Η αναζήτηση βρήκε 1697 εγγραφές

από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τρί Μαρ 26, 2013 5:12 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Παράκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 428

Re: Παράκεντρο

Και μια άλλη αντιμετώπιση Φέρνουμε $\displaystyle{AM \bot OD,AF \bot OE}$ .Έστω $\displaystyle{(h)}$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και $\displaystyle{AM \cap (h) = N,AF \cap (h) = Z}$.Τότε $\displaystyle{OF,OM}$ είναι μεσοκάθετοι των χορδών $\displaystyle{AZ,AN}$ αντίστοιχα.Επειδή ό...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 25, 2013 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τετράγωνη λογική 2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 212

Re: Τετράγωνη λογική 2

Καλησπέρα.Μια προσπάθεια ακόμη $\displaystyle{{E_1} = {E_3} \Leftrightarrow {E_1} + {E_2} = {E_3} + {E_2} \Rightarrow (ATB) = (CPB) \Rightarrow \frac{{a \cdot x}}{2} = \frac{{PB \cdot a}}{2} \Leftrightarrow x = PB}$ Αλλά $\displaystyle{AP = x}$ .Έτσι $\displaystyle{x = \frac{a}{2}}$ και $\displaysty...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 25, 2013 2:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ελάχιστη τριγωνομετρία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 255

Re: Ελάχιστη τριγωνομετρία

Γεια σας και χρόνια πολλά Στρέφω το σχήμα κατά γωνία $\displaystyle{{90^0}}$ δεξιόστροφα .Τότε $\displaystyle{B'S' \bot CS,S'A \bot SA,S'A = SA = 1,CS' = SB = \sqrt 5 }$ Με πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{S'AS \Rightarrow S'{S^2} = 2}$ Επειδή $\displaystyle{C{S^2} = 9,S'{S^2} = 2,C{{S'}^2} = 3...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 25, 2013 5:30 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Νέα επαφή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Νέα επαφή

Είναι μια εύκολη άσκηση «σχολική» . Δίνω και μια άλλη αντιμετώπιση Επειδή προφανώς $\displaystyle{MT}$ διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\angle ATB}$ ,αν $\displaystyle{ON \bot AT,OK \bot BT}$ τότε $\displaystyle{OK = ON \Rightarrow AS = BC \Rightarrow AT - AS = BT - BC \Rightarrow TS = TC}$ Τα κέ...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 25, 2013 4:20 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 244

Re: Ημικύκλιο και βαρύκεντρο

Είναι προφανές ότι το τρίγωνο $\displaystyle{CBP}$ είναι ισοσκελές και $\displaystyle{BP = BC=10,AP = 2}$. Ισχύει $\displaystyle{PA \cdot PB = PM \cdot PC \Leftrightarrow 10 \cdot 2 = 2P{M^2} \Rightarrow P{M^2} = 10}$και θ. διαμέσων στο τρίγωνο $\displaystyle{CBP}$ βρίσκουμε $\displaystyle{BM = \sqr...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 25, 2013 4:08 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ισόπλευρο και καθετότητα
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 726

Re: Ισόπλευρο και καθετότητα

Καλημέρα.Θαυμάσιες όλες οι παραπάνω λύσεις. Η παρακάτω λύση (αν και μακροσκελής) , προσπάθησα να συνδυάζει αρκετά στοιχεία από την σχολική Γεωμετρική ύλη Θεωρούμε την $\displaystyle{EL \bot BC}$ .Στόχος μας είναι να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{CO \cdot CE = CD \cdot CL}$.Έστω ακόμη $\displaystyle...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Πέμ Μαρ 21, 2013 11:29 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Και τέταρτο όμοιο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 342

Re: Και τέταρτο όμοιο

Γεια χαρά.Δίνω μια σκέψη Έστω $\displaystyle{H}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{B}$ ως προς το $\displaystyle{C}$.Τότε το σχήμα $\displaystyle{AHA'B}$είναι παραλληλόγραμμο οπότε $\displaystyle{A'H = //AB \Rightarrow A'H = //AB'}$ Άρα $\displaystyle{AB'HA'}$ είναι παραλληλόγραμμο και μάλιστα ορθογώ...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Πέμ Μαρ 21, 2013 5:39 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ειδικά ορθογώνια
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 319

Re: Ειδικά ορθογώνια

Καλησπέρα.Μια σκέψη ακόμη Η γωνία $\displaystyle{PST}$ για οποιαδήποτε θέση του $\displaystyle{S}$ στην $\displaystyle{BC}$ προφανώς έχει σταθερό μέτρο 45 μοιρών.Έτσι ,το ζητούμενο θα έχει απαντηθεί όταν προσδιοριστεί η θέση του $\displaystyle{P}$ (άρα και του $\displaystyle{S}$ ) στην $\displaystyl...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τετ Μαρ 20, 2013 9:24 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Περίκεντρο - έγκεντρο - "ορθοκεντρο" στον ίσιο δρόμο
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 1404

Re: Περίκεντρο - έγκεντρο - "ορθοκεντρο" στον ίσιο δρόμο

Καλησπέρα.Αυτό είναι ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα .Έχω δώσει τρεις διαφορετικές λύσεις όλες στηριγμένες σε ομοιοθεσία. Θα παρουσιάσω μια εκ των τριών . Οι $\displaystyle{BI,AI,CI}$ είναι διχοτόμοι του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$. Επειδή $\displaystyle{AB,BC,CA}$ είναι εφαπτόμενες του εγγεγραμμένου...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τρί Μαρ 19, 2013 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Λόγος Εμβαδών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 276

Re: Λόγος Εμβαδών

Γεια χαρά. Έστω $\displaystyle{(ADK) = x,(AKE) = y}$ $\displaystyle{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{(AKE)}}{{(EKC)}} = \frac{y}{3}(1)}$ $\displaystyle{\frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{(ABK)}}{{(KBC)}} = \frac{{x + 1}}{2}(2)}$ Από (1),(2) έχουμε $\displaystyle{\frac{y}{3} = \frac{{x + 1}}{2} \Leftrightarrow \bo...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 18, 2013 7:36 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ίσοι και εφαπτόμενοι
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 387

Re: Ίσοι και εφαπτόμενοι

Καλημέρα και καλή σαρακοστή. Λόγω καθετότητας των $\displaystyle{EE',ZZ'}$ επί της διχοτόμου $\displaystyle{AD}$ τα τρίγωνα $\displaystyle{AZZ’,AEE’}$ είναι ισοσκελή . Έτσι $\displaystyle{AE - AZ' = AE' - AZ \Rightarrow Z'E = ZE'}$.Ακόμη $\displaystyle{Z'D = DZ,DE = DE'}$ (αφού το D είναι σημείο της...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Σάβ Μαρ 16, 2013 4:57 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μαγικά τετράγωνα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 347

Re: Μαγικά τετράγωνα

Καλημέρα.Δίνω μια ιδέα Για οποιοδήποτε τετράγωνο $\displaystyle{STPQ}$ , το τετράγωνο $\displaystyle{QLMN}$ που έχει την κορυφή του $\displaystyle{M}$ στον κύκλο κατασκευάζεται εύκολα αν θεωρήσουμε την διχοτόμο της ορθής γωνίας $\displaystyle{PQB}$ που τέμνει τον κύκλο στο $\displaystyle{M}$ κι έπει...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τετ Μαρ 13, 2013 9:27 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Βρείτε τη γωνία x (133)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 297

Re: Βρείτε τη γωνία x (133)

Καλησπέρα.Μια άλλη λύση $\displaystyle{AE = //DC \Rightarrow \angle ECA = x}$ Το τρίγωνο $\displaystyle{AEB}$ είναι ισοσκελές άρα $\displaystyle{\angle AEB = \angle EBA = x}$.Ετσι $\displaystyle{AECB}$ εγγράψιμο οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο.Άρα $\displaystyle{\angle BAE + \angle ECB = {180^0} \Rig...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τρί Μαρ 12, 2013 1:27 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογώνιο σε τετράγωνο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 353

Re: Ορθογώνιο σε τετράγωνο

Καλησπέρα. Άλλη μια λύση Λόγω του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle{EDC}$ και του εγγράψιμου $\displaystyle{ONDC}$ και λόγω παραλληλίας $\displaystyle{EF//AC}$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους όπως και οι πράσινες και μπλέ .Συνεπώς ,το $\displaystyle{EDLN}$ είναι εγγράψιμο οπότε $\displays...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 11, 2013 3:33 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Εμβαδόν από εμβαδόν
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 178

Re: Εμβαδόν από εμβαδόν

Γειά σου φίλε Νίκο.Μια ιδέα ακόμη παραπλήσια του Χρήστου. Προφανώς το τρίγωνο $\displaystyle{CEB}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές έστω με κάθετη πλευρά $\displaystyle{x}$ . Με Πυθαγόρειο βρίσκουμε $\displaystyle{EC = x\sqrt 2 }$ $\displaystyle{\begin{gathered} AZ//EC \Rightarrow (CTE) = (CAE) = \frac...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Μαρ 11, 2013 1:51 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τομή επί κύκλου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 154

Re: Τομή επί κύκλου

Γειά χαρά .Δίνω μια ιδέα $\displaystyle{KA \bot LA}$ Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες (υπό χορδής –εφαπτόμενης) Οι μπλέ γωνίες είναι ίσες (υπό χορδής –εφαπτόμενης) Αφού οι κύκλοι είναι ορθογώνιοι το άθροισμα της μπλέ και πράσινης είναι μια ορθή Άρα $\displaystyle{\angle SBC = {90^0}}$. Τότε $\displayst...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Σάβ Μαρ 09, 2013 3:57 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Κύκλοι-ευθείες: 4-4
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 636

Re: Κύκλοι-ευθείες: 4-4

Καλημέρα .Θα χρησιμοποιήσω τα παρακάτω λήματα Λήμμα 1 Σε εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{ABCD}$ κέντρου $\displaystyle{O}[tex] ,[tex]\displaystyle{{H_A},{H_B}}$ είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\displaystyle{BCD}$ $\displaystyle{ACD}$ αντίστοιχα .Τότε το $\displaystyle{AB{H_A}{H_B}}$ είναι παρ...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τετ Μαρ 06, 2013 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ορθογωνίως
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 439

Re: Ορθογωνίως

Γειά χαρά.Μια λύση ακόμη. Φέρνω την κάθετη στην $\displaystyle{AL}$ στο $\displaystyle{A}$ που τέμνει την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$στο $\displaystyle{B}$ στο $\displaystyle{F}$ . Αν,$\displaystyle{\angle BAK = \beta ,\angle LAC = \gamma }$ ,ισχύει $\disp...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τετ Μαρ 06, 2013 5:41 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Πυθαγόρειο!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 625

Re: Πυθαγόρειο!

Καλημέρα.Μια ακόμη ιδέα Φέρνω $\displaystyle{SH = //EC \Rightarrow SHCE}$ παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ \Rightarrow HS = CE = c,\angle ACH = \angle CAE = 30 + 20 = {50^0}}$ Αφού $\displaystyle{BE = EC \Rightarrow SHEB}$ [παραλληλόγραμμο οπότε $\displaystyle{EH//BD \Rightarrow \angle HEC = \angle D...
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τρί Μαρ 05, 2013 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: εύρεση γωνίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 154

Re: εύρεση γωνίας

\displaystyle{LB = AB - AL = CB - KB = CK} ,
\displaystyle{\vartriangle CAK = \vartriangle CLB(\Pi  - ({60^0}) - \Pi )  
\displaystyle{ \Rightarrow } \displaystyle{\angle CLB = \angle CKA \Rightarrow OKBL} εγγράψιμο .οπότε
η ζητούμενη είναι \displaystyle{{120^0}}

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση