Η αναζήτηση βρήκε 105 εγγραφές

από giannimani
Παρ Οκτ 12, 2018 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες Ευθείες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 858

Συντρέχουσες Ευθείες

Στο κυρτό τετράπλευρο ABCD δίνεται ότι AB+AD = CB+CD.
Έστω I_{1}, I_{2} τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ABC, CDA αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AC, BD, I_{1}I_{2} διέρχονται από το ίδιο σημείο.
exer8.png
exer8.png (35.81 KiB) Προβλήθηκε 858 φορές
από giannimani
Κυρ Σεπ 16, 2018 9:52 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 648

Re: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος

iran_2018_2sl.png Το μέσο $N$ του $HO$ είναι το κέντρο του κύκλου του Euler του $\vartriangle ABC$, ο οποίος τέμνει το $AH$ στο σημείο $L$ που είναι το μέσο του. Αν $A'$ το αντιδιαμετρικό του $A$, τότε είναι γνωστό ότι τα σημεία $H$, $M$ και $A'$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, και το $BHCA'$ είναι παραλ...
από giannimani
Σάβ Σεπ 15, 2018 2:22 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 648

Από Μαθηματική Ολυμπιάδα Ιράν 2018, 3ος γύρος

iran_2018_b.png Δίνεται οξυγώνιο $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο $H$, και έστω $E\,,\,F$ τα ίχνη των υψών του στις $AC$, $AB$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $O$ το περίκεντρο του τριγώνου, και με $M$ το μέσο της πλευράς $BC$. Η κάθετος της $HO$ στο $H$ τέμνει το $FE$ στο σημείο $P$, και η κάθετος της...
από giannimani
Δευ Ιούλ 09, 2018 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Το περίκεντρο είναι μέσο...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 701

Re: Το περίκεντρο είναι μέσο...

centre_is_middle.png Θεωρούμε τους κύκλους $(\omega_{1})=(DAF)$ και $(\omega_{2})=(DGB)$ που έχουν διαμέτρους τις $DF$ και $DG$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $X$ το δεύτερο σημείο τομής των. Τότε, λόγω των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων $DAFX$ και $DXGB$, θα είναι $\angle DXF=\angle DXG= 90^{\circ}$. Επο...
από giannimani
Παρ Ιουν 29, 2018 9:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Το περίκεντρο είναι μέσο...
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 701

Το περίκεντρο είναι μέσο...

middle.png Δίνεται τρίγωνο $ABC$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega)$ κέντρου $O$. Έστω $D$ το αντιδιαμετρικό της κορυφής $C$, και $E$ το σημείο τομής της εφαπτομένης του $(\omega)$ στο σημείο $D$ με την ευθεία της πλευράς $AB$. Συμβολίζουμε με $F$ και $G$ τα σημεία τομής της ευθείας $EO$ με τις $CA$ κ...
από giannimani
Δευ Απρ 16, 2018 4:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διέρχεται από το μέσο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 463

Διέρχεται από το μέσο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ θεωρούμε τα ύψη $AA_{1}$, $BB_{1}$ και $CC_{1}$ και έστω $H$ το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου. Από το $H$ φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες $B_{1}C_{1}$ και $A_{1}C_{1}$,οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες $CA$ και $CB$ στα σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η κάθ...
από giannimani
Πέμ Απρ 12, 2018 5:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 416

Το μέσο στην ευθεία της κοινής χορδής

Έστω $A$ και $B$ τα κοινά σημεία δύο κύκλων $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$, και $CD$ η κοινή εφαπτομένη τους ($C$ και $D$ τα σημεία επαφής, με το σημείο $B$ να βρίσκεται πλησιέστερα της ευθείας $CD$ από ότι το $A$). Έστω $O_{a}$, $O_{b}$ τα περίκεντρα των τριγώνων $CAD$, $CBD$ αντίστοιχα. Να αποδ...
από giannimani
Τρί Απρ 10, 2018 10:41 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εφαπτόμενοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 679

Re: Εφαπτόμενοι Κύκλοι

orth_tang.png Έστω $(\omega)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ με κέντρο το $O$ που ανήκει στο ύψος $AA_{1}$ αυτού του τριγώνου. Τότε, $\angle BAA_{1}= \angle AXY$ (εντός εκτός επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $AA_{1}$, $DX$ που τέμνονται από την $AC$), $\angle BAA_{1} = \angle A_{1}A...
από giannimani
Δευ Απρ 09, 2018 11:41 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Εφαπτόμενοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 679

Εφαπτόμενοι Κύκλοι

probl4.png Στις ίσες πλευρές $AB$, $AC$ και στη βάση $BC$ ενός ισοσκελούς τριγώνου $ABC$, θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $M$, $K$ και $D$ έτσι ώστε το $AMDK$ να είναι παραλληλόγραμμο. Συμβολίζουμε με $L$ το κοινό σημείο των ευθειών $MK$ και $BC$, και έστω $X$, $Y$ τα σημεία στα οποία η κάθετος της $...
από giannimani
Πέμ Απρ 05, 2018 10:27 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1025

Re: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.

probl19f.png Συμβολίζουμε με $K$, $L$ τα σημεία στα οποία τα εφαπτόμενα τμήματα $AB$, $AC$ τέμνουν για δεύτερη φορά τον κύκλο $(\omega_{2})$. Έστω, επίσης $N$ το σημείο τομής του κύκλου $(\omega_{1})$ με την ευθεία $AP$. Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου $P$ με την οποία ο κύκλος $(\omega_{1})$ μετασ...
από giannimani
Τετ Απρ 04, 2018 10:25 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1025

Re: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.

[attachment=0]probl19.png[/attachment] Δίνω μια προσπάθεια στο ερώτημα που πρόσθεσε ο Στάθης. Έστω $K$, $L$ τα σημεία στα οποία τα $AB$, $AC$ τέμνουν τον κύκλο $(\omega_{2})$ αντίστοιχα. Τότε, ο κύκλος $(\omega_{1})$ είναι ο $A-$μικτοπαρεγγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle AKL$, εφόσον εφάπτεται τ...
από giannimani
Τρί Απρ 03, 2018 10:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1025

Re: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.

Προσθέτουμε και ένα άλλο ζητούμενο (που μπορεί να αποδειχτεί είτε με τη βοήθεια του πρώτου είτε ανεξάρτητα). Να αποδείξετε ότι η ευθεία $EF$, η εφαπτομένη του κύκλου $(\omega_{2})$ στο σημείο $A$, και η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων στο σημείο $P$, διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΥΓ. Ακόμη και με α...
από giannimani
Τρί Απρ 03, 2018 2:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1025

Μια διεθνής άσκηση με ελαφρά αλλαγμένο το συμπέρασμα.

exerbis.png Δύο κύκλοι $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο $P$. Έστω $A$ ένα σημείο του $(\omega_{2})$ που δεν ανήκει στην ευθεία της διακέντρου των δύο κύκλων, και $AB$, $AC$ τα εφαπτόμενα τμήματα του $(\omega_{1})$. Οι ευθείες $BP$, $CP$ τέμνουν για δεύτερη φορά τον ...
από giannimani
Κυρ Απρ 01, 2018 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1045

Re: Από τη Ρωσία με αγάπη!!

exer19.png Το να δώσεις συγχαρητήρια στο Στάθη για μία λύση που έδωσε σε ένα ακόμη πρόβλημα (που ο ίδιος το χαρακτήρισε όχι πολύ δύσκολο, προσωπικά ας μου επιτραπεί να διαφωνήσω "χαλαρά!"), το θεωρώ περιττό. Στη συνέχεια αφού αναφέρω ότι το πρόβλημα αυτό δόθηκε στο διαγωνισμό που γίνεται στη Ρωσία ...
από giannimani
Σάβ Μαρ 31, 2018 11:22 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα χορδών
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1066

Re: Ίσα τμήματα χορδών

exerb.png Έστω ότι η $CF$ τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο $(O)$ στο σημείο $S$. Τότε, για την περίπτωση του σχήματος είναι $\angle BSC = \angle BDC=\angle KFC$ (εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο) Επομένως, $BS \parallel GH$, οπότε το τραπέζιο $BGHS$ ως εγγεγραμμένο θα είναι ισοσκελές...
από giannimani
Παρ Μαρ 30, 2018 9:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Από τη Ρωσία με αγάπη!!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1045

Από τη Ρωσία με αγάπη!!

exer.png Έστω $L$ και $K$ τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $A$ ενός τριγώνου $ABC$ στην πλευρά $BC$ αντίστοιχα. Έστω ακόμη $P$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του περιγεγραμμένου κύκλου $(\omega)$ του $\vartriangle{ABC}$ στις κορυφές $B$ και $C$. Η κάθετος της $BC$ στο $L$...
από giannimani
Παρ Μαρ 16, 2018 3:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 578

Re: Παραλληλία μεταβλητής ευθείας.

steiner-vitt.png Έστω $E$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $(O)$ στα $A$ και $B$. Εφόσον οι κάθετες που άγονται από τις κορυφές $E$, $S$, $T$ του $\vartriangle EST$ στις πλευρές $AB$, $MA$, $MB$ του $\vartriangle MBA$ αντίστοιχα, διέρχονται από το ίδιο σημείο $P$, τότε και οι κάθετες που ...
από giannimani
Τετ Μαρ 14, 2018 11:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχουσες ευθείες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 535

Re: Συντρέχουσες ευθείες

symmath1.png Έστω $P$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $(O)$ στα σημεία του $A$ και $B$. Για να αποδείξουμε ότι οι ευθείες $CH$ και $DE$ διέρχονται επίσης από το $P$, αρκεί να αποδείξουμε ότι αυτές είναι συμμετροδιάμεσοι των τριγώνων $CAB$ και $DAB$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με $K$ το σημε...
από giannimani
Παρ Οκτ 21, 2016 8:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 533

Re: Μια ιδιότητα τετραπλεύρου με κάθετες διαγωνίους

diag.png Έστω $F=(ZP) \cap (AB)$. Τότε, $(BAEF)=-1$, οπότε και $P(BAEF)=-1$, και εφόσον οι συζυγείς ακτίνες $PA$, $PB$ είναι κάθετες, τότε είναι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι δύο άλλες ακτίνες $PE$, $PF$, δηλαδή, $\angle{EPB}=\angle{FPB}$. Όμως, από το ορθογώνιο τρίγωνο $LPK$ έχουμε $\...
από giannimani
Δευ Νοέμ 23, 2015 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ένας γεωμετρικός τόπος ...
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 745

Re: Ένας γεωμετρικός τόπος ...

locus.png Από το $A$ φέρουμε την κάθετη στις $(\epsilon_{1})$, $(\epsilon_{2})$ που τις τέμνει στα σημεία $B_{0}$, $C_{0}$ αντίστοιχα. Έστω , επίσης, $M_{0}$ σημείο ώστε το τρίγωνο $B_{0}C_{0}M_{0}$ όμοιο προς το δοθέν. Θεωρούμε και μία άλλη θέση του τριγώνου, έστω $BCM$(Σχήμα), τότε $B_{0}C_{0}M_{...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση