Η αναζήτηση βρήκε 11135 εγγραφές

από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιαν 12, 2020 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κορφοβούνια
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 248

Re: Κορφοβούνια

Οι πράξεις μου ήταν κάπως βιαστικές και μπορεί να έχω κάνει κάποιος λάθος. Κάθε διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη. Αφαιρέθηκε λάθος λύση. Είναι σαν να λες ότι το ορθογώνιο τρίγωνο $AZD'$ έχει κάθετες πλευρές $5$ και $7$, και υποτείνουσα $8$. Σωστά; Επειδή $5^2+7^2\ne 8^2$ κάπου θα έχεις κάποιο λογιστικό σ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιαν 12, 2020 2:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 15 Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{n} k^{k+1/k}}$ Σίγουρα; Όπως είναι αποκλίνει στο άπειρο αφού $\displaystyle{ k^{k+1/k} \ge k^2}$ και το $\displaystyle{\sum_{k=1}^n k^2}$ είναι της τάξης (σταθερά επί) $n^3$. Μαντεύω ότι η ...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιαν 12, 2020 2:18 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ο τυχερός μελλοθάνατος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 192

Re: Ο τυχερός μελλοθάνατος

Πρόκειται ουσιαστικά για το Monty's Hall πρόβλημα, που το έχουμε συζητήσει στο φόρουμ. Βλέπε εδώ και την εκεί παραπομπή.
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιαν 12, 2020 2:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατάλληλη προέκταση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 103

Re: Κατάλληλη προέκταση

Κατάλληλη προέκταση.pngΟι πλευρές $AB=c , AC=b $ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ είναι γνωστές . Τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC,AC$ αντίστοιχα . Προεκτείνουμε το $MN$ κατά τμήμα $NS$ , έτσι ώστε η $SA$ να εφάπτεται του περικύκλου του τριγώνου . Υπολογίστε το τμήμα $NS$ . H $\angle SAN...
από Mihalis_Lambrou
Κυρ Ιαν 12, 2020 12:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Τόλη, γλυτώνουμε πολλές πράξεις με μικρά τεχνάσματα. α) Τα $\displaystyle{ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx, \, \int_{0}^{\pi/2} \sin x \cos^3 x dx }$ έτοιμη αντιπαράγωγος, $\displaystyle{\frac {1}{4} \sin^4 x , \, \frac {1}{4} \cos^4 x}$ αντίστοιχα, οπότε δεν χρειάζεται η μανούβρα που κάνεις. β)...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 14 Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{ \dfrac {1}{n} \sqrt [n] {\left(n+ d \right ) \left (n+ 2d \right ) \left (n+ 3d \right )\cdot ... \, \cdot \left (n+ nd)} \right )}}$, όπου $d>0$. (Πρόκειται για δίδυμο αδελφάκι της Άσκησης $9$. Η ομοιότητα εκτός από οπτική, είναι βαθύ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:10 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 57 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{ \displaystyle\int_0^{\frac {\pi}{2} } \frac{\sin ^5 x}{\sin x + \cos x }dx }}$ (Δεν χρειάζεται να κάνετε μέχρι τέλους τις πράξεις στο τελευταίο βήμα γιατί είναι επίπονες. Πάντως η τελική αριθμητική απάντηση είναι $\displaystyle{\d...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μήκος τοξου
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 403

Re: Μήκος τοξου

Λογισμικό Maple Εδώ τα πράγματα είναι διαφορετικά! Στην πρώτη γραμμή έχει εισαχθεί ο αριθμός $\displaystyle{x_1=\frac{1}{3}}$ με την εντολή να γραφεί σε δεκαδική μορφή με έξι δεκαδικά ψηφία. Το αποτέλεσμα που προέκυψε δόθηκε για υπολογισμό του δεύτερου όρου κλπ. Το αποτέλεσμα είναι εντελώς διαφορετ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:51 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μήκος τοξου
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 403

Re: Μήκος τοξου

Παρόλα αυτά, προσωπικά πιστεύω ότι οι μηχανές αυτές βοηθούν. Στην εργασία μας, στο σχολείο, στην έρευνα, .... Θα συμφωνήσω. Είναι πραγματικά ένα εξαιρετικό ανακαλυπτικό εργαλείο, άσε την απόλαυση που εισπράττεις παίζοντας με τα λογισμικά. Στην ομιλία μου που αναφέρθηκα παραπάνω είχα μερικά έξοχα χε...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Το (β) η αλήθεια είναι ότι δε το χω δει κάπου. Τόλη, ούτε εγώ το έχω δει αλλά δεν αμφιβάλλω ότι είναι αρκετά γνωστό, στην μία ή την άλλη μορφή. Άσκηση 56 Έστω $0<\alpha<\beta$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta} \frac{\ln x}{\left ( x+\alpha \right )\left ( x+\beta \right )} \, \m...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 6:15 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μήκος τοξου
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 403

Re: Μήκος τοξου

Συγκεκριμένα, είχα βρει μερικά ωραιότατα παραδείγματα όπου είτε το λογισμικό τα θαλασσώνει, είτε λέει μεν την σωστή απάντηση αλλά εμείς δεν την αποκωδικοποιούμε σωστά. Ας δούμε ένα παράδειγμα όπου το λογισμικό μας τα θαλασσώνει. Ας υποθέσουμε ότι δουλεύουμε με ακρίβεια $6$ δεκαδικών ψηφίων. Για παρ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 5:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Εξίσωση με ακέραιο μέρος
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 198

Εξίσωση με ακέραιο μέρος

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη (x,y) με \displaystyle{[x]^2+[y]^2=5}.

Εδώ [a] το ακέραιο μέρος του a.

(Είναι απλή. Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές μας.)
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 5:32 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία). Ευκολάκι αν ξέρεις το κόλπο... αν δε το ξέρεις κλάφτα Χαράλαμπε. Ορθότατο. Η γενικότερη κατηγορία που αναφέρθηκα είναι η (ας το δούμε ως προτεινόμενη άσκηση) Άσκηση 55 α) Αν $f(a+b-x)=-f(x) $ για κάθε $x\in [a,b]$ , τότε $\displa...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 11:20 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 54

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

\displaystyle{ \int _a^b \dfrac{e^{x/a} - e^{b/x}}{ \sqrt {abx+x^3}      }\,dx}

(Ευκολάκι με κλασικό τεχνασματάκι. Εμπίπτει σε γενικότερη κατηγορία).
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 10:09 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Έχω παρατηρήσει ότι μερικές από τις παραπάνω ασκήσεις εμπίπτουν στην εξής περίπτωση, την οποία θέτω ως άσκηση Άσκηση 13 Έστω $f: \mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής και μονότονη συνάρτηση και έστω $(a_n) $ ακολουθία θετικών όρων με $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} a_n=0}$. Τότε $\displayst...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:49 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 53 Υπολογίστε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου . Πιθανή ομοιότητα με τον Euler , ας θεωρηθεί συμπτωματική ! Ας βρούμε πρώτα το αόριστο, με κατά παράγοντες δύο φορές, $\displaystyle{I=\int \sin (\ln x) dx = \int x' \sin (\ln x) dx= x\sin (\ln x) - \int \cos (\ln x) dx = x\sin (\ln x) - ...
από Mihalis_Lambrou
Σάβ Ιαν 11, 2020 12:57 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

’Ασκηση 11 Να υπολογιστεί ( αν υπάρχει ) το όριο : $\displaystyle{\ell =\lim \limits_{n \rightarrow + \infty } \sum _{k = 1}^n {\frac{{\ln \left( {1 + \frac{k}{n}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + k} }}} }}$ Πιο απλά. Το δοθέν άθροισμα είναι ανάμεσα στo $\displaystyle{ \sum _{k = 1}^n {\dfrac{{\ln \left( ...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιαν 10, 2020 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 52 Βρείτε την μικρότερη τιμή του θετικού ακεραίου $a$ , για την οποία το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}a(1+tan^2x)^5dx$ , είναι επίσης ακέραιος . H αλλαγή μεταβλητής $t=\tan x$ δίνει $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan^2x)^5dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1+\tan^2x)^4(\ta...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιαν 10, 2020 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 42
Προβολές: 1434

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 10 Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{1+n c^\frac{i}{n}}$ όπου $c$ θετικός πραγματικός μεγαλύτερος της μονάδας. Πιο απλά. Το άθροισμα είναι μεταξύ των $\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}\dfrac{1}{(1+n) c^\frac{i}{n}}= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{1}{n...
από Mihalis_Lambrou
Παρ Ιαν 10, 2020 7:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 200
Προβολές: 5762

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Πολύ τη χάρηκα! $\displaystyle \frac{{1 + \sin x + \cos x}}{{\sqrt {1 + \sin x} \sqrt {1 + \cos x} }} = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + 2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2})\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $ Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται $\displaystyle \int ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση