Η αναζήτηση βρήκε 105 εγγραφές

από giannimani
Δευ Ιουν 22, 2015 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 910

Re: Ομοκυκλικά σημεία

omocyclic2.png Θα xρησιμοποιήσουμε το εξής Λήμμα: Τα σημεία $X$ και $Y$ κινούνται με σταθερές ταχύτητες (όχι αναγκαία ίσες) σε δύο σταθερές ευθείες που τέμνονται στο σημείο $O$. Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $XYO$, διέρχεται από δύο σταθερά σημεία $O$ και $Z$, όπου το $Z$ ...
από giannimani
Κυρ Ιουν 21, 2015 7:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 910

Ομοκυκλικά σημεία

cyclic.png Σε οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $ABC$ η διχοτόμος της οξείας γωνίας που σχηματίζουν τα ύψη $AA_{1}$ και $CC_{1}$ τέμνει τις πλευρές $AB$ και $BC$ στα σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα. Η διχοτόμος της γωνίας $B$ τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου $ABC$ με το μέ...
από giannimani
Τρί Ιουν 16, 2015 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 610

Re: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

incenters_sol.png Έστω $K$, $L$ σημεία επαφής του κύκλου $(\omega)$ με τις πλευρές $BA$, $BC$ του $\triangle{ABC}$ αντίστοιχα. Έστω επίσης $C'$, $A'$ τα σημεία τομής των ευθειών $T_{b}K$, $T_{b}L$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο $(S)$ του $\triangle{ABC}$. Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου $T_{b}$ με την...
από giannimani
Τρί Ιουν 16, 2015 1:27 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 610

Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

incenters.png Στο τόξο $AC$ του περιγεγραμμένου κύκλου $(S)$ του τριγώνου $ABC$, που δεν περιέχει το σημείο $B$, θεωρούμε ένα σημείο $E$. Έστω $I_{a}$ και $I_{c}$ τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $AEB$ και $CEB$ αντίστοιχα, και $T_{b}$ το σημείο στο οποίο ο κύκλος $(\omega)$ ο εγγεγρ...
από giannimani
Πέμ Απρ 16, 2015 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Συνευθειακά και μέσο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 816

Re: Συνευθειακά και μέσο

prob.png Έστω $DK$ διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου του $\triangle{ABC}$ (βλέπε σχήμα). Η εφαπτομένη $B'C'$ αυτού του κύκλου στο σημείο $K$ είναι παράλληλη της πλευράς $BC$. Το σημείο $K$ είναι το σημείο επαφής, του παρεγγεγραμμένου στο τρίγωνο $AB'C'$ κύκλου, με την πλευρά $B'C'$. Αφετέρου, το σ...
από giannimani
Κυρ Φεβ 15, 2015 12:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 526

Re: Ομοκυκλικά σημεία

omocyclic.png Έστω $E$ και $F$ οι προβολές των κορυφών $B$ και $C$ στις $\ell_{1}$ και $\ell_{2}$ αντίστοιχα (βλέπε σχήμα). Από την υπόθεση προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $AEB$ και $AFC$ είναι όμοια, οπότε $\frac{EA}{EB} = \frac{FA}{FC}\quad (1)$. Έστω $S$ η σύνθεση των επόμενων μετασχηματισμών...
από giannimani
Πέμ Φεβ 12, 2015 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ομοκυκλικά σημεία
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 526

Ομοκυκλικά σημεία

Από την κορυφή $A$ ενός τριγώνου $ABC$ θεωρούμε δύο ευθείες $\ell_{1}$ και $\ell_{2}$, συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της γωνίας $A$. Να αποδείξετε ότι οι προβολές των $B$ και $C$ στις $\ell_{1}$ και $\ell_{2}$, το μέσο της πλευράς $BC$ , και το ίχνος του ύψους που άγεται από την κορυφή $A$, ανήκου...
από giannimani
Σάβ Ιαν 24, 2015 10:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Περιγεγραμμένος+Εγγεγραμμένος+Παρεγγεγραμμένοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 577

Re: Περιγεγραμμένος+Εγγεγραμμένος+Παρεγγεγραμμένοι Κύκλοι

probl.png Θα αποδείξουμε ότι $\triangle{A_{1}B_{1}C_{1} \sim \triangle{A_{2}B_{2}C_{2}$. Ισχύουν $BC_{0}=CB_{0}=\tau-\alpha$ $AC_{0}=CA_{0}= \tau-\beta$ $AB_{0}=BA_{0}= \tau-\gamma$ όπου $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ τα μήκη των πλευρών $BC$, $AC$, $AB$ αντίστοιχα και $\tau$ η ημιπερίμετρος του τριγώ...
από giannimani
Πέμ Ιαν 15, 2015 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Περιγεγραμμένος+Εγγεγραμμένος+Παρεγγεγραμμένοι Κύκλοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 577

Περιγεγραμμένος+Εγγεγραμμένος+Παρεγγεγραμμένοι Κύκλοι

Έστω $A_{0}$, $B_{0}$ και $C_{0}$ αντίστοιχα, τα σημεία επαφής των παρεγγεγραμμένων κύκλων με τις πλευρές $BC$, $AC$ και $AB$ του τριγώνου $ABC$. Θεωρούμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων $A_{0}B_{0}C$, $AB_{0}C_{0}$ και $A_{0}CB_{0}$ που τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $ABC$...
από giannimani
Πέμ Φεβ 27, 2014 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 338

Re: τελευταία 033: γεωμετρικός τόπος προβολής

Είναι γνωστό ότι, η διαφορά των δυνάμεων ενός σημείου $P$ ως προς δύο κύκλους ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της διακέντρου των δύο κύκλων επί την απόσταση του $P$ από τον ριζικό άξονα των δύο κύκλων. Επομένως, στην περίπτωσή μας $\Delta^{P}_{(O_1,R_1)}-\Delta^{P}_{(O,OP)}=2O_{1}O\cdot PM$. Εφόσον ...
από giannimani
Πέμ Ιαν 30, 2014 2:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 486

Re: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

locus_five.jpg Το $\triangle{AME}$ παραμένει όμοιο προς εαυτό. Έστω $\frac{AM}{AE}=k \Rightarrow \frac{AB}{AE}=2k$. Επομένως και το $\triangle{BAE}$ παραμένει όμοιο προς εαυτό. Έστω $\frac{BE}{BA}=\lambda$ και $\angle{ABE}=\omega$. Τότε το $E$ είναι ομόλογο του $A$ με την ομόρροπη ομοιότητα κέντρου...
από giannimani
Παρ Δεκ 27, 2013 1:12 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Σχολών
Θέμα: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 588

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ikarvn1973_exer4.jpg 4. Οι $KA'$, $KB'$, $K\Gamma\,'$ τέμνουν τις πλευρές $B\Gamma$, $A\Gamma$, $AB$ του τριγώνου $\triangle{AB\Gamma}$, αντίστοιχα στα μέσα τους $A_1$, $B_1$, $\Gamma_1$. Το τρίγωνο $A_1B_1\Gamma_1$ προκύπτει από το τρίγωνο $AB\Gamma$ με την ομοιοθεσία κέντρου $G$ (κέντρο βάρους το...
από giannimani
Παρ Δεκ 13, 2013 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ισεμβαδικότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 568

Re: Ισεμβαδικότητα

equal_areas.png Αρχικά $\triangle{D'E'Z'}=\triangle{DEZ}$ (συμμετρικά ως προς το έγκεντρο $I$ του $\triangle{ABC}$) (Σχ. α). Αρκεί, επομένως, $(DEZ)=(D''E''Z'')$. Παρατηρούμε ότι τα $D$, $D''$ είναι συμμετρικά ως προς το μέσο $M$ της πλευράς $BC$ του $\triangle{ABC}$. Πράγματι, με την ομοιοθεσία κέ...
από giannimani
Πέμ Δεκ 12, 2013 10:41 pm
Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Σχολών
Θέμα: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 818

Re: ΙΚΑΡΩΝ 1979 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ikarvn1979_b.png 2. Δίνεται κύκλος $(O,R)$ και σημείο $A$ εξωτερικά αυτού. Θεωρούμε την κάθετο $xy$ της $OA$ στο $A$ και ένα τυχαίο σημείο $M$ επί αυτής. Έστω $MB$ και $M\Gamma$ τα εφαπτόμενα τμήματα και $A\Delta \perp MB$, $AE \perp M\Gamma$. Να αποδείξετε ότι η ευθεία $\Delta E$ διέρχεται από στα...
από giannimani
Πέμ Δεκ 12, 2013 2:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογώνιοι κύκλοι
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 425

Re: Ορθογώνιοι κύκλοι

orthogon_circles.png Θεωρούμε την αντιστροφή κέντρου $C$ και δύναμης $CD^2$. Με αυτή την αντιστροφή τα ομόλογα των κύκλων $ADC$ και $BDC$ είναι αντίστοιχα οι ευθείες $DD'_1$ και $DD'_2$ (βλέπε σχήμα). Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα $ADCD_1$ και $BDCD_2$ έχουμε: $\angle{DAC}=\angle{D_1}$ και $\angl...
από giannimani
Παρ Ιούλ 12, 2013 10:36 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρικοί Τόποι (συνέχεια)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 212

Re: Γεωμετρικοί Τόποι (συνέχεια)

locus3.jpg Έχει αποδειχτεί ( http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=112&t=38110 ) ότι η χορδή $NP$ έχει σταθερό μήκος και επομένως και το απόστημά της $O_{2}K$ είναι επίσης σταθερό. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του μέσου $K$ της χορδής $NP$ είναι κύκλος κέντρου $O_2$ και ακτίνας $O_2K$. Έστω $G...
από giannimani
Πέμ Ιούλ 11, 2013 8:05 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρικοί Τόποι (συνέχεια)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 212

Γεωμετρικοί Τόποι (συνέχεια)

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(O_1,R_1)$ και $(O_2,R_2)$ που τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$. Από μεταβλητό σημείο $M$ του κύκλου $(O_1,R_1)$ φέρουμε τις ευθείες $MA$ και $MB$ που τέμνουν τον κύκλο $(O_2,R_2)$ αντίστοιχα στα σημεία $N$ και $P$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου βάρους του τρ...
από giannimani
Δευ Ιούλ 08, 2013 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρικοί Τόποι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 703

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

locusbb.jpg β) Η $\angle NMP$ είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο σταθερό τόξο $\overset{\frown}{AB}$ του κύκλου $C_{1}$ και επομένως δεν εξαρτάται από το σημείο $M$, $\angle NMP= \displaystyle \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}$. Επίσης η ίδια γωνία μετρούμενη στον κύκλο $C_{2}$ ισούται με $\angle NMP=\...
από giannimani
Δευ Ιούλ 08, 2013 1:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρικοί Τόποι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 703

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

locusa3.jpg α3) Το κέντρο βάρους $G$ του τριγώνου $MNP$ ανήκει στο τμήμα $OH$ και διαιρεί το τμήμα αυτό σε λόγο $\displaystyle \frac{OG}{GH} = \frac{1}{2}$ (ευθεία του Euler). Είναι $O_{1}H \parallel O_{2}O$ (αμφότερα κάθετα στην $NP$). Από το $G$ φέρουμε παράλληλη προς τις $O_{1}H$, $O_{2}O$ που τ...
από giannimani
Παρ Ιούλ 05, 2013 3:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Γεωμετρικοί Τόποι
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 703

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

locusa2.jpg α2) Έστω $H$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $MNP$. Τα τρίγωνα $MPN$ και $MAB$ είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\displaystyle \frac{OM}{R_1}=\frac{\delta}{R_1}$, όπου $\delta=O_1O_2=OM$. Θεωρούμε το τρίγωνο $M_1A_1B_1$, όπου $M_1,A_1,B_1$ τα μέσα αντίστοιχα των πλευρών $AB,MA,MB$ του τριγώνου...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση