγορά απορρυπαντικού

Καθε απορρυπαντικό τύπου $TIDE$ περιέχει ένα κουπόνι πάνω στο οποίο αναγράφεται ένα από τα γράμματα $T,I,D,E$.Άν ο πελάτης συγκεντρώσει όλα τα γράμματα της λέξης $TIDE$ παίρνει ένα πακέτο δωρεάν.Nα βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει $i$ πακέτα, όπου $\displaystyle i=0,1,2$ ένα άτομο που αγοράζει $8$ ...
από kwstas12345
Κυρ Σεπ 18, 2011 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πρόβλημα του Γαλιλαίου
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 370

Πρόβλημα του Γαλιλαίου

Έστω $\displaystyle \mathcal{H}\left(n,k \right)$ ο αριθμός των δυνατών αποτελεσμάτων ρίψης $n$ διακεκριμένων κύβων σε καθένα από τα οποία το άθροισμα των εδρών είναι ίσο με $k$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \mathcal{H}\left(n,k \right)=\sum_{m=0}^{s}{\left(-1 \right)^m \binom{n}{m}\binom{k-6m-...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση