Η αναζήτηση βρήκε 6042 εγγραφές

από socrates
Τρί Μαρ 24, 2020 6:28 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Βρείτε το άθροισμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 357

Re: Βρείτε το άθροισμα

Γιώργο, την άσκηση την πρωτοείδα στο
https://artofproblemsolving.com/community/c6h603530


Τα περισσότερα προβλήματα στα Dutch IMO TSTs δεν είναι πρωτότυπα, αλλά προέρχονται από άλλους διαγωνισμούς ανά τον κόσμο.
Είναι όμως κατάλληλα για εξάσκηση - επανάληψη!
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 942

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

stamas1 έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 8:56 pm
Μηπως το 1 εχει και ισον?
Όχι, οι ανισότητες είναι αυστηρές.
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 10:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Βρείτε το άθροισμα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 357

Re: Βρείτε το άθροισμα

Όμορφη εφαρμογή της Euler!


1087
https://mathematica.gr/forum/search.php ... sf=msgonly

Άλλη μία που μού αρέσει:
https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=23&t=19083
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 10:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ασυνήθιστη ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 348

Ασυνήθιστη ανισότητα

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a_1,a_2,...,a_{2019} ισχύει a_1a_2...a_k\geq 1 για κάθε k=1,2,...,2019 να αποδείξετε ότι

\displaystyle{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+...+\frac{a_{2019}}{2019}>\frac{13}{2}.}
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 6:23 pm
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Αναμνηστικά
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 184

Αναμνηστικά

Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό συμμετείχαν 120 μαθητές από διάφορες ομάδες. Κατά την τελετή λήξης, κάθε μαθητής έδωσε ένα αναμνηστικό σε κάθε άλλο συμμετέχοντα από την ίδια ομάδα, καθώς και ένα αναμνηστικό σε έναν συμμετέχοντα από κάθε άλλη ομάδα. Δεδομένου ότι δόθηκαν συνολικά $3840$ αναμνηστικά, ποι...
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 5:20 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 283

Ανισότητα

από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 1:41 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 549

Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{n!+f(m)!|f(n)!+f(m!)}$ για όλους τους θετικούς ακεραίους $m,n.$ ΘΕΜΑ 2 Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge-\frac{1}{2}, }$ για όλους το...
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 1:32 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 942

Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς $m$ και τη μικρότερη τιμή της σταθεράς $M$ για τις οποίες η ανισότητα $\displaystyle{\displaystyle{m \leq \frac{4x+y}{x+4y}+\frac{4y+z}{y+4z}+\frac{4z+x}{z+4x}< M,}}$ ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y,z.$ ΘΕΜΑ 2 Σε μια παιδική...
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 12:59 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (33), Μικροί
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 302

Τεστ Εξάσκησης (33), Μικροί

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο :logo: . Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ! Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ. ΘΕΜΑ 1 Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle { |x|-|x+2|+|x+4|-|x+6|+...-|x+998| =|x+1|-|x+3|+|x+5|-|x+7|+...-|x+999| .}$ ΘΕΜΑ 2 Να λυθ...
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 12:46 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διοφαντική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 844

Re: Διοφαντική

Επαναφορά!
από socrates
Δευ Μαρ 23, 2020 12:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (29), Μικροί
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 497

Re: Τεστ Εξάσκησης (29), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Ένα υποσύνολο $E$ του συνόλου $\{1,2,3,\ldots,50\}$ λέγεται special αν δεν περιέχει υποσύνολο της μορφής $\{x,3x\}.$ Ένα special σύνολο $E$ λέγεται superspecial αν περιέχει όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία. Πόσα στοιχεία έχει ένα superspecial σύνολο; Πόσα superspecial σύνολα υπάρχουν; Έστ...
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: 2ο ΘΕΜΑ
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 623

Re: 2ο ΘΕΜΑ

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=\ln^2x+2\ln x-e^x$, η οποία είναι παραγωγίσιμη με: $\displaystyle{f'(x)=\frac{2\ln x}{x}+\frac{2}{x}-e^x=\frac{2}{x}(\ln x+1)-e^x}$ Τώρα, αφού $e^x\ge x+1$ έπεται ότι $\displaystyle{-e^x\le -x-1\Rightarrow f'(x)\le \color{red} \frac{2}{x}(\ln x+1)-x-1=\frac{\ln x+1-x^2-x...
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 11:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2020
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 6557

Re: Αρχιμήδης 2020

silouan έγραψε:
Πέμ Φεβ 27, 2020 4:05 pm
Μπορούμε να προσδιορίσουμε όλους τους αριθμούς που είναι δυνατόν να μείνουν στο τέλος στο πρόβλημα 3 των μεγάλων;
Ενδιαφέρον! Μπορούμε άραγε; Κάποια ιδέα;
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:21 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 419

Τεστ Εξάσκησης (32), Μικροί

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο :logo: . Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ! Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ. ΘΕΜΑ 1 Σε κάθε κελί ενός πίνακα $5\times 9$ γράφουμε έναν από τους αριθμούς $0$ ή $1.$ Θεωρούμε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε γρα...
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 457

Τεστ Εξάσκησης (31), Μικροί

Τα τεστ 31 - 35 (Μικροί) αποτελούνται από θέματα που είδαμε στο :logo: . Ας γράφουμε άλλες λύσεις, σχόλια κτλ στο αντίστοιχο τόπικ! Όλα τα τεστ είναι συγκεντρωμένα εδώ. ΘΕΜΑ 1 Οι θετικοί ακέραιοι $a_1, a_2, ... , a_{12}$ είναι διαφορετικοί ανά δύο και οι θετικές διαφορές μεταξύ δύο οποιονδήποτε από ...
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:15 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1028

Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Επαναφορά!
Άλυτα παραμένουν τα θέματα 1,2 και 4!
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:12 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: ΑνισοΪσότητα
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 657

Re: ΑνισοΪσότητα

Καλημέρα. Σε άσκηση έχουμε δείξει ότι $\displaystyle xe^{\frac{1}{x}}\geq \ e$. Οι παρακάτω ισοδυναμίες χρειάζονται περαιτέρω δικαιολόγηση; Για $x>0$ ισοδύναμα $\displaystyle (e^{1/x})^{x}\geq (\frac{e}{x})^{x}\Leftrightarrow e\geq (\frac{e}{x})^{x}$ Καλύτερα θα ήταν έτσι : $xe^{\frac{1}{x}} \geq e...
από socrates
Κυρ Μαρ 22, 2020 2:09 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισοϊσότητα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1042

Re: Ανισοϊσότητα

Αν $x,y\in \mathbb{R},$ να δείξετε ότι $4(x^2+xy+y^2)^3\geq 27x^2y^2(x+y)^2.$ Πότε ισχύει το ίσον; Ευκλείδης Α Λυκείου Αν $xy\geq 0$ είναι άμεσο από την χρήσιμη σχέση $\displaystyle{x^2+xy+y^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2}$ και την $(x+y)^2\geq 4xy.$ Αν $xy< 0$ είναι η AM-GM για τους αριθμούς $\displayst...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση