Η αναζήτηση βρήκε 105 εγγραφές

από giannimani
Παρ Νοέμ 13, 2015 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Βίοι παράλληλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 408

Re: Βίοι παράλληλοι

Έστω ότι $TL \parallel AC$. Θα αποδείξουμε ότι η $AL$ διχοτομεί τη $CS$. Αρκεί $DM \parallel AB$. Αλλά, είναι γνωστό ότι, στο τραπέζιο $ACLT$ τα μέσα $N$, $K$ των βάσεών του $AC$, $LT$, το σημείο τομής $M$ των διαγωνίων του $AL$, $CT$, και το σημείο τομής $D$ των μη παραλλήλων πλευρών του $AT$, $CL$...
από giannimani
Τρί Νοέμ 10, 2015 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτομεί...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 218

Re: Διχοτομεί...

Ευχαριστώ τη Φωτεινή.
Και να φανταστείς, ότι ήταν ο μοναδικός φάκελλος που "υποτίθεται" ότι έψαξα.

Γιάννης
από giannimani
Τρί Νοέμ 10, 2015 9:32 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτομεί...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 218

Διχοτομεί...

ask.png
ask.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Σε τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος κύκλος \omega (κέντρου I) εφάπτεται των πλευρών BC, AC, AB αντίστοιχα, στα σημείαA', B', C'. Η διάμετρος A'I(*) τέμνει τη B'C' στο σημείο N. Να αποδειχτεί ότι η ευθείαAN διχοτομεί την πλευρά BC.

(*) Έγινε διόρθωση. Δίνω και το σχήμα.
από giannimani
Δευ Σεπ 28, 2015 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Από το ίδιο σημείο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 309

Από το ίδιο σημείο

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ABC. Να αποδειχτεί ότι, η διχοτόμος της γωνίας A, η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των AB, BC, και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο \triangle{ABC} κύκλου με τις AC και BC, διέρχονται από το ίδιο σημείο.
από giannimani
Τρί Σεπ 22, 2015 11:48 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 504

Re: Καθετότητα

Καλημέρα. Παραθέτω και μία λύση με τη χρήση του μετασχηματισμού της ομοιότητας. Θεωρούμε τη σπειροειδή (ομόρροπη) ομοιότητα $S$ με την οποία το ευθύγραμμο τμήμα $P_{1}P_{2}$ απεικονίζεται στο $AC$. Είναι γνωστό ότι, το κέντρο αυτής της ομοιότητας ορίζεται ως το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων $P_{1}...
από giannimani
Τρί Σεπ 22, 2015 2:38 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 504

Καθετότητα

Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Στο τόξο $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, που δεν περιέχει την κορυφή $A$, θεωρούμε σημείο $P$, και $P_{1}$, $P_{2}$ οι προβολές του στις $AB$, $BC$ αντίστοιχα. Έστω, επίσης, $B_{0}$ το μέσο της πλευράς $AC$ και $M$ το μέσο του $P_{1}P_{2}$. Να αποδειχτεί ότι $PM ...
από giannimani
Πέμ Σεπ 17, 2015 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 428

Συνευθειακά σημεία

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ ($A=90^{\circ}$). Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AC$, $AH$ το ύψος του $\triangle{ABC}$ και $AD$ η διχοτόμος της γωνίας $CAH$ (το $D \in BC$). Αν η παράλληλη προς την $AD$ από το $B$ τέμνει την ευθεία του ύψους $AH$ στο σημείο $E$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $E$, $D$ ...
από giannimani
Κυρ Αύγ 23, 2015 11:23 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 430

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Καλημέρα

Τη συγκεκριμένη άσκηση τη "ξεσήκωσα" από το βιβλίο του Αρσένι Ακοπιάν: Η Γεωμετρία σε σχήματα. Είναι η άσκηση με αριθμό (4.8.27). Στις πληροφορίες, στο τέλος του βιβλίου, αναφέρει ότι έχει δοδεί στην Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2007-2008.

Γιάννης Μανίκας
από giannimani
Σάβ Αύγ 22, 2015 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 430

Ομοκυκλικά σημεία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$, και έστω ότι η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου του κύκλου στην κορυφή $A$ τέμνει την προέκταση της πλευράς του $BC$ στο σημείο $D$. Αν $A'$ το συμμετρικό του $A$ ως προς το σημείο $D$, και $C'$ το συμμετρικό του $C$ ως προς την ευθεία $AA'$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$...
από giannimani
Πέμ Αύγ 13, 2015 11:41 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Βάλε μέσο για το μέσο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 435

Re: Βάλε μέσο για το μέσο

mesopng_Page1.png Έστω $T_{1}$, $T_{2}$ τα συμμετρικά του $T$ ως προς τα σημεία $D$, $E$ αντίστοιχα. Προφανώς, $T_{1}T_{2} \parallel ED$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία $T_{1}$, $T_{2}$, και $G$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε το πρόβλημα θα έχει αποδειχτεί (στο $\triangle{T_{2}TT_{1}}$ τα $E$,...
από giannimani
Τρί Αύγ 11, 2015 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τα προς τρίτον τινί ίσα και αλλήλοις ίσα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 470

Re: Τα προς τρίτον τινί ίσα και αλλήλοις ίσα

exer15png_Page1.png Έστω $\omega_{1}$ ο περίκυκλος του τριγώνου $EBQ$ (κέντρου $O_{1}$ μέσου του $BQ$), $\omega_{2}$ ο περίκυκλος του τριγώνου $CDP$ (κέντρου $O_{2}$ μέσου του $CP$), και $\omega_{0}$ ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $B$, $E$, $D$, $C$ (κέντρου $M$ μέσου του $BC$). Έστω επίσης $...
από giannimani
Παρ Αύγ 07, 2015 9:54 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ετσι κι αλλιώς ίσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 582

Re: Ετσι κι αλλιώς ίσα

semicirclepng_Page1.png Το τετράπλευρο $ASCZ$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου $CZ$ ($\angle{ZAC}=\angle{ZSC}=90^{\circ}$). Φέρουμε $ZK \perp BC$. Εφόσον $\angle{ZKC}=90^{\circ}$, το $K$ ανήκει στον κύκλο διαμέτρου $CZ$. To $ASKZ$ είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε $AZ=SK$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ...
από giannimani
Δευ Αύγ 03, 2015 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ορθοστασία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 818

Re: Ορθοστασία

orthostpng_Page1.png Έστω $B'$ το αντιδιαμετρικό του $B$ στον κύκλο $(C_{1})$, και $S'$ το σημείο τομής της ευθείας $B'T$ με τον $(C_{1})$. Είναι $BS' \perp B'T$ εφόσον $\angle{B'S'B}=90^{\circ}$ (εγγεγραμμένη γωνία του $(C_{1})$ που βαίνει σε ημικύκλιο). Τα σημεία $O$ (κέντρο του κύκλου $(C_{1})$)...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 26, 2015 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 736

Re: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος

two_perikpng_Page1.png Έστω $A'$, $C'$ τα αντιδιαμετρικά σημεία των $A$, $C$ στους κύκλους $(O_{1})$, $(O_{2})$ αντίστοιχα, και $T=(AO_{1}) \cap (CO_{2})$. Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι το $T$ ανήκει στον περίκυκλο του $\vartriangle{ABC}$. Είναι $\angle{ATC}=180^{\circ}-\angle{TAC}-\angle{TCA}\qquad (...
από giannimani
Σάβ Ιούλ 25, 2015 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 736

Δύο περίκεντρα και ένα ύψος

Σημείο $P$ ανήκει στην πλευρά $AC$ τριγώνου $ABC$. Η ευθεία $BP$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle{ABC}$ στο σημείο $R$. Τα σημεία $O_{1}$ και $O_{2}$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $APR$ και $CPR$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $AO_{1}$ και $CO_{2}$ τέμνονται επί ενός ύψ...
από giannimani
Πέμ Ιούλ 23, 2015 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Και σε μια γραμμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 271

Re: Και σε μια γραμμή

linepng.png Έστω $M$ το μέσο του $BC$, $K=(BC)\cap (AD)$ και $P= (OT) \cap (AD)$. Προφανώς, τα σημεία $O$, $M$ και $D$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OBD$ ($\angle{OBD}=90^{\circ}$), $BM \perp OD$, οπότε $OB^2=OM \cdot OD$. Αλλά $OB=OA$, επομένως $OA^2=OM \cdot OD$, δηλαδή, η ευθε...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 19, 2015 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ορθογώνιοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 425

Re: Ορθογώνιοι Κύκλοι

orthog.png α) Θεωρούμε τη σπειροειδή ομοιότητα $S$ κέντρου $A$, γωνίας $90^{\circ}$, και συντελεστή $k=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$ (όπου $\rho_{1}$, $\rho_{2}$ οι ακτίνες των κύκλων $(\omega_{1})$, $(\omega_{2})$ αντίστοιχα), με την οποία ο κύκλος $(\omega_{1})$ αντιστοιχίζεται στον κύκλο $(\omega_{...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 19, 2015 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ορθογώνιοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 425

Ορθογώνιοι Κύκλοι

Δύο κύκλοι $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ με κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα, τέμνονται ορθογώνια στα σημεία $A$ και $B$. Ένα σημείο $H$ του κύκλου $(\omega_{1})$ ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου $(\omega_{2})$. Οι ημιευθείες $AH$ και $BH$ τέμνουν τον $(\omega_{2})$ στα σημεία $C$ και $D$ αν...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 12, 2015 11:17 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 943

Re: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο

probl.png Έστω ότι τα τρίγωνα $ABC$ και $A_{1}B_{1}C_{1}$ έχουν κοινούς τους περιγεγραμμένους και εγγεγραμμένους κύκλους τους , με κέντρα $O$ και $I$ αντίστοιχα. Έστω επίσης, $K'$, $L'$, $M'$, και $K'_{1}$, $L'_{1}$, $M'_{1}$ τα μέσα των τόξων $BC$, $AC$, $AB$ και $B_{1}C_{1}$, $A_{1}C_{1}$, $A_{1}...
από giannimani
Παρ Ιούλ 10, 2015 8:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 943

Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο

Δύο τρίγωνα έχουν τον ίδιο εγγεγραμμένο κύκλο καθώς επίσης και τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο. Οι πλευρές του ενός από αυτά τα τρίγωνα εφάπτονται του εγγεγραμμένου κύκλου του στα σημεία $K$, $L$ και $M$, και του άλλου στα σημεία $K_{1}$, $L_{1}$ και $M_{1}$. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα $KLM$ και $K_...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση