Πολύ ωραία!

Χωρίς χρήση του κριτηρίου διαιρετότητας για το 11 και παραμένοντας στα πλαίσια της Α΄Γυμνασίου θα πρότεινα την εξής λύση:
1.112.111=1.111.000+1.111
Ο αριθμός 1.111 χωράει ακριβώς και στους δύο προσθετέους, άρα χωράει ακριβώς και στον 1.112.111 οπότε αυτός είναι ένας σύνθετος αριθμός.

Θα είναι και |α|=1 όποτε αφού $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=1$ θα είναι και $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. Άρα $ab+bc+ca=abc=1.$ Θεωρούμε το πολυώνυμο $\left(x-a \right)\left(x-b \right)\left(x-c \right)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$ $=x^3-x^2+x-1=\left(x-1 \right)\left(x+i \right)\left(x-i \...

Ο Γιάννης έφυγε από την πόλη Α στις έξι και χ λεπτά το πρωί και έφτασε στην πόλη Β στις έξι και ψ λεπτά το πρωί της ίδιας ημέρας. Παρατήρησε ότι και στην αρχή και στο τέλος του ταξιδιού ο λεπτοδείκτης του ρολογιού του σχημάτιζε την ίδια γωνία 110 μοιρών με τον ωροδείκτη. Πόσα λεπτά χρειάστηκε ο Γιάν...

Με εκφραστικούς τρόπους της Α΄Γυμνασίου: Α) $10^{12}=1.000.000.000.000$, άρα $10^{12}-1=999.999.999.999$ οπότε έχει 12 ψηφία Β) α) Διαρείται με το 9 αφού το 9 χωράει στον 999.999.999.999 ακριβώς 111.111.111.111 φορές β) 999.999.999.999=999.000.000.000+999.000.000+999.000+999 Το 999 χωράει ακριβώς σε...

Α) Πόσα ψηφία έχει ο αριθμός $\displaystyle10^{12}-1;$ Β) Διαρείται ο αριθμός αυτός με (α) το 9 (β) το 999 (γ) το 999.999 ; Γ) Ποιο είναι το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του αριθμού αυτού με το 99.999 ; Αφιερωμένη στο Νίκο Μαυρογιάννη ως αντίδωρο για την παρουσίαση του Geogebra σε καθηγητές το...

Αν σε κάποιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει , να αποδειχθεί ότι είναι ισοσκελές.

Αν επιτρέπεται το ακέραιο μέρος, τότε.

Άσκηση 1 (προέκυψε μετά από την απάντηση του Αχιλλέα) Υπάρχει πολυώνυμο Π(χ) με ακέραιους συντελεστές για το οποίο να ισχύει Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=2009 ; Άσκηση 2 Έστω πολυώνυμο Π(χ) με ακέραιους συντελεστές για το οποίο ισχύει Π(1204)Π(1453)Π(1821)Π(1922)Π(1940)=$2009^5.$ Να αποδείξε...

Ευχαριστώ πολύ Μπάμπη!

Ευχαριστώ πολύ Μάκη! Φέτος ανέλαβα 4 τμήματα Α΄Γυμνασίου και οι σημειώσεις σου είναι για μένα και τους μαθητές μου σπουδαίο δώρο.

Αν όλες οι γωνίες ενός τριγώνου είναι μικρότερες από 120 μοίρες τότε υπάρχει ακριβώς ένα σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου που βλέπει και τις τρεις πλευρές του τριγώνου υπό γωνία 120 μοιρών (το σημείο Fermat). Kάθε άλλο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου βλέπει κάποια πλευρά του τριγώνου υπό γωνία με...

Ωραία διαπραγμάτευση Σεραφείμ! Ευχαριστώ για τον κόπο σου.

Ένα παρόμοιο πρόβλημα είναι το εξής:
Είναι αλήθεια ότι υπάρχουν περισσότεροι από ένα εκατομμύριο 100-ψήφιοι αριθμοί με μη μηδενικά ψηφία ώστε καθένας από αυτούς να διαιρείται με το άθροισμα των ψηφίων τους;

Είναι αληθής η ψευδής ο παρακάτω ισχυρισμός:
Υπάρχουν τουλάχιστον ένα εκατομμύριο εκατονταψήφιοι φυσικοί αριθμοί με την ιδιότητα καθένας από αυτούς διαιρείται με το άθροισμα των ψηφίων του.

fmak65 έγραψε:Η προφανης λυση ειναι ο δευτερος αριθμος να ειναι ο 100000.

Νομίζω το 100000, αν και μοιάζει ότι δουλεύει, δεν δίνει ποτέ λύση!

Μετά από αρκετούς συλλογισμούς, για το δεύτερο πρόβλημα βρήκα τις παρακάτω λύσεις:



Οι συλλογισμοί, αν ενδιαφέρουν, περιέχονται στο συνημμένο.

Ενδιαφέρον το ερώτημα του Γιώργου. Θα προσπαθήσω μιαν απάντηση. Η λύση του Δημήτρη κάνει χρήση της τριγωνικής ανισότητας $|a_1|+|a_2-a_1|+...+|2004-a_{2003}|\geq |a_1+(a_2-a_1)+...+(2004-a_{2003})|=2004$. Επιτυγχάνεται το ελάχιστο όταν η παραπάνω ανισότητα γίνει ισότητα. Αυτό όμως συμβαίνει όταν τα ...

Σε διαγωνισμό στη Βοσνία είχε τεθεί το 2002 το εξής:
Να δειχθεί ότι αν ο ν είναι φυσικός τότε ο αριθμός (ν+1)(ν+2)...(ν+10) δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

Καταθέτω μία λύση στο συνημμένο.