Η αναζήτηση βρήκε 11471 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Παρ Μάιος 08, 2020 10:27 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 392

Re: Σύγκλιση σειράς

Δεν συγκλίνει απόλυτα. Έχουμε $e^{\frac{1}{n}} > \frac{1}{n} +1$. Οπότε $\sum (e^{\frac{1}{n}} -1) > \sum \frac{1}{n}$. Άρα δεν συγκλίνει απόλυτα αφού η $\sum \frac{1}{n}$ αποκλίνει. Σωστά αλλά, για να είμαστε απόλυτα ακριβείς, η άσκηση ζητά και την κατά συνθήκη σύγκλιση. Δεν λέω ότι είναι δύσκολο,...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση σειράς
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 392

Re: Σύγκλιση σειράς

Να εξετασθεί ως προς την απόλυτη και την υπό συνθήκη σύγκλιση η σειρά $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{-n})\,.$ Υποθέτω ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, και το σωστό είναι $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}(1-{\rm{e}}^{1/n})\,.$ Δεν γράφω λύση για να ασχοληθούν οι...
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μάιος 07, 2020 11:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Μάιος 07, 2020 10:32 pm
Μιχάλη απαγορεύεται να δουλέψουμε και με τη tabular integration ; Αν ναι, τότε ενδιαφέρον.
Ασφαλώς και απαγορεύεται. H tabular integration είναι ακριβώς ολοκλήρωση κατά παράγοντες και μάλιστα "n-φορές". Απαγορεύεται δια ροπάλου.
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μάιος 07, 2020 5:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 93

Έστω a, \,b,\, c,\,d \in \mathbb R. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int (ax^3+bx^2+cx+ d)e^x\, dx}

Σχόλιο: Με κατά παράγοντες είναι απλό αλλά ίσως κάπως επίπονο. Την αναρτώ γιατί ζητώ απλή λύση, χωρίς κατά παράγοντες.
από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μάιος 07, 2020 8:18 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Απαντήσεις: 143
Προβολές: 15896

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Άσκηση 41 Έστω ότι για δύο πολυώνυμα $ax^2+bx+c, \, Ax^2+Bx+C, \, a\ne 0\ne A$ υπάρχει μία συνάρτηση $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει $f(ax^2+bx+c)= Ax^2+Bx+C$. Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $p,\,q$ και διάστημα $I$ της μορφής $(-\infty ,\, t...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Μάιος 06, 2020 8:16 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 91 Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x + \sin^{2\nu} x}{1+\sin^{2\nu}x + \cos^{2\nu}x} \, \mathrm{d}x}$ όπου $\nu \in \mathbb{N}$ $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{x^2 \cos x}{1+x+\sqrt{x^2+1}} \, \math...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Μάιος 06, 2020 8:00 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 90 Έστω $\nu \in \mathbb{N}$. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{-1}^{1} \left ( \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x+1+\sqrt{x^2+1}} \right )^{2\nu+1}}$ Για να κλείνει: Η αλλαγή μεταβλητής $x=-t$ δίνει $\displaystyle{ \mathcal{J} =\int_{-1}^{1} \left ( \frac{-t-1+\sqrt{t^...
από Mihalis_Lambrou
Τετ Μάιος 06, 2020 7:41 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: βοηθεια
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 418

Re: βοηθεια

Ελπίζω να μην κάνω λάθος αλλά βρίσκω σωστή την αρχική απάντηση. Για έλεγχο, βρίσκω γενικότερα

\displaystyle{ \int \sin x e^{-\frac{x}{2}}\, dx= -\dfrac {2}{5}\left ( 2\cos x+ \sin x \right ) e^{-\frac{x}{2}} +c}
από Mihalis_Lambrou
Τρί Μάιος 05, 2020 10:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περίεργο διπλό ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 489

Re: Περίεργο διπλό ολοκλήρωμα

ΑΚόμη το ψάχνω. Θα ρωτήσω και θα επανέλθω με λύση. Αν εννοείς ότι ακόμα ψάχνεις πώς θα κάνεις την ολοκλήρωση, θα επαναλάβω αυτό που έγραψε ο Σταύρος παραπάνω. Δεν νομίζω να υπάρχει πιο απλό διπλό ολοκλήρωμα Συγκεκριμένα, αν ξέρεις να κάνεις τα ολοκληρώματα $\int cdt,\, \int tdt, \, \int t^2dt$, τότ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 04, 2020 8:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 251

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

:10sta10:

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι πλατειάζεις κάπως. Μπορείς να γράψεις τα ίδια με τα μισά λόγια, που για φοιτητή Θετικών Επιστημών, είναι πλεονέκτημα.
από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 04, 2020 5:04 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 251

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Είναι κατανοητό αυτό που λέτε. Σε περίπτωση όμως που δεν δηλώνεται ρητά η μετρική, ούτε καν δε αν ο $\mathbb{R}^{n}$ διαθέτει μετρική, τότε υποθέτουμε πως αναφέρεται στον Ευκλείδειο και χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια νόρμα; Όχι δεν μπορούμε να υποθέσουμε τίποτα για πράγματα που δεν δίνονται. Αυτό ισ...
από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 04, 2020 7:47 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 251

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Θα διαφωνήσω με την απάντηση: . Όταν λένε $n$-διάστατο ευκλειδιο χώρο εννοούν τον $\mathbb{R}^n$. Δεν υπάρχει καμία διαφορά ανάμεσα στον $n$-διάστατο Ευκλείδιο χώρο και στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^n$. Έρχομαι στο ερώτημα: . Βρίσκω σε πανεπιστημιακό σύγγραμμα τον εξής ορισμό : Ο διανυσματικός ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Μάιος 03, 2020 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ένα όριο με περιορισμό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 439

Re: Ένα όριο με περιορισμό

... δε βλέπω πώς να αποφύγουμε κάποια ανισότητα όπως αυτές που είδαμε παραπάνω - τον Taylor, στην ουσία. Αν θέλεις μία λίγο εκτός ύλης απόδειξη χωρίς τις παραπάνω ανισότητες, είναι η παρακάτω. Χρησιμοποιεί το Θ.Μ.Τ. του Cauchy το οποίο όμως σπεύδω να προσθέσω οτι μπορεί να αποδειχθεί με εντός Σχολε...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Μάιος 03, 2020 9:16 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Κύκλος σε παραβολή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 95

Re: Κύκλος σε παραβολή

Κύκλος σε παραβολή.png Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με κέντρο στον ημιάξονα $Oy$ , ο οποίος εφάπτεται στην παραβολή με εξίσωση : $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-2$ και στον άξονα $x'x$ , στο $O(0,0)$ . Μπορούμε να κάνουμε χρήση παραγώγων, αλλά ας το δούμε χωρίς. Το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες της μο...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ένα όριο με περιορισμό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 439

Re: Ένα όριο με περιορισμό

Παραλλαγή για να γλιτώσουμε την διαίρεση ανισοτήτων και αντικατάστασή τους με διαίρεση ισοτήτων: Δείχνουμε πρώτα με βάση τις $\displaystyle{ - \frac {x^3}{3} - \frac {x^5}{120} \le x \cos x -\sin x\le - \frac {x^3}{3} + \frac {x^5}{24}}$ και $\displaystyle{ \frac {x^3}{6} - \frac {x^5}{120} \le x- \...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 9:20 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 89 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x \ln^{(2)} x \ln^{(3)} x \cdots \ln^{(n)}x}}$ όπου $\ln^{(n)}$ είναι $n$ συνθέσεις. Για παράδειγμα $\ln^{(2)} x = \ln ( \ln x )$. Ενδιαφέρον. Η απάντηση είναι μονολεκτική αφού η αντιπαράγωγος είναι οφ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 279
Προβολές: 10984

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 92 Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d}x}$ Για $1+\sqrt [4]x=y$, ισοδύναμα $x=(y-1)^2$, έχουμε $\dfrac {dx}{dy}= 4(y-1)^2$. Άρα $\displaystyle{I= 4\int \dfrac {\sqrt [3] y}{(y-1)^2}\cdot (y-1)^3\,dy = 4\int \sq...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ένα όριο με περιορισμό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 439

Re: Ένα όριο με περιορισμό

Να υπολογιστεί το όριο $\underset{x \to 0}{lim}\dfrac{xcosx-sinx}{x-sinx}$ χωρίς την χρήση του κανόνα De L Hospital Επειδή η συνάρτηση είναι άρτια, αρκεί να βρούμε το πλευρικό όριο στο $0+$. Εργαζόμαστε λοιπόν για $x>0$. Με χρήση των $\displaystyle{1- \frac {x^2}{2} \le \cos x \le 1- \frac {x^2}{2}...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Απολυταρχικό σύστημα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 136

Re: Απολυταρχικό σύστημα

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $a$ , λύστε το σύστημα : $\left\{\begin{matrix} x+y+|x|+|y| & =a\\ & \\ x-y-|x|+|y|& =2a \end{matrix}\right.$ 1) Αφού $a= x+y+|x|+|y| \ge 0$ σημαίνει ότι το σύστημα είναι αδύνατο αν $a<0$ 2) Aν $a=0$ έχουμε $0\le x+|x| \le x+|x| +y+|y| =a =0$, άρα $x+|...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Μάιος 02, 2020 1:57 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Διπλή ρίζα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 108

Re: Διπλή ρίζα

Βρείτε μία τιμή του πραγματικού $a$ , για τον οποίο η εξίσωση : $(x+3)^5+100=(ax+7)^3$ , έχει ( και ) διπλή ρίζα . "Βαθύ" ερώτημα : Υπάρχει άραγε άλλη τέτοια τιμή του $a$ ; Αφού $3^5+100=343=7^3$, μία ρίζα είναι η $x=0$. Αν αυτή είναι διπλή ρίζα, τότε θα είναι και ρίζα της παραγώγου του $(x+3)^5+10...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση