Εξεταστές: Κάππος - Παπαϊωάννου 1. Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{x,y,w,k}$ όταν $\displaystyle{x,y,w,k \ge 0}$, οι $\displaystyle{x,y,w}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και ισχύουν και οι σχέσεις $\displaystyle{x<y<w \,\, ,\,\, ky^3=x^3+w^3}$ . 2. Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyl...

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4-(3\mu+2)x^2+\mu^2=0}$ και ζητείται να ορισθεί ο $\displaystyle{\mu}$ ώστε οι ρίζες της να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ήταν άσκηση στο γνωστικό του ΑΣΕΠ ( 2005 ) και ΑΣΕΠ 2000 :!: επίσης τέθηκε και στο Μικρό Πολυτεχνείο το 1966 ( σχετικά ) και τ...

Εξεταστές: Σαραντόπουλος - Μπρίκας 1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4-(3\mu+2)x^2+\mu^2=0}$ και ζητείται να ορισθεί ο $\displaystyle{\mu}$ ώστε οι ρίζες της να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 2. Να κατασκευαστεί κύκλος, τέτοιος ώστε να δέχεται ως χορδή δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα $\dis...

θενξ, διορθώθηκε

Το θέμα λοιπόν ήταν να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-x}{{{(x+1)}^{2}}}={{e}^{3x+1}}$ η λύση που έδωσα εξαρχής -εφόσον υποψιάστηκα το τυπογραφικό- και συμπλήρωσα μετά τις περιπτώσεις για $\displaystyle{x\ne -1}$ έχουμε: $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}-x}{{{(x+1)}^{2}}}=e^{3x+1}\Leftr...

ας προσθέσω και τα περιεχόμενα του παραπάνω βιβλίου ΘΕΜΑ 01. Η γωνία $\displaystyle{(\widehat{B}-\widehat{\Gamma})}$ στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ΘΕΜΑ 02. Άλλες εμφανίσεις της γωνίας $\displaystyle{(\widehat{B}-\widehat{\Gamma})}$ ΘΕΜΑ 03. Παρατήρηση του Compagnon ΘΕΜΑ 04. Το στοιχείο $\dis...

η άσκηση είναι το τελευταίο λυμένο παράδειγμα (σελ. 312) από το βιβλίο του Πολιτικού Μηχανικού Άριστου Δημητρίου Μέθοδοι Επιλύσεως Γεωμετρικών Προβλημάτων, με 1000 εφαρμογές και παραδείγματα γεωμ. τόπων και κατασκευών έχει 315 σελίδες κι εκδόθηκε στην Αθήνα το 1972 η 1η έκδοση, εκδόσεις δεν αναφέρον...

οι παραπάνω ασκήσεις επιλέχθηκαν και λύθηκαν από τον Β. Ε. Βισκαδουράκη εδώ (τον υπεύθυνο του περιοδικού Φι)
είχαν τον τίτλο 12 Μικρές Μαθηματικές Προκλήσεις , τις πέτυχα στην σελίδα εδώ

επίσημες εκφωνήσεις + λύσεις εδώ

Εξεταστές: Μπρίκας - Φουσιάνης 1. Δίνονται οι εξισώσεις $\displaystyle{5x^2-27x+\lambda=0}$ και $\displaystyle{15x^2-102 x+2\lambda=0}$. Ζητείται να βρεθεί η τιμή του $\displaystyle{ \lambda}$ ώστε μια ρίζα της πρώτης εξίσωσης να είναι τριπλάσια μιας ρίζας της δεύτερης εξίσωσης. 2. Από ένα πλοίο $\d...

Εξεταστές: Κάππος - Στρατηγόπουλος 1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^4=x}$. Να βρεθούν οι ρίζες της στο $\displaystyle{ \color{red}\mathbb{C}}$ και να αποδειχθούν οτι οι ρίζες αυτές επαληθεύουν την σχέση $\displaystyle{(x^2+x+1)+(x^{17}-x^5)(1-375x)\ge 0}$ . 2. Δίνεται ευθεία $\displaystyle{ (\v...

Εξεταστές: Παπαϊωάννου - Μπρίκας 1. Να λυθεί η ανισότητα $\displaystyle{\frac{3-x}{2x-1}>\frac{1}{5}(x-1)}$. 2. Δίνεται ημιευθεία $\displaystyle{Ox}$ και σε αυτήν τέσσερα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma,\Delta}$ ώστε να είναι $\displaystyle{OA=\alpha, OB=\beta,O\Gamma=\gamma, O\Delta=\delta}$ και $...

Εξεταστές: Κάππος - Ζερβός 1. Να προσδιορισθεί το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=\alpha \\ x+y+z=\alpha^2 \\ x+y+z=\alpha^3 \end{cases}}$ να έχει λύση. 2. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{M}$ εσωτερικό του τριγώνου. Να β...

Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός 1. Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{f(x,y,z)=x+\frac{yz-x^2}{x^2+y^2+z^2} }$ όπου $\displaystyle{x,y,z }$ διαφορετικοί μεταξύ τους. Να δειχθεί οτι α) Εαν η τιμή αυτής με εναλλαγή των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y }$ παραμένει αμετάβλητη, τότε η τιμή τη...

Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Πυλαρινός 1. Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$ με πραγματικούς συντελεστές. Να προσδιορισθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ ώστε η παράσταση $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma +\lambda (x^2+1) }$ να είναι τέλειο τετράγωνο και να ...

Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Πυλαρινός 1. Δοθέντος οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\lambda}$ , να δειχθεί οτι υπάρχει πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ για την οποία ισχύει η σχέση : $\displaystyle{\frac{4x^2+8x-9}{12x^2+36x+1}=\lambda}$ 2. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyl...

Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός 1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ x^2-2x+\log \nu=0 }$ όπου $\displaystyle{\nu>0}$ . Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\nu}$ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές; Να βρείτε το πρόσημο των ριζών αυτών για τις τιμές αυτές του $\displaystyle{ \nu}$. 2. Από την κορυφή...

Εξεταστές: Αναστασιάδης - Πυλαρινός 1. Να ορισθούν τα $\displaystyle{A,B,\alpha,\beta}$ ώστε το πολυώνυμο $\displaystyle{ f(x)=9x^3-12x^2+72x+56 }$ να παίρνει την μορφή $\displaystyle{A(x+\alpha)^3+B(x+\beta)^3 }$ και να βρεθούν οι πραγματικές του ρίζες. 2. Δίνονται δυο ευθείες $\displaystyle{(\vare...