Η αναζήτηση βρήκε 7479 εγγραφές

από Demetres
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:42 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόσοι οκταψήφιοι;
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 210

Πόσοι οκταψήφιοι;

Την βάζω εδώ αν και νομίζω δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη.

Να βρεθεί το πλήθος των οκταψήφιων θετικών ακεραίων οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του 9 και έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά.
από Demetres
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Όρεξη είχε
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 229

Όρεξη είχε

Ο Αντρέας έλυσε ένα μαθηματικό πρόβλημα και βρήκε $\sqrt{15!}$ ως τελική απάντηση. Παρατήρησε ότι υπάρχουν πολλοί τρόποι να γράψει την απάντηση ως $a\sqrt{b}$ με $a,b$ θετικούς ακεραίους. Για κάθε τέτοιο τρόπο υπολόγισε το $ab$ και το έγραψε στην μορφή $q 15!$ για κάποιον ρητό $q$. Να βρεθεί το άθρο...
από Demetres
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Δυνατές τιμές εμβαδού τετραγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 208

Re: Δυνατές τιμές εμβαδού τετραγώνου

Όχι πως παίζει ρόλο στην τελική απάντηση αλλά δεν είναι ανάποδα το σχήμα;

Για να γράψουμε και την τελική απάντηση, τα τρία εμβαδά ισούνται με 2^2+16^2,2^2+18^2 και 16^2+18^2. Συνολικό άθροισμα 2(2^2+16^2+18^2) = \cdots = 1168.
από Demetres
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόσα πολύγωνα;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 174

Re: Πόσα πολύγωνα;

Επομένως, πρέπει να βρούμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους (κυκλικές διατάξεις) μπορούμε να πάρουμε μερικούς από τους αριθμούς $60,\,\,90,\,\,120,\,\,180$ και όσες φορές χρειαστεί τον καθένα, ώστε να έχουμε άθροισμα $360$. Παρατηρώντας ότι οι αριθμοί αυτοί έχουν παράγοντα το $30$, αναγόμαστε για το...
από Demetres
Τετ Νοέμ 28, 2018 9:18 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική
Θέμα: άθροισμα 12
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 172

Re: άθροισμα 12

Ας το δούμε λοιπόν. Αρχικά καταγράφω τους τρόπους που μπορώ να επιλέξω τους αριθμούς γράφοντάς τους σε κάθε επιλογή από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο. Επίσης η καταγραφή γίνεται «ανάποδα λεξικογραφικά». Δηλαδή γράφω πρώτα όσα εξάρια μπορώ, μετά όσα τεσσάρια μπορώ κ.ο.κ. $6+6$ $6+4+2$ $6+3+3$ $6+2+2+...
από Demetres
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ένα άθροισμα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 173

Re: Ένα άθροισμα

Έχουμε ένα όρο για κάθε ζεύγος ακεραίων $(k,n)$ που ικανοποιεί $1 \leqslant n \leqslant k \leqslant 60$ Αλλάζοντας την σειρά παίρνουμε: $\displaystyle \begin{aligned}S &= \sum_{n=1}^{60} \sum_{k=n}^{60} \frac{n^2}{61-2n} \\ & = \sum_{n=1}^{60} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} \\ &= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(...
από Demetres
Τρί Νοέμ 27, 2018 3:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ουρά ζ(3) σε ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 378

Re: Ουρά ζ(3) σε ακέραιο μέρος

Ακριβώς έτσι.
από Demetres
Τρί Νοέμ 27, 2018 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ουρά ζ(3) σε ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 378

Re: Ουρά ζ(3) σε ακέραιο μέρος

Έχουμε: $\displaystyle \frac{1}{k^3} > \frac{4k}{4k^4+1} = \frac{1}{2k^2-2k+1} - \frac{1}{2k^2+2k+1}$ οπότε τηλεσκοπικά $\displaystyle \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k^3} > \sum_{k=n}^{\infty} \frac{4k}{4k^4+1} = \frac{1}{2n^2-2n+1} = \frac{1}{2n(n-1)+1}$ όπως θέλαμε να δείξουμε. Επεξεργασία: Πως σκέφ...
από Demetres
Δευ Νοέμ 26, 2018 3:41 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο άπειστος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 143

Re: Ο άπειστος

Μπορούμε να εργαστούμε και με γωνίες. Έστω $C_1 = \angle ACM$ και $C_2 = \angle MCB$. Τότε $\tan(C_1) = 5/8$ και $\tan(C) = 5/4$ άρα $\displaystyle \tan(C_2) = \tan(C-C_1) = \frac{\tfrac{5}{4} - \tfrac{5}{8}}{1+\tfrac{5}{4}\cdot \tfrac{5}{8}} = \frac{20}{57}$ Αν $SB=SC$ τότε θα είχαμε και $\tan(B/2)...
από Demetres
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Δυνατές τιμές εμβαδού τετραγώνου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 208

Δυνατές τιμές εμβαδού τετραγώνου

Ένα τετράγωνο στο επίπεδο έχει εμβαδόν E. Τρεις από τις κορυφές του έχουν x-συντεταγμένες 0,2 και 18. Να βρεθεί το άθροισμα όλων των δυνατών τιμών του E.
από Demetres
Δευ Νοέμ 26, 2018 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πιθανότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 206

Re: Πιθανότητα

Σωστά. Μια πιο σύντομη απόδειξη είναι η εξής: Χωρίς βλάβη της γενικότητας ο Ανδρέας είναι στην πρώτη ομάδα και ο Βασίλης στην Δεύτερη. Τότε ο Γιάννης δεν μπορεί να είναι στην δεύτερη. Άρα υπάρχουν $17$ κενές θέσεις στις οποίες μπορεί να βρίσκεται. $8$ στην πρώτη ομάδα και $9$ στην τρίτη. Άρα η πιθαν...
από Demetres
Δευ Νοέμ 26, 2018 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διαιρείται με το 7;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 208

Re: Διαιρείται με το 7;

Ας δούμε και μια προσέγγιση με το Θεώρημα Kummer το οποίο λέει το εξής: Η μεγαλύτερη δύναμη ενός πρώτου $p$ η οποία διαιρεί τον αριθμό $\binom{n}{m}$ ισούται με το πλήθος των φορών που πρέπει να κρατήσουμε ψηφίο όταν προσθέσουμε τα $m$ και $n-m$ στην βάση $p$. Π.χ. επειδή $500 = 7^3 + 3\cdot 7^2 + 1...
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πιθανότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 206

Re: Πιθανότητα

Λάμπρο, έχω την εντύπωση ότι δεν έλαβες υπόψη ότι ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα.
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Οϋλεριανή ισοτητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 209

Re: Οϋλεριανή ισοτητα

Είναι \phi(4^2) + \phi(6^2) = 8 + 12 = 20 = \phi(5^2).

Άρα για κάθε φυσικό N ώστε (N,30) έχω

\phi((4N)^2) + \phi((6N)^2) = 20\phi(N^2) = \phi((5N)^2)

Βρήκα λοιπόν άπειρες τριάδες.
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 7:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράγοντες και ψηφία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Re: Παράγοντες και ψηφία

Πληροφορίες εδώ.
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πιθανότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 206

Πιθανότητα

$27$ παίκτες χωρίζονται τυχαία σε τρεις ομάδες των εννιά ατόμων. Δεδομένου ότι ο Γιάννης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Βασίλη και ο Βασίλης είναι σε διαφορετική ομάδα από τον Ανδρέα, ποια είναι η πιθανότητα ο Γιάννης και ο Ανδρέας να βρίσκονται στην ίδια ομάδα; Διαφορετική εκφώνηση αποφεύγοντας...
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 6:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράγοντες και ψηφία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Re: Παράγοντες και ψηφία

Σωστά. Η άσκηση είναι από τον διαγωνισμό Harvard-MIT Mathematics Tournament του Νοεμβρίου 2018. (Υπάρχει και πιο δύσκολος διαγωνισμός ο οποίος λαμβάνει μέρος τον Φεβρουάριο.) Θα ανεβάσω και τα υπόλοιπα προβλήματα σταδιακά. Παρεμπιπτόντως έκανα ένα λάθος στην αντιγραφή μιας και ο αριθμός ήταν ο $1300...
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 5:50 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Πόσα πολύγωνα;
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 174

Πόσα πολύγωνα;

Πόσα μη ίσα πολύγωνα υπάρχουν τα οποία μπορούν να εγγραφούν στον μοναδιαίο κύκλο και επιπλέον το τετράγωνο κάθε πλευράς τους είναι ακέραιος αριθμός;
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Παράγοντες και ψηφία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 181

Παράγοντες και ψηφία

Να βρεθεί ο μεγαλύτερος παράγοντας του 13000 ώστε κανένα ψηφίο του να μην ισούται με 0 ή 5.
από Demetres
Κυρ Νοέμ 25, 2018 11:06 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Ίσο πλήθος ψηφίων
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 309

Re: Ίσο πλήθος ψηφίων

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Νοέμ 25, 2018 9:38 am
kfd έγραψε:
Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:10 pm
3^{2}=9,3^{3}=27
Όχι μόνο. Την πλήρη απάντηση (και με ωραία λιτή λύση) την δίνει ο Πρόδρομος αμέσως από πάνω από το ποστ σου.
Μιχάλη, o kfd στην ανάρτησή του μάλλον εννοεί ότι πρέπει να απορρίψουμε το 3.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση