Η αναζήτηση βρήκε 106 εγγραφές

από giannimani
Δευ Νοέμ 23, 2015 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ένας γεωμετρικός τόπος ...
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 747

Re: Ένας γεωμετρικός τόπος ...

locus.png Από το $A$ φέρουμε την κάθετη στις $(\epsilon_{1})$, $(\epsilon_{2})$ που τις τέμνει στα σημεία $B_{0}$, $C_{0}$ αντίστοιχα. Έστω , επίσης, $M_{0}$ σημείο ώστε το τρίγωνο $B_{0}C_{0}M_{0}$ όμοιο προς το δοθέν. Θεωρούμε και μία άλλη θέση του τριγώνου, έστω $BCM$(Σχήμα), τότε $B_{0}C_{0}M_{...
από giannimani
Παρ Νοέμ 13, 2015 9:53 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Βίοι παράλληλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 410

Re: Βίοι παράλληλοι

Έστω ότι $TL \parallel AC$. Θα αποδείξουμε ότι η $AL$ διχοτομεί τη $CS$. Αρκεί $DM \parallel AB$. Αλλά, είναι γνωστό ότι, στο τραπέζιο $ACLT$ τα μέσα $N$, $K$ των βάσεών του $AC$, $LT$, το σημείο τομής $M$ των διαγωνίων του $AL$, $CT$, και το σημείο τομής $D$ των μη παραλλήλων πλευρών του $AT$, $CL$...
από giannimani
Τρί Νοέμ 10, 2015 1:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτομεί...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Re: Διχοτομεί...

Ευχαριστώ τη Φωτεινή.
Και να φανταστείς, ότι ήταν ο μοναδικός φάκελλος που "υποτίθεται" ότι έψαξα.

Γιάννης
από giannimani
Τρί Νοέμ 10, 2015 9:32 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διχοτομεί...
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 220

Διχοτομεί...

ask.png
ask.png (15.63 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Σε τρίγωνο ABC ο εγγεγραμμένος κύκλος \omega (κέντρου I) εφάπτεται των πλευρών BC, AC, AB αντίστοιχα, στα σημείαA', B', C'. Η διάμετρος A'I(*) τέμνει τη B'C' στο σημείο N. Να αποδειχτεί ότι η ευθείαAN διχοτομεί την πλευρά BC.

(*) Έγινε διόρθωση. Δίνω και το σχήμα.
από giannimani
Δευ Σεπ 28, 2015 2:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Από το ίδιο σημείο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 311

Από το ίδιο σημείο

Δίνεται σκαληνό τρίγωνο ABC. Να αποδειχτεί ότι, η διχοτόμος της γωνίας A, η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των AB, BC, και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο \triangle{ABC} κύκλου με τις AC και BC, διέρχονται από το ίδιο σημείο.
από giannimani
Τρί Σεπ 22, 2015 11:48 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 504

Re: Καθετότητα

Καλημέρα. Παραθέτω και μία λύση με τη χρήση του μετασχηματισμού της ομοιότητας. Θεωρούμε τη σπειροειδή (ομόρροπη) ομοιότητα $S$ με την οποία το ευθύγραμμο τμήμα $P_{1}P_{2}$ απεικονίζεται στο $AC$. Είναι γνωστό ότι, το κέντρο αυτής της ομοιότητας ορίζεται ως το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων $P_{1}...
από giannimani
Τρί Σεπ 22, 2015 2:38 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Καθετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 504

Καθετότητα

Δίνεται τρίγωνο $ABC$. Στο τόξο $BC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, που δεν περιέχει την κορυφή $A$, θεωρούμε σημείο $P$, και $P_{1}$, $P_{2}$ οι προβολές του στις $AB$, $BC$ αντίστοιχα. Έστω, επίσης, $B_{0}$ το μέσο της πλευράς $AC$ και $M$ το μέσο του $P_{1}P_{2}$. Να αποδειχτεί ότι $PM ...
από giannimani
Πέμ Σεπ 17, 2015 8:50 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Συνευθειακά σημεία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 431

Συνευθειακά σημεία

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ ($A=90^{\circ}$). Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AC$, $AH$ το ύψος του $\triangle{ABC}$ και $AD$ η διχοτόμος της γωνίας $CAH$ (το $D \in BC$). Αν η παράλληλη προς την $AD$ από το $B$ τέμνει την ευθεία του ύψους $AH$ στο σημείο $E$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $E$, $D$ ...
από giannimani
Κυρ Αύγ 23, 2015 11:23 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 432

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Καλημέρα

Τη συγκεκριμένη άσκηση τη "ξεσήκωσα" από το βιβλίο του Αρσένι Ακοπιάν: Η Γεωμετρία σε σχήματα. Είναι η άσκηση με αριθμό (4.8.27). Στις πληροφορίες, στο τέλος του βιβλίου, αναφέρει ότι έχει δοδεί στην Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2007-2008.

Γιάννης Μανίκας
από giannimani
Σάβ Αύγ 22, 2015 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 432

Ομοκυκλικά σημεία

Δίνεται τρίγωνο $ABC$, και έστω ότι η εφαπτομένη του περιγεγραμμένου του κύκλου στην κορυφή $A$ τέμνει την προέκταση της πλευράς του $BC$ στο σημείο $D$. Αν $A'$ το συμμετρικό του $A$ ως προς το σημείο $D$, και $C'$ το συμμετρικό του $C$ ως προς την ευθεία $AA'$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $B$...
από giannimani
Πέμ Αύγ 13, 2015 11:41 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Βάλε μέσο για το μέσο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 440

Re: Βάλε μέσο για το μέσο

mesopng_Page1.png Έστω $T_{1}$, $T_{2}$ τα συμμετρικά του $T$ ως προς τα σημεία $D$, $E$ αντίστοιχα. Προφανώς, $T_{1}T_{2} \parallel ED$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι τα σημεία $T_{1}$, $T_{2}$, και $G$ ανήκουν στην ίδια ευθεία, οπότε το πρόβλημα θα έχει αποδειχτεί (στο $\triangle{T_{2}TT_{1}}$ τα $E$,...
από giannimani
Τρί Αύγ 11, 2015 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τα προς τρίτον τινί ίσα και αλλήλοις ίσα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 480

Re: Τα προς τρίτον τινί ίσα και αλλήλοις ίσα

exer15png_Page1.png Έστω $\omega_{1}$ ο περίκυκλος του τριγώνου $EBQ$ (κέντρου $O_{1}$ μέσου του $BQ$), $\omega_{2}$ ο περίκυκλος του τριγώνου $CDP$ (κέντρου $O_{2}$ μέσου του $CP$), και $\omega_{0}$ ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $B$, $E$, $D$, $C$ (κέντρου $M$ μέσου του $BC$). Έστω επίσης $...
από giannimani
Παρ Αύγ 07, 2015 9:54 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ετσι κι αλλιώς ίσα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 586

Re: Ετσι κι αλλιώς ίσα

semicirclepng_Page1.png Το τετράπλευρο $ASCZ$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου $CZ$ ($\angle{ZAC}=\angle{ZSC}=90^{\circ}$). Φέρουμε $ZK \perp BC$. Εφόσον $\angle{ZKC}=90^{\circ}$, το $K$ ανήκει στον κύκλο διαμέτρου $CZ$. To $ASKZ$ είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε $AZ=SK$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ...
από giannimani
Δευ Αύγ 03, 2015 1:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ορθοστασία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 824

Re: Ορθοστασία

orthostpng_Page1.png Έστω $B'$ το αντιδιαμετρικό του $B$ στον κύκλο $(C_{1})$, και $S'$ το σημείο τομής της ευθείας $B'T$ με τον $(C_{1})$. Είναι $BS' \perp B'T$ εφόσον $\angle{B'S'B}=90^{\circ}$ (εγγεγραμμένη γωνία του $(C_{1})$ που βαίνει σε ημικύκλιο). Τα σημεία $O$ (κέντρο του κύκλου $(C_{1})$)...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 26, 2015 12:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 739

Re: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος

two_perikpng_Page1.png Έστω $A'$, $C'$ τα αντιδιαμετρικά σημεία των $A$, $C$ στους κύκλους $(O_{1})$, $(O_{2})$ αντίστοιχα, και $T=(AO_{1}) \cap (CO_{2})$. Αρχικά, θα αποδείξουμε ότι το $T$ ανήκει στον περίκυκλο του $\vartriangle{ABC}$. Είναι $\angle{ATC}=180^{\circ}-\angle{TAC}-\angle{TCA}\qquad (...
από giannimani
Σάβ Ιούλ 25, 2015 12:35 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Δύο περίκεντρα και ένα ύψος
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 739

Δύο περίκεντρα και ένα ύψος

Σημείο $P$ ανήκει στην πλευρά $AC$ τριγώνου $ABC$. Η ευθεία $BP$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle{ABC}$ στο σημείο $R$. Τα σημεία $O_{1}$ και $O_{2}$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $APR$ και $CPR$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες $AO_{1}$ και $CO_{2}$ τέμνονται επί ενός ύψ...
από giannimani
Πέμ Ιούλ 23, 2015 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Και σε μια γραμμή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Re: Και σε μια γραμμή

linepng.png Έστω $M$ το μέσο του $BC$, $K=(BC)\cap (AD)$ και $P= (OT) \cap (AD)$. Προφανώς, τα σημεία $O$, $M$ και $D$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $OBD$ ($\angle{OBD}=90^{\circ}$), $BM \perp OD$, οπότε $OB^2=OM \cdot OD$. Αλλά $OB=OA$, επομένως $OA^2=OM \cdot OD$, δηλαδή, η ευθε...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 19, 2015 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ορθογώνιοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 429

Re: Ορθογώνιοι Κύκλοι

orthog.png α) Θεωρούμε τη σπειροειδή ομοιότητα $S$ κέντρου $A$, γωνίας $90^{\circ}$, και συντελεστή $k=\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$ (όπου $\rho_{1}$, $\rho_{2}$ οι ακτίνες των κύκλων $(\omega_{1})$, $(\omega_{2})$ αντίστοιχα), με την οποία ο κύκλος $(\omega_{1})$ αντιστοιχίζεται στον κύκλο $(\omega_{...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 19, 2015 12:13 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ορθογώνιοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 429

Ορθογώνιοι Κύκλοι

Δύο κύκλοι $(\omega_{1})$ και $(\omega_{2})$ με κέντρα $O_{1}$ και $O_{2}$ αντίστοιχα, τέμνονται ορθογώνια στα σημεία $A$ και $B$. Ένα σημείο $H$ του κύκλου $(\omega_{1})$ ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου $(\omega_{2})$. Οι ημιευθείες $AH$ και $BH$ τέμνουν τον $(\omega_{2})$ στα σημεία $C$ και $D$ αν...
από giannimani
Κυρ Ιούλ 12, 2015 11:17 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 959

Re: Τρίγωνα με κοινό έγκυκλο και κοινό περίκυκλο

probl.png Έστω ότι τα τρίγωνα $ABC$ και $A_{1}B_{1}C_{1}$ έχουν κοινούς τους περιγεγραμμένους και εγγεγραμμένους κύκλους τους , με κέντρα $O$ και $I$ αντίστοιχα. Έστω επίσης, $K'$, $L'$, $M'$, και $K'_{1}$, $L'_{1}$, $M'_{1}$ τα μέσα των τόξων $BC$, $AC$, $AB$ και $B_{1}C_{1}$, $A_{1}C_{1}$, $A_{1}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση