Η αναζήτηση βρήκε 7739 εγγραφές

από Demetres
Τρί Σεπ 17, 2019 3:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Παραγωγίσιμες και συνεχείς
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 533

Re: Παραγωγίσιμες και συνεχείς

Διαφορετικά. Έστω $t \neq 0$. Τότε $\displaystyle f(x+2t) - f(x+t) = tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right)$ και $\displaystyle f(x+3t) - f(x) = 3tf'\left( \tfrac{2x+3t}{2}\right).$ Άρα $\displaystyle f(x+3t) - 3f(x+2t) + 3f(x+t) - f(x) = 0$ για κάθε $x$ και κάθε $t \neq 0$. Προφανώς ισχύει και για $t=0$...
από Demetres
Τρί Σεπ 17, 2019 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυμεταβλητή ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 417

Re: Πολυμεταβλητή ισότητα

Ας το δούμε και γεωμετρικά. Έστω $x,y,z \geqslant 0$ ώστε να ισχύει η ισότητα. Θεωρούμε στον χώρο τα σημεία $O = (0,0,0), A = (\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}), B = (\sqrt{x},2\sqrt{y},2\sqrt{z})$ και $C = (\sqrt{x},2\sqrt{y},3\sqrt{z})$. Τότε $(OA) = \sqrt{x+y+z}, (AB) = \sqrt{y+z}, (BC) = \sqrt{z}$ και...
από Demetres
Τρί Σεπ 17, 2019 2:57 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Σύγκλιση Ακολουθίας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 217

Re: Σύγκλιση Ακολουθίας

Η απάντηση είναι όχι και στο δύο. Είναι πολύ βασικό όμως να κατανοήσεις τους λόγους. Μπορείς τώρα που ξέρεις ότι οι απαντήσεις είναι όχι να σκεφτείς και να μας πεις γιατί;
από Demetres
Δευ Σεπ 16, 2019 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Δύναμη του τρία;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 283

Re: Δύναμη του τρία;

Summand έγραψε:
Δευ Σεπ 16, 2019 5:26 am
Καλησπέρα!


Η απάντηση είναι όχι!


Η προς απόδειξη σχέση γράφεται (x+y)(2x+y)=3^{2019}.

Κάπως πιο σύντομα από εδώ. Πρέπει τα x+y,2x+y να είναι και τα δύο δυνάμεις του 3. Αλλά x+y < 2x+y < 3(x+y), άτοπο.
από Demetres
Παρ Σεπ 13, 2019 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ένα επικαμπύλιο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 301

Re: Ένα επικαμπύλιο

Από Taylor μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_nz^n$ με την σύγκλιση να είναι ομοιόμορφη στον δίσκο $|z| < 2$. Τότε έχουμε: $\displaystyle \frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \frac{\overline{f(z)}}{z-\alpha} \,\mathrm{d}z =\frac{1}{2\pi i }\oint_{|z|=1} \sum_{n=0}^{\infty} \f...
από Demetres
Πέμ Σεπ 12, 2019 12:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Παλινδρομική εβδομάδα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 406

Re: Παλινδρομική εβδομάδα

Χμ, γιατί όχι και από τις 20 μέχρι τις 29 Ιανουαρίου 2021;
από Demetres
Τετ Σεπ 11, 2019 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή με f,g
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 980

Re: Συναρτησιακή με f,g

Καλησπέρα και πάλι και ευχαριστώ για την βοήθεια! Θεωρώ πως έχω καταλήξει σε μια λύση, αισθάνομαι όμως πως υπάρχουν ακόμη ορισμένα "μελανά σημεία" στη λύση μου. Αν $g(y+1)\neq 1$ τότε επιλέγοντας όπως μου είπατε $\frac{g(y)}{g(y+1)-1}\rightarrow x$ έχουμε $xg(y+1)=x+g(y),(7)$ Για $x=1$ στην $(7)$ Γ...
από Demetres
Τετ Σεπ 11, 2019 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέμα: Διανυσματικοί χώροι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 385

Re: Διανυσματικοί χώροι

Ας αποδείξουμε πρώτα το τελευταίο. Από το θεώρημα rank-nullity καθώς και το γεγονός ότι $\mathrm{Ker}(f_{i}) = \mathrm{Im}(f_{i-1})$ για κάθε $i$, έχουμε $\displaystyle \dim(V_i) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Ker}(f_i)) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Im}(f_{i-1}))$ Άρα τηλεσκοπικά...
από Demetres
Τετ Σεπ 11, 2019 3:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Κάτω φράγμα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 214

Re: Κάτω φράγμα

Όπως ανέφερε και ο Μιχάλης είναι ουσιαστικά ίδια με αυτήν εδώ.
από Demetres
Δευ Σεπ 09, 2019 8:11 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1627

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{N}^*}$ και $\displaystyle{A=\frac{\alpha^3+1}{\beta+1}+\frac{\beta^3+1}{\alpha+1} \in\mathbb{N}^*}$. Να δειχτεί ότι οι αριθμοί $\displaystyle{\frac{\alpha^3+1}{\beta+1},\frac{\beta^3+1}{\alpha+1}}$ είναι φυσικοί. Μπορεί κάποιος να δώσει μία αναλυτική απ...
από Demetres
Δευ Σεπ 09, 2019 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Απόδειξη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 458

Re: Απόδειξη

Ας αποφύγουμε τη γεωμετρική πρόοδο: Το $99\cdots 9$ με $n$ ψηφία ισούται με $10^n-1$. Άρα το $11\cdots 1$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}.$ Άρα το $aa\cdots a$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaystyle a\frac{10^n-1}{9}.$ Άρα το $aa\cdots ab$ με $n$ ψηφία ισούται με $\displaysty...
από Demetres
Δευ Σεπ 09, 2019 11:44 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συναρτησιακή με f,g
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 980

Re: Συναρτησιακή με f,g

Γιάννη, πολύ ωραία μέχρι στιγμής. Δίνω το επόμενο βήμα που είναι και μια σημαντική τεχνική στις συναρτησιακές εξισώσεις: Αν $g(y+1) \neq 1$ τότε επιλέγω $\displaystyle x = \frac{g(y)}{g(y+1)-1}.$ Με αυτήν την επιλογή έχω $xg(y+1) = x+g(y)$. Οπότε έχω και $\displaystyle y = xf(y) = \frac{f(y)g(y)}{g(...
από Demetres
Κυρ Σεπ 08, 2019 8:24 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Θα ήθελα βοήθεια στις λύσεις αυτών των ασκήσεων αν τις γνωρίζει κάποιος, ευχαριστώ πολύ.
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 697

Re: Θα ήθελα βοήθεια στις λύσεις αυτών των ασκήσεων αν τις γνωρίζει κάποιος, ευχαριστώ πολύ.

Υπενθυμίζεται ότι ο φάκελος αυτός είναι για να βάζουμε ασκήσεις και να αφήνουμε τους φοιτητές να απαντούν και όχι για να είναι λυσάρι των φοιτητών. Στέλιο, για να δούμε αν κατάλαβες πως να λύνεις και μόνος σου τέτοιες ασκήσεις δοκίμασε το πιο κάτω: Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών συνθηκών: $y'-5y=x, y(...
από Demetres
Σάβ Σεπ 07, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Γρίφος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 258

Re: Γρίφος

Αν ο Δημήτρης λέει αλήθεια, τότε ο Βασίλης λέει ψέματα, άρα ο Γιώργος αλήθεια και άρα ο Αντώνης ψέματα. Αυτό είναι συμβατό με τη δήλωση του Αντώνη (αφού λέει ψέματα). Αν ο Δημήτρης λέει ψέματα, τότε ο Βασίλης λέει αλήθεια, άρα ο Γιώργος ψέματα και άρα ο Αντώνης αλήθεια. Αυτό δεν είναι συμβατό με τη ...
από Demetres
Τρί Σεπ 03, 2019 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Αντιστρέψιμος πίνακας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Το (iii) έχει ήδη αποδειχθεί. Το (ii) έχει επίσης ουσιαστικά αποδειχθεί. Έστω $\alpha \neq 0,-1$. Θέτουμε $A =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1/\alpha & 1 \end{pmatrix} $ και $B =\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $. Ένας απλός έλεγχος δείχνει ότι $A^2=A$ και $B^2=B$. Επίσης, $\displaystyle A-B ...
από Demetres
Τρί Σεπ 03, 2019 11:11 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Αντιστρέψιμος πίνακας
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 361

Re: Αντιστρέψιμος πίνακας

Ας το κλείσουμε και αυτό. Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο αλλά το πρώτο που βρήκα είναι το πιο κάτω: Χρησιμοποιώντας ότι $A^2=A$ και $B^2=B$ έχουμε $(A-B)(A+B-AB) = A+AB-AB-BA-B+BAB = A-BA-B+BAB = (I-BA)(A-B)$ Αφού ο $A-B$ είναι αντιστρέψιμος, αρκεί να δείξουμε και ότι ο $I-BA$ είναι αντιστρέψιμος....
από Demetres
Τρί Σεπ 03, 2019 9:40 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Σύστημα ( II )
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 261

Re: Σύστημα ( II )

Θέτουμε $s=a+b$ και $p=ab$. Οι δυο εξισώσεις γίνονται $s^2-2p = 7$ και $s^3-3sp = \sqrt{23}$. Λύνοντας την πρώτη από αυτές ως προς $p$ και αντικαθιστώντας στη δεύτερη παίρνουμε $s^3 - 21s+2\sqrt{23} = 0$. Θέτοντας $s = t\sqrt{23}$ καταλήγουμε στη $23t^3 - 21t+2=0$. Παρατηρούμε ότι η $t=-1$ είναι ρίζ...
από Demetres
Δευ Σεπ 02, 2019 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θέμα: Εύρεση διψήφιου mod
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 558

Re: Εύρεση διψήφιου mod

Απόπειρα λύσης Γνωρίζουμε ότι η έκφραση $a\equiv 3mod4$ ισοδυναμεί με την έκφραση $a=3+4k, k\epsilon \mathbb{Z}$. Ομοίως για την δεύτερη γραμμική ισοδυναμία καταλήγουμε στο ότι $a=4+6k, k\epsilon \mathbb{Z}$. Εφόσον θέλουμε να πληρούνται και οι δύο συνθήκες, μπορούμε να πάρουμε τις ισότητες ως προς...
από Demetres
Κυρ Σεπ 01, 2019 11:37 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 542

Re: Ανισότητα χωρίς να είναι θετικοί

Μάλλον το δεξί μέλος θέλει έκτη αντί τρίτη δύναμη. Η ανισότητα είναι προφανής για $x=0$ ή $y=0$. Αλλιώς θέτουμε $y=kx$ και το ζητούμενο γίνεται $\displaystyle 4(k+1)^6 \geqslant (k^3+(k+1)^3)(1+(k+1)^3)$ Εν αναμονή καλύτερης απόδειξης, αυτό είναι ισοδύναμο (σύμφωνα με το wolframalpha) με το $\displa...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση