Παρα-λογισμός.pngΣτην προέκταση της ακτίνας $OP=r$ , θεωρούμε σημείο $S$ , ώστε $PS=d>r$ . Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ και γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου $OS$ . Η ημιευθεία $BP$ τέμνει την $SA$ στο σημείο $T$ και το ημικύκλιο στο σημείο $Q$ . Δείξτε ότι : $\dfrac{BP}{PQ}=\dfrac{PT}{TQ}$ κ...

Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα $OA$ και το μήκος $x$ Άλλη μια.. Η $BA$ τέμνει την εφαπτόμενη στο $C$ στο $K$ οπότε $DA=AK=AC=30$ και λόγω ισότητας των σημειωμένων γωνιών ,$ KC=CB=48$ Με Π.Θ στο $\triangle KDC \Rightarrow DC=36$ και $ \triangle AEC \simeq \triangle D...

Ακτίνα κύκλου και τμήμα.png Στο σχήμα να υπολογίσετε την ακτίνα $OA$ και το μήκος $x$ Άλλη μια.. Με $CPN \bot OA \Rightarrow P$ μέσον της $NC$ και όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,άρα $QT=2R \Rightarrow NT=TD$ Άρα $QTDA$ εγγράψιμο $\Rightarrow QD \bot TC$.Αλλά και $ QH \bot TC$ συνεπώς $Q,H,D$ συ...

Εντυπωσιακές ισότητες.pngΔύο ίσοι κύκλοι $(O)$ και $(K)$ τέμνονται στα σημεία $A,B$ . Θεωρούμε σημείο $S$ του $(K)$ εσωτερικό του $(O)$ . Η $AS$ τέμνει τον $(O)$ στο σημείο $P$ και η $PB$ τον $(K)$ στο $T$ . α) Δείξτε ότι $AT=AP$ . β) Αν η διχοτόμος της $\widehat{PAT}$ τέμνει τον $(O)$ στο $D$ , δε...

Για κάποιο λόγο.png Έστω $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC$ με $AB=5, AC=6, BC=9.$ Η μεσοκάθετος του $AC$ τέμνει τη διχοτόμο της $B\widehat AC$ στο $K$ και τον περίκυκλο του τριγώνου στο $L.$ Να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{OK}{KL}.$ Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ,άρα $OKPC$ εγγράψιμο .Λόγω και του εγ...

Έστω $Q$ ένα σημείο κύκλου $c_1$ διαμέτρου $AB$ και έστω $H$ το ίχνος της καθέτου από το $Q$ στην $AB.$ Αν ο κύκλος $c_2$ με κέντρο το $Q$ και ακτίνα $QH$ τέμνει τον $c_1$ στα σημεία $M$ και $C$, να δειχθεί ότι η $MC$ διχοτομεί το τμήμα $QH$. Πηγή: Kvant Φιλικά, Αχιλλέας Με $ W$ συμμετρικό του $Q$ ...

Χρόνια πολλά σε όλους που γιόρταζαν χθες.Ιδιαίτερες ευχές στο φίλο Νίκο Φραγκάκη

Πολυλογία.pngΤο ύψος $CD$ και η διχοτόμος $BE$ του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Αν $AB=AC=b , BC=a$ και : $\dfrac{SC}{SD}=2\dfrac{SE}{SB}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ Με $M$ μέσον της $BS \Rightarrow \dfrac{SE}{SB}= \dfrac{MS}{SD } \Rightarrow EM \bot CS \Rig...

Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : $AC=5$ και $BD=10$ , τέμνονται στο σημείο $T$ , του οποίου το συμμετρικό ως προς την $AD$ , ονομάζω $S$ . Οι $TB,TC$ τέμνουν τις $SA , SD$ στα σημεία $L$ και $N$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $LN$ . Απόδειξη της παραλληλίας Είναι γνωστό ό...

Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε $M,N,L$ . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $MNL$ είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ . Είναι $\angle NAC=45^0 \Rig...

Ακτινοδιάγνωση.pngΚύκλος με κέντρο πάνω στην μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ , τετραγώνου $ABCD$ , διέρχεται από τις κορυφές του $A,D$ και τέμνει την μεσοκάθετο στο σημείο $S$ . Αν : $SC\perp CA$ , υπολογίστε την ακτίνα $r $ του κύκλου , συναρτήσει της πλευράς $a$ . Με $SQ \bot AB$ εφαπτόμενο τμήμα,το ...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΩραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος $AD$ χωρίζει τη βάση , σε τμήματα $BD=2 $ και $DC=3$ , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle ABC$ και $MNL$ . Σε συνέχεια της προηγούμενης ανάρτησής μου για το ίδιο θέμα ,με $OP \bot AD $ θ...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{A}=45^0$ , τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB,AC$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ , τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $S,T$ . Αν $L$ το μέσο του $ST$ , δείξτε ότι το τρίγωνο $LMN$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Αν $O$ το ...

Καλό μήνα σε όλους. Από τον ετήσιο τοπικό διαγωνισμό Μπαρμπαστάθεια - έγινε στην Άρτα 29/11/19 - υποβάλλω κι' εδώ το θέμα που εισηγήθηκα. Ενδιαφέρον έχει, νομίζω, η αντιμετώπιση του α' ερωτήματος που μάλλον δυσκόλεψε τους μαθητές. Μπαρμπαστάθεια 2019 .PNG Το $AB\Gamma\Delta $ είναι τετράγωνο και τα...

Δύο επιπλέον τμήματα.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , είναι : $AB=5 ,BC=6 , CA=7$ . Φέρουμε ( πώς ; ) ευθεία διερχόμενη από το βαρύκεντρο $K$ του τριγώνου και η οποία τέμνει τις $AC , AB$ και την προέκταση της $CB$ στα σημεία $P,T,S$ αντίστοιχα , ώστε : $AP=AT$ . Υπολογίστε τα τμήματα : $AT$ κα...

Διπλάσιο.pngΕυθεία παράλληλη προς την πλευρά $AC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ τέμνει την βάση $BC$ , την διάμεσο $AM$ και την πλευρά $AB$ , στα σημεία $S,T,P$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι : $(ATS)=2(PTM)$ . Με $ PK//AM$ είναι $\big(PTM) = \big(TKM) $.Ακόμη,$ PS//AC \Rightarrow (ATS)=(TCS)$ Ισχύει $\df...

Μεγιστοποίηση γινομένου.pngΣτο ορθογώνιο $ABCD$ , η πλευρά $AD=b$ είναι σταθερή ενώ η $AB=a$ μεταβάλλεται . Φέρω $DS\perp AC$ και ονομάζω $M , N$ τα μέσα των $AB , SC$ αντίστοιχα . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του γινομένου : $DS\cdot MN$ Κάπως διαφορετικά .. Με $I$ μέσον της $DC$ $\Rightarrow IN= \...

Νόμος των εφαπτομένων.pngΣτο σχήμα είναι : $\tan\omega=5\sqrt{3} , \tan\theta=\dfrac{3}{7}\sqrt{3} , \tan\phi=\sqrt{3}$ και $MS$ μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ . Υπολογίστε το τμήμα $AS$ . $ tanA= -tan( \omega + \theta )=.. \sqrt{3} \Rightarrow A=60^0$.Ακόμη,$ tan \varphi = \sqrt{3} \Rightarrow \varph...

Τμήματα σε τετράγωνα.pngΔίπλα στο - πλευράς $a$ - τετράγωνο $ABCD$ , σχεδιάσαμε τετράγωνο $BEZH$ , πλευράς $b$ . Φέρουμε : $ES\perp AH$ και $HT\perp AC$ . Αν $ST=SE$ , υπολογίστε την πλευρά $b ( <a)$ . $H$ είναι ορθόκεντρο του $\triangle AEC$ άρα $E,H,T$ συνευθειακά και λόγω του εγγράψιμου $AEST$ η...

Στις κάθετες πλευρές $CA$ και $CB$ ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ επιλέγονται τα σημεία $D$ και $E$ , αντίστοιχα, έτσι ώστε $CD=CE$. Οι προεκτάσεις των καθέτων που άγονται από τα σημεία $D$ και $\textcolor{red}{C}$ στην ευθεία $AE$ τέμνουν την υποτείνουσα $AB$ στα σημεία $K$ και $L$. Να ...