Η αναζήτηση βρήκε 7370 εγγραφές

από Demetres
Δευ Ιούλ 09, 2018 4:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 4837

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 2 Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι $n \geqslant 3$ για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ οι οποίοι ικανοποιούν $a_{n + 1} = a_1$, $a_{n + 2} = a_2$ και $a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2}$ για $i = 1, 2, \dots, n$. Ωραίο! Για $n$ πολλαπλάσιο του $3$ γίνεται αν πάρο...
από Demetres
Δευ Ιούλ 09, 2018 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 4837

Re: IMO 2018

Πρόβλημα 1 Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και έστω $\Gamma$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία $D$ και $E$ βρίσκονται στα τμήματα $AB$ και $AC$ αντίστοιχα ώστε $AD = AE$. Οι μεσοκάθετες των $BD$ και $CE$ τέμνουν τα μικρά τόξα $AB$ και $AC$ του $\Gamma$ στα σημεία $F$ και $G$ αντίστοιχα. Να αποδει...
από Demetres
Τετ Ιούλ 04, 2018 8:58 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 742

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Δίνω και την δική μου προσέγγιση. Γράφω $v_1,\ldots,v_5$ για τα διανύσματα των (διαδοχικών) πλευρών του πενταγώνου. Τότε είναι $\displaystyle v_1 + \cdots + v_5 = 0$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας $\displaystyle v_1 \cdot v_1 = \cdots = v_5 \cdot v_5 = 1$ Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο $v_1 \cdot...
από Demetres
Τρί Ιούλ 03, 2018 10:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 742

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Με μια επιπλέον διάσταση πάντως γίνεται. :)
από Demetres
Δευ Ιούλ 02, 2018 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμο -διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 343

Re: Πολυώνυμο -διαιρετότητα

Για $n=4$, και εργαζόμενοι modulo 5 έχουμε $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) \equiv (x+1)(x+2)(x-2)(x-1) = (x^2-1)(x^2-4) = x^4+4$. Οπότε το ζητούμενο ισχύει για $n=4$. (*) Αν το ζητούμενο ισχύει για το πολυώνυμο $g(x)$ τότε αναγκαστικά ισχύει και για το πολυώνυμο $h(x) = g(x)(x+k)$ αφού $S_i(h) = kS_i(g) + S_{...
από Demetres
Τρί Ιουν 26, 2018 3:20 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 616

Re: Vojtech Jarnik 2017/3 Category II

Μιας και επανήλθε σε σχέση με την JBMO 2018, βάζω μια λύση και στο (α) ερώτημα. Αρχικά κάνω την αλλαγή μεταβλητών $y_i = \sqrt{2}x_i$. Οπότε η συνθήκη γίνεται $\displaystyle y_1 + \frac{1}{y_2} =y_2 + \frac{1}{y_3} = \cdots = y_n + \frac{1}{y_1} = m$ για κάποιο πραγματικό $m$. Ορίζω ακολουθία πολυων...
από Demetres
Δευ Ιουν 25, 2018 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη των ακεραίων $(m, n)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $m^5-n^5=16mn.$ Δίνω μια άλλη λύση. Δεν είναι τόσο απλή αλλά η μέθοδος χρησιμοποιείται σε παρόμοια προβλήματα. Αν $m=0$ ή $n=0$ παίρνουμε την λύση $(0,0)$. Υποθέτουμε λοιπόν ότι $m,n \neq 0$. Είναι απλό ότι $m|n^5$...
από Demetres
Δευ Ιουν 25, 2018 11:12 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

1) Θέτουμε $m=dm_0$ , $n=dn_0$ όπου $(m,n)=d$ $d^3({m_0}^5-{n_0}^5 )=16m_0n_0$ (1) Αφού $(m_0,n_0)=1$ ${m_0}^5-{n_0}^5 \vert 16$ Συμπληρώνω διαφορετικά την λύση μιας και δεν χρειάζεται η αναφορά στο θεώρημα Mihailescu. Θα βρούμε όλα τα ζεύγη μη μηδενικών ακεραίων $(x,y)$ ώστε $|x^5 - y^5| \in \{1,2...
από Demetres
Δευ Ιουν 25, 2018 10:00 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Εννιάδες
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 179

Re: Εννιάδες

Ας συμβολίσουμε τις εννιάδες ως $(a_{11},a_{12},a_{13}),\ldots,(a_{91},a_{92},a_{93})$. Τα $a_{13},\ldots,a_{93}$ καθορίζονται πλήρως από τα $a_{11}+a_{12},\ldots,a_{91}+a_{92}$. Ουσιαστικά λοιπόν θέλουμε τα $a_{11}+a_{12},\ldots,a_{91}+a_{92}$ να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους. Αυτό αντιστοιχεί ...
από Demetres
Κυρ Ιουν 24, 2018 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Για το (β) ένα παράδειγμα με $k=4$ και $n=3$ είναι το $x_1 = 2,x_2=-1,x_3=-4$. Όπως με ενημέρωσε ο Διονύσης, η εκφώνηση ζητάει παράδειγμα με $n > 2018$. :oops: Ευτυχώς το πιο πάνω διορθώνεται εύκολα για να δώσει για $n=2019$ το παράδειγμα $x_{3k+1} = 2,x_{3k+2} = -1, x_{3k+3} = -4$ για $0 \leqslant...
από Demetres
Κυρ Ιουν 24, 2018 11:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Πρόβλημα 3: Έστω $k>1$ ένας θετικός ακέραιος και $n>2018$ ένας περιττός θετικός ακέραιος. Οι μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί $x_1, x_2, \ldots, x_n$ δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους και ικανοποιούν την $\displaystyle {{x}_{1}}+\frac{k}{{{x}_{2}}}={{x}_{2}}+\frac{k}{{{x}_{3}}}={{x}_{3}}+\frac{k}{{{x}_{4}}...
από Demetres
Σάβ Ιουν 23, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 754

Re: ΤΕΛΕΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ!

Αλέξανδρε, λες ότι αν ab είναι τέλειο τετράγωνο, τότε a=b. Αυτό προφανώς δεν ισχύει. (Π.χ. για a=2,b=8.)
από Demetres
Παρ Ιουν 22, 2018 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 2092

Re: JBMO 2018

Τα θερμά μου συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά. Ιδιαίτερα στον Ορέστη για το χρυσό και το perfect score!
από Demetres
Παρ Ιουν 22, 2018 1:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Ένας άλλος τρόπος για να δούμε ότι έχουμε το πολύ $5$ αριθμούς είναι ο εξής: Αν έχουμε $k$ αριθμούς, τότε το άθροισμα των ψηφίων τους ισούται με $9k$. Όμως το άθροισμα των ψηφίων ισούται τουλάχιστον με $\displaystyle 3(1+2+\cdots + k) = \frac{3k(k+1)}{2}.$ Άρα $\displaystyle 9k \geqslant \frac{3k(k+...
από Demetres
Παρ Ιουν 22, 2018 11:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

Re: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Πρόβλημα 4: Έστω $ABC$ οξυγώνιο τρίγωνο. Τα σημεία $A'$, $B'$, $C'$ είναι τα συμμετρικά των κορυφών $A$, $B$ και $C$ ως προς τις πλευρές $BC$, $CA$ και $AB$, αντίστοιχα. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $ABB'$ και $ACC'$ τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο $A_1$. Τα σημεία $B_1$ και $C_1$ ο...
από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 2008

JBMO 2018 - Θέματα - Λύσεις

Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλα τα ζεύγη των ακεραίων $(m, n)$ που ικανοποιούν την εξίσωση $m^5-n^5=16mn.$ Πρόβλημα 2: Θεωρούμε $n$ τριψήφιους αριθμούς με τις παρακάτω ιδιότητες: (1) Όλα τα ψηφία τους είναι διαφορετικά από το $0$. (2) Το άθροισμα των ψηφίων κάθε αριθμού είναι $9$. (3) Τα ψηφία των μονάδω...
από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: IMC/2006/2/5
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 195

IMC/2006/2/5

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη σχετικώς πρώτων θετικών ακεραίων (m,n) ώστε η εξίσωση (x+m)^3 = nx να έχει τρεις διακεκριμένες ακέραιες ρίζες.
από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 1:27 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 570

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)

2. Έχουμε δύο ίδια ζάρια "πειραγμένα", σε μορφή κανονικού τετραέδρου, με έδρες αριθμημένες από το $1$ ως το $4$. Η πιθανότητα να έρθει $1$ είναι διπλάσια της πιθανότητας να έρθει $2$, που είναι διπλάσια της πιθανότητας να έρθει $3$, που είναι διπλάσια της πιθανότητας να έρθει $4$. Ρίχνουμε ταυτόχρο...
από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 1:22 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 570

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)

Δημήτρη επειδή το ύφος του γραπτού λόγου μπερδεύει, δεν κατάλαβα αν το θεωρείς ευκολοτερο,δυσκολότερο ή εφάμιλλο του Γ?? Συγκρίνοντάς το με το Γ1+Γ2 που εξετάζουν παρόμοιους στόχους, το ελληνικό είναι σαφώς ευκολότερο για τους πιο κάτω λόγους: (α) Το ελληνικό λυνόταν χωρίς ανάλυση. (β) Στο ελληνικό...
από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 12:16 pm
Δ. Συζήτηση: Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων
Θέμα: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 570

Re: Θέματα Ιταλικών απολυτηρίων 2018 (Ασκήσεις 1-4)

Κάνω την αρχή. 1. Αποδείξτε ότι ο όγκος ενός κυλίνδρου εγγεγραμμένου σε κώνο είναι μικρότερος του μισού του όγκου του κώνου. Ας γράψουμε $r_1,h_1,V_1$ και $r_2,h_2,V_2$ για τις ακτίνες, ύψη και όγκους του κώνου και κυλίνδρου αντίστοιχα. Τότε είναι $\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = 3 \left( \frac{r_2}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση