Η αναζήτηση βρήκε 7664 εγγραφές

από Demetres
Πέμ Αύγ 01, 2019 1:57 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1284

Re: IMC 2019

Καλές επιτυχίες! Λείπω αυτές τις μέρες σε συνέδριο στη βροχερή :furious: Αγγλία και δεν είχα χρόνο ακόμη να κοιτάξω προσεκτικά τα προβλήματα.
από Demetres
Κυρ Ιούλ 28, 2019 12:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Άθροισμα κυβικών ριζών
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 466

Re: Άθροισμα κυβικών ριζών

Προφανώς ο κύριος Χρήστος και ο Αποστόλης μιλάνε για το δεύτερο υπόριζο που είναι αρνητικό... Απλά μάλλον η άσκηση είναι από το εξωτερικό :D Όχι δε μιλάω για αυτό. Αυτό δε με πειράζει καθόλου. Σε τέτοιες ασκήσεις πάντα ελέγχω το αποτέλεσμα με το Wolfram .. Εδώ μου δίδει: Screenshot_2019-07-28 Wolfr...
από Demetres
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:19 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Τι είναι το μοναδικό αντίστροφο modulo m
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 290

Re: Τι είναι το μοναδικό αντίστροφο modulo m

Για παράδειγμα το $3$ είναι αντίστροφο του $2$ modulo $5$ επειδή $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \bmod 5$. To $8$ είναι επίσης αντίστροφο του $2$ modulo $5$ επειδή $2 \cdot 8 = 16 \equiv 1 \bmod 5$. Όμως $3 \equiv 8 \bmod 5$. Επιπλέον αν $x$ είναι ένα αντίστροφο του $2$ modulo $5$ τότε μπορούμε να δείξουμε ...
από Demetres
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη σχέσης διάταξης
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 413

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Φαντάζομαι εννοείς σχέση μερικής διάταξης (partial order).

Μπορείς να μας πεις τι έχεις κάνει μέχρι στιγμής και που δυσκολεύεσαι;
από Demetres
Τετ Ιούλ 24, 2019 5:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 218

Re: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Λοιπόν, θα σου δείξω πως να βρεις την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα $u = 1+i$ και $v = 2-i$ ώστε να έχεις ένα παράδειγμα. Θα σου δείξω δύο τρόπους. Πρώτος Τρόπος Μια διεύθυνση της ευθείας είναι η $w = u-v = -1+2i$. Άρα η ευθεία μπορεί να γραφτεί στη μορφή $z = u + tw = (1+i) + t(-1+2i)$ με ...
από Demetres
Παρ Ιούλ 05, 2019 6:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Πρόβλημα με ακεραίους
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 268

Re: Πρόβλημα με ακεραίους

Είναι γνωστό ότι ο e^m είναι άρρητος για m \in \{1,2,\ldots}. Από την στιγμή που το έχουμε αυτό η άσκηση είναι ουσιαστικά τετριμμένη αφού αν \ln(n) = m, με n θετικό ακέραιο και m μη αρνητικό ακέραιο, τότε e^m = n που δίνει m=0 και n=1.
από Demetres
Τρί Ιούλ 02, 2019 8:44 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Συνδυαστική ταυτότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 364

Re: Συνδυαστική ταυτότητα

Βάζω μια σύντομη λύση αν και δεν είναι η αρχική μου απόδειξη. Ισοδύναμα, θέτοντας $m = n-k$, θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle \sum_{i=0}^m (-1)^i \binom{m}{i} \frac{(k+1)(k+2) \cdots (k+m+1)}{m!(k+i+1)} = 1$ το οποίο είναι προφανές (λέμε τώρα) αφού το αριστερό μέλος είναι το πολυώνυμο παρεμβολ...
από Demetres
Πέμ Ιουν 27, 2019 11:33 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 798

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3

ΘΕΜΑ 2. Δέκα αριθμοί επιλέγονται από τους $1,2,3,\ldots, 37.$ Να δειχθεί ότι μπορούμε να επιλέξουμε τέσσερις διακεκριμμένους αριθμούς από αυτούς τους δέκα, έτσι ώστε το άθροισμα δύο εξ αυτών να ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο. (δεν είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση) Έστω $a,a+d_1,a+d_1,.......
από Demetres
Τετ Ιουν 26, 2019 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ . (Δείτε την τελευταία γραμμή.) Υπάρχουν άλλοι; OXI, διότι η ύπαρξη ενός μαύρου τετραγώνου σε οποιοδήποτε από τα λευκά τετράγωνα του Διονύση, και σε χρωματισμό με μέγιστο αριθμό μαύρων τετραγώνων, θα επέτρεπε έναν χρωματισμό με περισσότερα μαύρα τετράγωνα ....
από Demetres
Τετ Ιουν 26, 2019 2:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

αρχιμήδης έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 1:48 pm
Τα αποτελέσματα από την jbmo ξέρει κανείς πότε θα αναρτηθούν στην επίσημη σελίδα;
Είναι ήδη αναρτημένα εδώ.
από Demetres
Τετ Ιουν 26, 2019 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση στο μέσο όρο.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 555

Re: Σύγκλιση στο μέσο όρο.

Έστω $X_1,X_2,\ldots$ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές οι οποίες παίρνουν την τιμή $1$ με πιθανότητα $c$ και την τιμή $0$ με πιθανότητα $1-c$. Έστω $Y_n = \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}$. Τότε $\displaystyle P\left(Y_n < c\right) = \sum_{i < nc} \binom{n}{i}c^i(1-c)^{n-i}$ και $\displaystyle P\left(Y_n \geq...
από Demetres
Τετ Ιουν 26, 2019 11:33 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για seemous
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 428

Re: Προετοιμασία για seemous

Το (Ι) είναι το θεώρημα Lucas. (Υπάρχει απόδειξη με γεννήτριες συναρτήσεις στο σύνδεσμο.) Το (ΙΙ) είναι ασφαλώς άμεση συνέπεια του (Ι). Είναι επίσης και συνέπεια του θεωρήματος Kummer
από Demetres
Τετ Ιουν 26, 2019 11:26 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 595

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4

ΘΕΜΑ 2. Να δειχθεί ότι για κάθε θετικό ακέραιο $n$ υπάρχει ένα πολλαπλάσιο του $n$ το οποίο έχει άθροισμα ψηφίων ίσο με $n$. Γράφουμε $n = 2^a \cdot 5^b \cdot m$ όπου $a,b$ μη αρνητικοί ακέραιοι και $m$ θετικός ακέραιος με $(m,10)=1$. Τότε $10^{k\varphi(m)} \equiv 1 \bmod m$ για κάθε θετικό ακέραιο...
από Demetres
Τρί Ιουν 25, 2019 8:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 798

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3

Πολύ ωραία τα test σου Αχιλλέα! Ήταν τυχερός ο Θάνος που είχε τη βοήθειά σου! Ως Πρόεδρος της Problem Solving Committee προτίμησα να μην ασχοληθώ με τα test σου πριν το διαγωνισμό μήπως και κάποια λύση που θα έβαζα εμπεριείχε ιδέες παρόμοιες με λύσεις θεμάτων που προτάθηκαν. Τώρα όμως μπορώ ελεύθερα...
από Demetres
Δευ Ιουν 24, 2019 1:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

Αυτός είναι ο χρωματισμός του Διονύση εδώ. (Δείτε την τελευταία γραμμή.)

Υπάρχουν άλλοι;
από Demetres
Δευ Ιουν 24, 2019 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

Altrian έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 12:04 pm
Demetres έγραψε:
Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am
Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.
Καλημέρα.Επισυνάπτω μια λύση. Υπάρχουν και άλλες ισοδύναμες.
Δεν είναι σωστή. Υπάρχουν κελιά με τρεις μαύρους γείτονες.
από Demetres
Δευ Ιουν 24, 2019 10:33 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

silouan έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2019 6:28 pm
Προφανώς η συνάρτηση f(x)=x^4-2019x-c είναι γνήσια φθίνουσα και μετά γνήσια αύξουσα, οπότε έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες,
Μπορούμε εδώ να χρησιμοποιήσουμε και τον κανόνα προσήμων του Descartes για να δούμε ότι το πολυώνυμο έχει ακριβώς μία θετική και ακριβώς μία αρνητική ρίζα.
από Demetres
Δευ Ιουν 24, 2019 10:30 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

Γενίκευση για το 4: Βρείτε όλους τους δυνατούς χρωματισμούς με 302 μαύρα κελιά.
από Demetres
Δευ Ιουν 24, 2019 10:22 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2019
Απαντήσεις: 48
Προβολές: 3704

Re: JBMO 2019

Η Κυπριακή αποστολή κατέκτησε τέσσερα χάλκινα μετάλλια με τους:

Κυριάκο Τσιαννή
Μιχάλη Χριστοφή
Παναγιώτη Χατζηκώστα
Δανάη Μακρίδου

Επίσης από την δεύτερη μας ομάδα χάλκινο μετάλλιο κατέκτησε ο:

Ραφαήλ Στυλιανιού
από Demetres
Πέμ Ιουν 20, 2019 7:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 604

Re: Αρχή αναλυτικής συνεχίσεως

Πες μας επίσης γιατί η $\displaystyle f(z) = \tfrac{z}{2}\left(1 + \cos\left( \tfrac{\pi}{z} \right) \right)$ δεν μας κάνει για το Β. (Θέτουμε επίσης $f(0) = 0$.) Συγχωρέστε με αν πω πατάτα, αν δείξουμε ότι η f δεν είναι μιγαφικώς παραγωγίσιμη στο 0 δεν έχουμε απαντήσει? Ναι, αυτό πρέπει να δείξεις...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση