Η αναζήτηση βρήκε 7543 εγγραφές

από Demetres
Κυρ Ιαν 06, 2019 12:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ακολουθία
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 623

Re: Ακολουθία

Είχα χρειαστεί σε ένα παλιό μου άρθρο την εξής παραλλαγή: Έστω σταθερά $k$ και ακολουθία $(a_n)$ θετικών (ακεραίων) ώστε 1) $a_{nm} \geqslant a_na_m$ για κάθε $n,m \in \mathbb{N}$ 2) $a_{n+1} \geqslant a_n+1$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ 3) $a_n \leqslant n^k$ για κάθε $n \in \mathbb{N}$ Να δειχθεί ό...
από Demetres
Κυρ Ιαν 06, 2019 11:52 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά
Θέμα: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 414

Re: Βέλτιστη σταθερά για ανισότητα με διχοτόμους!

Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle \delta_a^2 = \frac{bc}{(b+c)^2}\left((b+c)^2 - a^2\right) = bc\left(1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right) < b(a+bb)\left(1 - \frac{a^2}{(a+2b)^2} \right) = 4\frac{b^2(a+b)^2}{(a+2b)^2}$ Άρα $\displaystyle \delta_a + \delta_b < 2\left( \frac{b}{a+2b} + \frac{a}{b+2a}\right) \l...
από Demetres
Δευ Δεκ 31, 2018 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Πύργοι και πιόνι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 268

Re: Πύργοι και πιόνι

Επίσης δεν είναι απαραίτητο να απειλούν το πιόνι και οι δύο πύργοι. Φαντάζομαι με αυτό εννοείς ότι επιτρέπεται π.χ. να βρίσκονται και οι δύο πύργοι δεξιά του πιονιού. Αυτή η συνθήκη μάλλον κάνει πιο εύκολο το πρόβλημα. Εγώ έλυσα την πιο δύσκολη μορφή όπου απαγορεύεται και οι δύο πύργοι να είναι στη...
από Demetres
Κυρ Δεκ 30, 2018 7:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διαγωνισμός EMC 2018
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1800

Re: Διαγωνισμός EMC 2018

4. Ο Γιάννης και ο Γιώργος έχουν μπροστά τους $2n$ ποτήρια στη σειρά. Ο Γιάννης επιλέγει, χωρίς ο Γιώργος να βλέπει, δύο ποτήρια. Κάτω απο το ένα ανοίγει μια τρύπα και κάτω από το άλλο βάζει ένα μπαλάκι. Μία κίνηση αποτελείται απο την εναλλαγή δύο διαδοχικών ποτηριών της σειράς. Η αποστολή του Γιώρ...
από Demetres
Σάβ Δεκ 29, 2018 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ping Pong
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 319

Re: Ping Pong

Αν υπολογίσουμε τον μέσο όρο πόντων σε κάθε παιχνίδι βγαίνει $18.8285$. Οπότε κατανέμοντας αυτούς τους πόντους στον νικητή και τον χαμένο βγαίνει ''μέσο σκορ'' ανά παιχνίδι $11-8$. Περίεργο ή μήπως όχι; :twisted: :twisted: Καθόλου περίεργο για δύο λόγους. (α) Άλλο το πιο πιθανό σκορ και άλλο ο μέσο...
από Demetres
Παρ Δεκ 28, 2018 5:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 269

Re: Άθροισμα-Γινόμενο Ψηφίων

Νομίζω δεν είναι τόσο δύσκολη. Για κάθε τέτοιο αριθμό έχουμε: $\displaystyle (1-1)a_n + (10-1)a_{n-1} + (100-1)a_{n-2} + \cdots + (10^{n-1}-1) a_1 = a_1a_2 \cdots a_n \leqslant 9^{n-1}a_1$ Όμως για $n \geqslant 2$ έχουμε $10^{n-1}-1 > 9^{n-1}$, άτοπο. (Υποθέτουμε ότι $a_1 \neq 0$.) Πρέπει λοιπόν $n=...
από Demetres
Παρ Δεκ 28, 2018 11:28 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ping Pong
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 319

Re: Ping Pong

Η πιθανότητα το σκορ να φτάσει στο $11 \text{-} k$ όπου $k \leqslant 9$ είναι $\displaystyle p_k = \binom{10+k}{k} \frac{1}{2^{10+k}}$ Πράγματι, πριν γίνει το σκορ $11 \text{-} k$ πρέπει να είναι $10 \text{-} k$. Υπάρχουν $\displaystyle 2\binom{10+k}{k}$ διαφορετικοί τρόποι με τους οποίους το σκορ μ...
από Demetres
Πέμ Δεκ 27, 2018 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Τηλεσκοπική ακολουθία!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 395

Re: Τηλεσκοπική ακολουθία!

Έχουμε δει επίσης την ίδια ακολουθία στο θέμα εδώ καθώς και στους συνδέσμους του.
από Demetres
Πέμ Δεκ 27, 2018 9:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Kριτήριο των Abel - Pringsheim
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 787

Re: Kριτήριο των Abel - Pringsheim

Γράφτηκε σε \LaTeX αλλά δεν έγινε άλλη επέμβαση.

Να επισημάνω επίσης ότι το \lim a_n \to 0 δεν έχει νόημα. Γράφουμε είτε \lim a_n = 0 είτε a_n \to 0 αλλά όχι \lim a_n \to 0.
από Demetres
Σάβ Δεκ 22, 2018 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 247

Re: Διοφαντική με εναδικά κλάσματα

Ισοδύναμα θέλουμε (n-a)(n+b) = n^2 και έχουμε μια λύση για κάθε τρόπο που μπορούμε να γράψουμε το n^2 ως γινόμενο cd θετικών ακεραίων με c < n < d.

Το ζητούμενο είναι άμεσο.
από Demetres
Σάβ Δεκ 22, 2018 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εναδικά κλάσματα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 489

Re: Εναδικά κλάσματα

Ένας άλλος τρόπος είναι ο «λαίμαργος αλγόριθμος». Θα υποθέσουμε αρχικά ότι το κλάσμα μας ανήκει στο διάστημα $(0,1)$. Κάθε φορά γράφουμε το μεγαλύτερο εναδικό κλάσμα που δεν υπερβαίνει το κλάσμα που παραμένει. Π.χ. $\displaystyle \frac{3}{7} = \frac{1}{3} + \left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3} \right) = \f...
από Demetres
Πέμ Δεκ 20, 2018 12:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B5
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 236

Putnam 2018/B5

Έστω $f = (f_1, f_2)$ μια συνάρτηση από το $\mathbb{R}^2$ στο $\mathbb{R}^2$ με συνεχείς και παντού θετικές μερικές παραγώγους $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$. Έστω ότι ισχύει παντού η ανισότητα $\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \frac{\partial f_2}{\partial x_2} - \frac{1}{4} \lef...
από Demetres
Πέμ Δεκ 20, 2018 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B4
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 195

Putnam 2018/B4

Έστω πραγματικός αριθμός a. Ορίζουμε την ακολουθία x_0 = 1, x_1 = x_2 = a, και x_{n+1} = 2x_n x_{n-1} - x_{n-2} για n \geqslant 2. Αν x_n = 0 για κάποιο θετικό n, να δειχθεί ότι η ακολουθία είναι περιοδική.
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 3:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 283

Re: Putnam 2018/B2

Το θέμα είναι γνωστό τουλάχιστον από το 1982, στην εξής μορφή. Αν $0<a_{0}\leq a_{1}\leq ...\leq a_{n}$ τότε η εξίσωση $a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+.....+a_{n}=0$ δεν έχει ρίζες στον δίσκο $\left | z \right |< 1$ Σταύρο, είναι ακόμη πιο παλιό! Στον σύνδεσμο που έδωσα στην προηγούμενή μου ανάρτηση γίνετ...
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 3:43 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 283

Re: Putnam 2018/B2

Πολύ ωραία. Και εγώ έτσι το έκανα. Δεν μπορώ όμως να μην αναφέρω και την εξής όμορφη λύση που είδα εδώ . Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το να δείξουμε ότι το πολυώνυμο $\displaystyle g_n(z) = 1+2z+3z^2 + \cdots + nz^{n-1}$ δεν έχει ρίζες με $|z| \geqslant 1$. Έστω $h_...
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/A3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 290

Re: Putnam 2018/A3

Μιας και είμαστε στον φάκελο των φοιτητών, ας το δούμε με πολλαπλασιαστές Lagrange. Θα καταγράψω όλα όσα οφείλουμε να ελέγξουμε. Δεν γνωρίζω πόσες μονάδες θα έπαιρνε μια απευθείας χρήση των πολλαπλασιαστών χωρίς τους κατάλληλους ελέγχους. Επειδή $\cos(3x) = 4\cos^3{x}- 3\cos{x}$, το πρόβλημα αρκεί ν...
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 11:14 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Putnam 2018/B3
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 239

Putnam 2018/B3

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι n < 10^{100} ώστε ταυτόχρονα ο n να διαιρεί τον 2^n, ο n-1 να διαιρεί τον 2^n-1 και ο n-2 να διαιρεί τον 2^n - 2.
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 11:10 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Putnam 2018/B2
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 283

Putnam 2018/B2

Έστω n θετικός ακέραιος και έστω

\displaystyle f_n(z) = n + (n-1) z + (n-2)z^2 + \cdots + z^{n-1}.

Να δειχθεί ότι το f_n δεχ έχει ρίζες στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο \{z \in \mathbb{C}\colon |z| \leqslant 1 \}.
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 11:05 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Putnam 2018/B1
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 232

Putnam 2018/B1

Έστω $\mathcal{P}$ το σύνολο διανυσμάτων $\displaystyle \mathcal{P} = \left\{ \left. \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right| 0 \leqslant a \leqslant 2, 0 \leqslant b \leqslant 100, \text{ \gr και } a,b \in \mathbb{Z} \right\}. $ Να βρεθούν όλα τα διανύσματα $\mathbf{v} \in \mathcal{P}$ έτσι ώστ...
από Demetres
Τετ Δεκ 19, 2018 10:07 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών (Φοιτητές)
Θέμα: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 416

Re: Διοφαντική Εξίσωση Χ^2+3*Υ^2=Ζ^2

Το κόλπο εδώ είναι να το γράψουμε ως εξής: $\displaystyle 3y^2 = (z-x)(z+x)$ Θεωρώντας ότι οι $z,x$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει $(z-x,z+x) = (z-x,2z)$ το οποίο είναι ίσο με $1$ ή $2$. Υπάρχουν λοιπόν οι εξής περιπτώσεις: $z -x = 3a^2,z+x=b^2$ $z -x = a^2,z+x=3b^2$ $z -x = 6a^2,z+x=2b^2$ $z -x =...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση