Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά, και ειδικά στο μέλος μας Ορέστη Λιγνό για την πρωτιά του. Επίσης ένα μεγάλο ευχαριστώ στα μέλη μας Σιλουανό Μπραζιτίκο και Αχιλλέα Συνεφακόπουλο που ήσαν στην επιτροπή διαγωνισμών, και άρα (επειδή τους γνωρίζω χρόνια τώρα) μερίμνησαν με τον καλύτερο δυνατό τρόπο για τη...

Πρόβλημα 2. Ο Κωνσταντίνος επισκέφτηκε ένα μουσείο σύγχρονης τέχνης και είδε έναν τετράγωνο πίνακα σε κορνίζα παράξενης μορφής, που αποτελείται από $21$ ίσα τρίγωνα. Ο Κωνσταντίνος αναρωτήθηκε, με τι ισούνται οι γωνίες αυτών των τριγώνων. Βοηθήστε τον να τις βρει. [5 μόρια] (Ι. Ρούσκιχ) Από την πάν...

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Παρ Μαρ 01, 2024 9:56 pm

Πρόβλημα 1. Τοποθετήστε στα κελιά ενός πίνακα διαφορετικούς θετικούς ακέραιους αριθμούς, όχι μεγαλύτερους του , έτσι, ώστε σε οποιοδήποτε ζεύγος γειτονικών κατά πλευρά κελιών ο ένας αριθμός να διαιρείται με τον άλλον. [4 μόρια] (Ι. Ιάσενκο)

.

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{k \; \text{even}} \binom{n+1}{k} = \sum_{k \; \text{odd}} \binom{n+1}{k} = 2^n}$ Αν ο φάκελος δεν είναι σωστός, παρακαλώ όπως μετακινηθεί ... Χρειάζεται το ανάπτυγμα του διωνύμου. Κατά τα άλλα είναι πολλή κοινή άσκηση που υπάρχει σε όλα τα βιβλία που έχουν το θα...

Και άλλη μία δημοσιογραφική αναφορά εδώ. Είναι πιο πλούσια από την προηγούμενη παραπομπή. Βρίσκεται στο πρώτης ποιότητας εβδομαδιαίο περιοδικό Nature που ασχολείται με την ενημέρωση και διάδοση θεμάτων της τρέχουσας επιστημονικής δραστηριότητας.

Μόλις πριν από δέκα μέρες δημοσιεύτηκε στο Historia Mathematica ένα ενδιαφέρον άρθρο (στα αγγλικά) του έγκριτου ιστορικού Glen Van Brummelen, Decimal fractional numeration and the decimal point in 15th-century Italy. Αφορά νέο εύρημα της ιστορίας της υποδιαστολής στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Βλέπ...

[Λέγοντας ότι ...για την μέγιστη τιμή του $abc$ ισχύει ότι... Επειδή οι a,b,c θετικοί, το abc αποκτά μέγιστη τιμή όταν a,b,c αποκτούν την μέγιστή τους τιμή . Σας ευχαριστώ πολύ Δεν απάντησες στο ερώτημα που σου έθεσα. Ας είναι. Δυστυχώς και αυτό που έγραψες τώρα είναι εσφαλμένο. Φαίνεται να νομίζει...

Έπειτα απέδειξα ότι $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2c + c^2a \geq max$ $abc$ Διασταυρωθήκαν τα μηνύματά μας καθώς συμπλήρωνα την αρχική μου ανάρτηση με ένα παράδειγμα (βλέπε τις έξι τελευταίες γραμμές). Τώρα έχω ήδη απαντήσει με παράδειγμα σε αυτό που ισχυρίζεσαι. Ας προσθέσω ότι αυτό που γράφεις τώρα...

Συνεπώς, ακόμη και για την μέγιστη τιμή του $abc$ (δηλ. 1) , έχουμε: $a^2 + b^2 + c^2 + a^2b + b^2c + c^2a\geq 6\sqrt[6]{1} $ Για ξαναδές το αυτό γιατί πρόκειται για λογικό σφάλμα. Με λίγα λόγια, αν ισχύει $A\ge B$ με $A,B$ μεταβλητά, δεν έπεται ότι $A \ge \max B$. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα που ...

Έστω θετικοί αριθμοί με . Να αποδειχθεί ότι

Καλησπέρα, έχω μια απορία, έχω τον υποχωρο $U=< \begin{pmatrix} 1\\ i\\ 0 \end{pmatrix}> \subset \mathbb{C}^{3} $ Αλλά δεν μπορώ να καταλάβω πως δείχνω ότι το μηδενικό διάνυσμα ανοίκει στον U, για να γίνει αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσω όλες τις συντεταγμένες με το μηδέν, αλλά τότε όλοι οι μονοδιάστα...

. Στην ιστοσελίδα εδώ υπάρχει ένα άρθρο στα Αγγλικά με εικόνες και κάποια σχόλια των μοντέλων πολυέδρων που έφτιαξε ο Γερμανός Μαθηματικός (Γεωμέτρης) Johannes Max Brückner (1860 –1934). Λίγα λόγια για τον ίδιο, στην Wikipedia εδώ . Tο γνωστότερό του βιβλίο είναι το κορυφαίο Vielecke und Vielflache...

Εν τω μεταξύ υπάρχουν ολόκληρα βιβλία για το γεωμετρικό μπιλιάρδο, διάφορων σχημάτων. Και αυτό που είναι άκρως ενδιαφέρον στην Ελληνική βιβλιογραφία, λόγω της παλαιότητάς του και του τόπου έκδοσης, είναι το παρακάτω βιβλιαράκι που εκδόθηκε στην Οδυσσό το 1836: Απόστολου Χαρικλέους, Τέρψις Μαθηματικ...

Silver έγραψε: ↑

Παρ Φεβ 23, 2024 10:29 am

Καλημέρα, δεν πρέπει όμως ;

Η εκφώνηση δεν λέει τέτοιο πράγμα. Αν θέσεις τότε η άσκηση δεν έχει λύση, τουλάχιστον όπως το είδα κοιτώντας το κάπως πρόχειρα.

Ένα επιπλέον ερώτημα για την ίδια ακολουθία είναι αν αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο διάστημα $({0,\pi}]$ ή σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφή $({0,a}]$, για σταθερό $a$, Ναι, συγκλίνει ομοιόμορφα: Από την $\displaystyle{ 1-\cos u \le u}$ για $u>0$ έχουμε για $x$ στο φραγμένο διάστημα $[0,a]$ ότι $\di...

Εάν συνεχίσουμε με αυτόν τον τρόπο για όλους τους πρώτους τους μικρότερους του $53$, θα βρούμε ότι: Αν είναι να κάνουμε για τον κάθε πρώτο μέχρι το $100$ και για κάθε $1\le N\le 100$, και κάθε επιτρεπτό $k$ την πράξη $\displaystyle{ \left [ \dfrac {N}{p^k} \right ]}$ (γνωστό ως ιδιότητα Legendre) κ...

Στην παρακάτω πρόσθεση: $\displaystyle{7XYZ + A8BZ = C51BZ}$, γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{C51BZ}$ διαιρείται με το $\displaystyle{9}$ Να βρείτε ποια είναι τα άγνωστα ψηφία των πιο πάνω αριθμών. Χωρίς την αιτιολόγηση που είναι απλή αλλά η πληκτρολόγιση λίγο εκτενής, η πρόσθεση χωρίς την ...

Να εξετασθεί η σημειακή και ομοιόμορφη σύγκλιση της ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ με $f_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}t \cos\big({\tfrac{\pi}{nt}}\big)\,dt\,,\; x\in({0,+\infty})$. α) Για $u >0$ από το ΘΜΤ έχουμε $0\le 1-\cos u = \cos 0 -\cos u = (-\sin \xi ) (0-u) = (...

mick7 έγραψε: ↑

Πέμ Φεβ 22, 2024 6:48 am

Βρείτε την σχέση μεταξύ των συναρτήσεων f,g απο το διάγραμμα.

Πρώτα μετατοπίζουμε την πάνω συνάρτηση κατά δύο μονάδες προς τα πίσω, και μετά πέρνουμε την συμμετρική της ως προς τον άξονα των . Με αλγεβρικούς όρους η νέα συνάρτηση είναι η .

και συνεπώς για $t\in\left[r,x\right]$ έχουμε $\displaystyle{\left|\frac{n}{t}\,\sin\left(\frac{t \pi}{n}\right)-\pi\right|=\frac{|g_{n,x}(t)|}{t}\leq \frac{g_{n,x}(r)}{t}\leq \frac{n\,\sin\left(\frac{\pi r}{n}\right)}{r}-\pi.}$ Βαγγέλη, επειδή αναρωτιέσαι αν είναι σωστή η μέθοδος: Δεν ξέρω να σου ...