Η αναζήτηση βρήκε 1257 εγγραφές

από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Μαρ 25, 2020 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 402

Re: Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Καλησπέρα και χρόνια πολλά! Από ένα θερμό :clap2: στους Ορέστη,Πρόδρομο και Θεοδόση κι' ένα εύγε για τα εντυπωσιακά αντανακλαστικά τους! Ευχαριστώ βεβαίως τους Νίκο και Μιχάλη για την συνδρομή τους. Μια ακόμη προσέγγιση. Πανσέληνος.PNG Στο σχήμα αριστερά είναι $CE=BC$. Με τη βοήθεια των γωνιών προκ...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μαρ 24, 2020 10:17 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 417

Re: Σύγκριση εμβαδών

Καλό βράδυ. Σας ευχαριστώ όλους για τις ωραίες επεμβάσεις σας! Το σχήμα που είχα κατά νου είναι περίπου το ίδιο με το τελευταίο του angvl . Ας το δούμε γενικότερα: Σύγκριση εμβαδών.PNG Τα τρία ορθογώνια τρίγωνα είναι προφανώς ίσα συνεπώς τα $BAD$ και $BAC$ με πλευρές $\left ( b,b,a \right )$ και $\...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μαρ 24, 2020 8:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κάθετες κι' αυτές!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 273

Κάθετες κι' αυτές!

Καλό βράδυ. Κάθετες κι' αυτές!.PNG Το τραπέζιο $ABCD$ έχει $\widehat{B}=\widehat{C}=90^\circ$ και $AD=CD$ ενώ είναι $AB=75$ και $BC=100$. Έστω $M$ το μέσον της $BC$ και σημείο $E \in AD$ ώστε $ME=86$. Αν $P \in ME$ ώστε να είναι $CP \perp DM$ τότε: Να εξεταστεί αν είναι και $BP \perp AM$ . Σας ευχα...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Μαρ 23, 2020 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 402

Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Γεια σας. Τρίγωνο και ..πανσέληνος.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $BC=2$ και $AC=1+\sqrt{3}$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν ισχύει $\widehat{C_{\varepsilon \xi }}=2\widehat{B_{\varepsilon \xi }}$ τότε: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Επειδή ενδέχεται το παρόν να δυσκολέψει (προσωρινά πάν...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Μαρ 22, 2020 11:37 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 417

Re: Σύγκριση εμβαδών

Καλό βράδυ! Ευχαριστώ τον νεαρό geoberdenis2004 (να μαντέψω..Γιώργος-$16$άχρονος ; ) και τον Πρόδρομο για τις απαντήσεις, αλλά και τον KARKAR που προσπαθεί να μας '' βάλει σε νόημα". Έχω λοιπόν ένα ακόμη σχήμα που μάλλον καθιστά τα λόγια .. περιττά! Εννοείται πως δεν θα βιαστώ να το υποβάλω. Φιλικά...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Μαρ 22, 2020 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 135

Re: Διχοτόμος

Καλό βράδυ! Διχοτόμος ..KARKAR.PNG Το τρίγωνο $ACE$ είναι το συμμετρικό του $ABC$ ως προς την $AC$ άρα ίσο με αυτό. Ο κύκλος $\left ( C,a \right )$ τέμνει την $AE$ και στο $T$. Από τα ισοσκελή τρίγωνα και τις γωνίες του σχήματος βρίσκουμε $\widehat{TCS}=180^\circ$ δηλ. τα $T,C,S$ είναι συνευθειακά ...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Μαρ 22, 2020 11:48 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισόπλευρο τρίγωνο: ΜΕΝΩ ΜΕΣΑ στο τετράγωνό μου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 139

Ισόπλευρο τρίγωνο: ΜΕΝΩ ΜΕΣΑ στο τετράγωνό μου

Καλημέρα σε όλους. Ας μου επιτραπεί ν' αφιερώσω την παρούσα σύνθεση στους αγαπητούς Μιχάλη Νάννο και Μπάμπη Στεργίου με αφορμή τις συλλογές ΕΔΩ κι' ΕΔΩ . Ισόπλευρο εντός τετραγώνου.PNG Το $ABCD$ είναι τετράγωνο και το $E \in AB$ ώστε να ισχύει $3AE=5EB$. Ι) Να εντοπιστούν, με γεωμετρική κατασκευή, ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Μαρ 21, 2020 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 417

Σύγκριση εμβαδών

Καλησπέρα. Έχουμε να κάνουμε με δύο τρίγωνα που εμφανίστηκαν ξαφνικά.. Το πρώτο έχει μήκη πλευρών $109,109,120$, ενώ το δεύτερο $109,109,182$. Ζητούμενο: Ποιο τρίγωνο έχει μεγαλύτερο εμβαδόν; Κάντε μια εκτίμηση πριν από τους υπολογισμούς. Δώστε, αν είναι δυνατόν, μια πειστική απάντηση με μια εικόνα...
από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μαρ 17, 2020 10:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ενδιαφέρων λόγος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 261

Re: Ενδιαφέρων λόγος

Καλό βράδυ. Ενδιαφέρων λόγος..PNG Είναι φανερό ότι οι γωνίες $\theta $ είναι ίσες . Ακόμη $\widehat{EAS}+\theta +y=180^\circ $ και $\widehat{BAS}+\theta +x=180^\circ$ οπότε $y=x$ συνεπώς τα τρίγωνα $ZAS$ και $CAS$ είναι όμοια . Άρα $\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{AZ}{AS}\Rightarrow AS^{2}=AC\cdot AZ =AD^{2}...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Μαρ 16, 2020 6:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Παραλληλία, μέσα και λόγοι
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 706

Παραλληλία, μέσα και λόγοι

Χαιρετώ. Τελευταία σύνθεση. Παραλληλία, μέσα και λόγοι.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $AB=4$ και $AC=6$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο .Θεωρούμε τα σημεία $P \in AB$ , $F \in AC$ και τα μέσα $M$ και $N$ των $BC,PF$. Η χορδή $AEI$ είναι παράλληλη της $MN$ με $E \in BC$. Αν είναι $AE\cdot AI=24$ και ισχύει $\l...
από Γιώργος Μήτσιος
Κυρ Μαρ 15, 2020 2:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερή ποσότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 363

Re: Σταθερή ποσότητα

Καλή Κυριακή. Μετά την ωραία λύση του Παναγιώτη , μια βατή τριγωνομετρική διαδρομή Σταθερή ποσότητα.PNG Αν $\widehat{BAB'}=x$ τότε $\widehat{CAC'}=\dfrac{\pi }{3}-x$ οπότε $BB'=asinx...CC'=asin\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right ) =\dfrac{a}{2}\left ( \sqrt{3}cosx-sinx \right )$. Μετά τις πράξεις η εν...
από Γιώργος Μήτσιος
Τετ Μαρ 11, 2020 5:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αρχαία διχοτόμηση
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 255

Re: Αρχαία διχοτόμηση

Καλησπέρα σε όλους από την 'Αρτα που σήμερα τιμά την βασίλισσά της Οσία Θεοδώρα. Ας δούμε και την γενίκευση του αρχικού θέματος που ακολουθεί. Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και ο κατασκευάσιμος λόγος $m$ με $0<m<1$ κατάλληλος ώστε να υπάρχουν $S \in BC$ και $T \in AC$ με $TS \perp BC$ και να ισχύει $\left ...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Μαρ 07, 2020 3:27 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ώρα εφαπτομένης 14
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 333

Re: Ώρα εφαπτομένης 14

Ακόμη μια προσέγγιση για την Καλημέρα στους φίλους! tan...KARKAR.PNG Φέρω $SI \parallel CB$. Τότε η $SM$ είναι διχοτόμος στο $\triangle ASI$. Πράγματι ισχύει $\dfrac{AM}{MI}=\dfrac{MB}{MI}=\dfrac{CB}{SI} =\dfrac{AS}{SI}$. Άρα $\widehat{ASM}=\theta =\widehat{BCM}$... KARKAR: Αν παρατηρείτε κάτι που ...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Μαρ 05, 2020 12:07 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ημικύκλιο και ημιτετράγωνο
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 324

Re: Ημικύκλιο και ημιτετράγωνο

Καλημέρα! Θαυμάσια η λύση του Νίκου πριν , μεθοδική βεβαίως κι' αυτή του Φάνη! Με έρεισμα τα προηγηθέντα , ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή Ημικύκλιο..Μ.Ν.PNG Όπως γράφηκε αν $P$ η τομή της $CD$ με τον κύκλο τότε $EP$ διάμετρος με $EP=18$. Φέρω $DH \perp EP$. Από τα όμοια $DHP,PEC$ παίρνουμε $\d...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Μαρ 02, 2020 10:47 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Οι λόγοι κρατάνε το .. λόγο τους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 147

Οι λόγοι κρατάνε το .. λόγο τους

Καλημέρα και καλή Σαρακοστή ! Οι λόγοι κρατάνε το λόγο τους.PNG Το ορθογώνιο ($\widehat{A}=90^\circ$) τρίγωνο $ABC$ είναι σταθερό . Το $E$ κινείται πάνω στην $AC$ ενώ το $P \in AB$ ώστε ο λόγος $\dfrac{BP}{EC}=m$ να είναι επίσης σταθερός . Ακόμη το $M$ κινείται πάνω στην $BC$ ώστε το τόξο των $ P,M...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Φεβ 29, 2020 1:59 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ιερότητα τριγώνου
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 576

Re: Ιερότητα τριγώνου

Καλημέρα! Σας ευχαριστώ όλους για τη συμβολή σας κι' ένα επιπλέον εύγε στα νιάτα! Με την ευκαιρία να δώσω κι΄εγώ τα συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες του διαγωνισμού Αρχιμήδης 2020 και ιδιαίτερα στους Ορέστη Λιγνό , Πρόδρομο Φωτιάδη,Διονύση Αδαμόπουλο , Κων/νο Κωνσταντινίδη με ευχές για ανώτε...
από Γιώργος Μήτσιος
Πέμ Φεβ 27, 2020 12:26 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισοσκελές & κύκλος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 228

Re: Ισοσκελές & κύκλος

Καλημέρα σε όλους! . Με οδηγό τη λύση του Αλέξανδρου. Ισοσκελές και κύκλος.PNG Φέρω $OH \parallel BC$.Από τα ίσα τρίγωνα $OTH,BOS$ έπεται $TH=2$ , τότε $OA=AH=5$ και με Π.Θ : $OT=4$ άρα $DE=2OT=8$. Παρατήρηση: Βρίσκουμε $OH=2\sqrt{5}$ οπότε και $HC=OB=2\sqrt{5}$ με συνέπεια $\dfrac{CT}{TO}=\dfrac{2...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Φεβ 24, 2020 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Το επτά προσφέρει καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 357

Re: Το επτά προσφέρει καθετότητα

Καλό βράδυ σε όλους! Να ευχαριστήσω τους ..μόνιμους Γιώργο και Νίκο και βεβαίως τον φίλο angvl . Ας τονίσω μόνο την ισχύ της ισοδυναμίας $ MH \perp BH \Leftrightarrow \left ( BAC \right )=7\left ( BHC \right ) $ Το 7..καθετότητα.PNG Θεωρούμε $EZ \parallel BC$ σε απόσταση από την $BC$ ίση με το $1/7...
από Γιώργος Μήτσιος
Δευ Φεβ 24, 2020 1:11 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Κι' αυτή γνωστή γωνία
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 194

Κι' αυτή γνωστή γωνία

Καλημέρα. Κι αυτή γνωστή γωνία.PNG Το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο και $M$ το μέσον της $AC$. Θεωρούμε το $E$ στην προέκταση της $BM$ και έστω $I$ η τομή της $AE$ με την ημιευθεία $BC$. Το $CIT$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές (Κατά KARKAR , ημιτετράγωνο! ) Αν ισχύει $\left ( CIT \right )=\left ( AM...
από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Φεβ 22, 2020 12:11 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισεμβαδικά και αυτά
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 235

Re: Ισεμβαδικά και αυτά

Καλημέρα. Ευχαριστώ τον Ορέστη και τον Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις! Μια ακόμη με χρήση του σχήματος Ισεμβαδικά και αυτά ΙΙ . PNG.PNG Είναι $\left ( AEC \right )=2\left ( ENA \right )$ και $\left ( BES \right )=\left ( BAS \right )-\left ( ABE \right )=2\left ( MAS \right )-2\left ( MAE \right )=2\...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση