Παραλληλία με προϋποθέσεις.png Έστω $M$ σημείο του μικρού τόξου $BC$ στον περίκυκλο οξυγώνιου τριγώνου $ABC.$ Επί των $AM, AC$ θεωρούμε τα σημεία $E, F$ αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle BE \bot AM,MF \bot AC$. Να δείξετε ότι $EF||BC$ αν και μόνο αν το $M$ είναι μέσο του τόξου $BC.$ Έστω $\displaysty...

Διπλό ορθογώνιο.pngΤο $5\times 2$ ορθογώνιο $APST$ είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του $6\times 5$ ορθογωνίου $ABCD$ . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\widehat{BSC}$ . Σήμερα ! $\displaystyle B{C^2} > C{S^2} + S{B^2} \Rightarrow \omega > {90^0}$ $\displaystyle 2\left( {CSB} \right) = \sqrt {10} \c...

Τραπεζιακές διχοτομήσεις.pngΣτο τραπέζιο $ABCD$ το τρίγωνο $ABD$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , ενώ είναι : $\widehat{ACD}=30^0$ . Δείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{B} ,\hat{D}$ , τέμνονται επί της $AC$ . Με $\displaystyle BS$ διχοτόμο της $\displaystyle \angle ABC \Rightarrow \frac{{AS}}{{...

Διχοτομήσιμα και μη.pngΤο ύψος $AD$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0)$ , διχοτομεί τη διάμεσο $BM$ . A) Βρείτε τους λόγους $\dfrac{b}{c}$ και $\dfrac{AS}{SD}$ . B) Εξετάστε αν είναι δυνατόν η διάμεσος να διχοτομεί το ύψος . Επειδή $\displaystyle x + y = \theta \Rightarrow ...

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑

Τρί Οκτ 10, 2017 11:05 pm

Και ένα επιπλέον ερώτημα.
Δείξτε ότι ο κύκλος διχοτομεί την .

23.png Το τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο το $A$ τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου στο σημείο $E$. Δείξτε ότι $\Gamma E=\dfrac{B\Delta }{2}$. Με Θ.διαμέσου στο $\displaystyle \vartriangle EAC$ $\displaystyle E{A^2} + E{C^...

22.png Τα σημεία $K, M, N$ είναι μέσα των πλευρών $AB, \Gamma \Delta , A\Delta$ αντίστοιχα του τετραγώνου $AB\Gamma \Delta$ . Αν $Z\equiv \Gamma K\cap BN$ και $E\equiv MA\cap \Delta Z$, να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας $\angle MEZ$. $\displaystyle F$ είναι κ.βάρους του $\displaystyle \vartr...

Συντηρητικά τμήματα.pngΟ κύκλος $(K)$ έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο $(O)$ και τον τέμνει στα $A,B$ . Έστω σημείο $S$ του $(O)$ , εκτός του $(K)$ . Δείξτε ότι τα τμήματα $SA,SK,SB$ δεν μπορούν - μ ' αυτή τη σειρά - να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου . Επειδή $\displaystyle KA = KB$ θα...

Μεγάλες κατασκευές.png Στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ να τοποθετηθούν σημεία $P,T$ , ώστε $BT=2AP$ και οι ημιευθείες $AP,BT$ τεμνόμενες εκτός του κύκλου να σχηματίζουν γωνία $\hat{S}=60^0$ . Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο$\displaystyle DBC$ πλευράς $\displaystyle BC$ και τόξο $\displaystyle {150^0}$ χ...

15.png Στο παραπάνω τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ είναι $AB=1, B\Gamma =2$ και $A\Gamma =A\Delta$ . Υπολογίστε την $\varepsilon \phi \theta$ . Με $\displaystyle DE \bot BC \Rightarrow \angle BEA = \angle CDA = {45^0} \Rightarrow BE = BA = 1 \Rightarrow EC = 1$ . Άρα, $\displaystyle DE$ μεσοκάθετος ...

Ο εμβαδολόγος.pngΣημείο $S$ βρίσκεται στη διάμετρο $AB=2R$ ενός ημικυκλίου , πλησιέστερα προς το $A$ . Σχεδιάζω τα τμήματα $TS\perp AB$ και $TP\parallel AB$ . Οι ευθείες $AP,SP$ τέμνουν την κατακόρυφη στο $B$ , στα σημεία $L,N$ αντίστοιχα . α) Για ποια θέση του $S$ τα τρίγωνα $PAS,PNL$ είναι όμοια ...

Μία κορυφή και τρία περίκεντρα.png Έστω $AD$ το ύψος και $O$ το περίκεντρο τριγώνου $ABC.$ Οι $BO, CO$ τέμνουν το ύψος στα σημεία $E, F$ αντίστοιχα. Αν $K, L$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $ABE, ACF,$ να δείξετε ότι το $AKOL$ είναι παραλληλόγραμμο. Τα $\displaystyle K,L$ ανήκουν στις μεσοκάθετες...

Ισότητα και καθετότητα.pngΣημείο $S$ κινείται στην πλευρά $AD$ , τετραγώνου $ABCD$ . Η κάθετη της $SB$ στο $B$ , τέμνει την προέκταση της $DC$ στο σημείο $T$ . α) Δείξτε ότι $AS=CT$ β) Δείξτε ότι η προβολή $H$ , του $B$ στην ευθεία $ST$ , είναι σημείο της $AC$ . 1.Με $\displaystyle AG \bot SB \Righ...

Ισότητα από προβολές.png Έστω $AD, BE, CF$ τα ύψη οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ και $K, L$ οι προβολές των $B, C$ στις $DF, DE$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι $KF=LE.$ Λόγω των εγγράψιμων $\displaystyle AEDB,AFDC$ οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι πράσινες Άρα $\displaystyle \vartriangle FKB \simeq ...

Τριπλάσιο εμβαδόν.pngΣημείο $H$ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο $AC$ , ενός τετραγώνου $ABCD$ . Η κάθετη της $BH$ στο $H$ , τέμνει την $AD$ στο $S$ και την προέκταση της $DC$ στο $T$ . Πως πρέπει να επιλεγεί το σημείο $H$ , ώστε : $(ASH)=3(CHT)$ ; Οι πράσινες γωνίες προφανώς είναι ίσες ($\displaystyle ...

Μέσα ημικυκλίων.pngΤο μέσο $M$ του ημικυκλίου διαμέτρου $BC$ , είναι στο εσωτερικό του τριγώνου $\displaystyle ABC$ , ενώ τα μέσα $N,L$ , των ημικυκλίων με διαμέτρους τις $AB,AC$ αντίστοιχα , είναι στο εξωτερικό του τριγώνου . Δείξτε ότι το τετράπλευρο $ANML$ είναι παραλληλόγραμμο . Είναι $\display...

Στη πλευρά $BM$ ορθογωνίου τριγώνου $BMA,\,\, \measuredangle M=90^o,$ υπάρχει σημείο $K$ τέτοιο, ώστε: $\measuredangle BAK=30^o,\,\,\,\dfrac{KD}{AB}=\dfrac{KM}{2AM},$ όπου $D$ η προβολή του $K$ στην υποτείνουσα $AB.$ Να υπολογιστούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου $BMA.$ Θεωρώ σημείο $\displaystyle N...

Στο παρακάτω σχήμα να δείξετε ότι, τα εμβαδά του μπλε και του κόκκινου ορθογωνίου είναι ίσα. isodunama_orthogonia.png $\displaystyle DCKH$ είναι παραλμμο και $\displaystyle \left( {DCKH} \right) = HZ \cdot HD = HK \cdot CB = DC \cdot CB \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = \left( {EDHZ} \righ...

διχοτομεί τη διάμεσο.png Έστω κύκλος κέντρου $O$ και τυχαία του χορδή $AE$. Στην $AE$ θεωρώ σημείο $M$ τέτοιο ώστε $AM = 3ME$. Φέρνω στο $M$ επί την $OM$ κάθετη που τέμνει τον κύκλο στα $B,\,\,C$. Αν $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CZ$ τα ύψη του τριγώνου $ABC$ , δείξετε ότι η ευθεία $ZD$ διέρχεται ...

Νέο τμήμα.pngΣτο ισόπλευρο $ABC $, είναι $AS\perp PQ$ και $BC=10$. Υπολογίστε το $BS$ Με $\displaystyle SD \bot AB,SE \bot AC$ είναι $\displaystyle BD = \frac{x}{2},AD = 10 - \frac{x}{2},EC = \frac{{CS}}{2} = \frac{{10 - x}}{2}$,$\displaystyle AE = 10 - \frac{{10 - x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}$ $\di...