mathematica.gr

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x + f(y)) = f(f(y)) + 2xf(y) + x^2}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left(f(x)+y\right)^2=f\left(x^2\right)+yf(2x+y),}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(x+f(x+y))=x+f(f(x)+y)}$ για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(xf(x+y))=f(yf(x))+x^2

για κάθε $x,y \in \Bbb{R}.$

Επαναφορά!

Επαναφορά!

Πρωτότυπη και ενδιαφέρουσα!

Είναι η Nesbitt για τους a^2,b^2,c^2...

https://artofproblemsolving.com/communi ... tive_reals

https://artofproblemsolving.com/communi ... _long_r_fe

Αλλιώς:
$\displaystyle{\displaystyle{\frac{5}{4}=ab+bc+ca>\frac{1}{4}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}}}$ οπότε $\displaystyle{0<a<1}$ και άρα a>a^2...

Να βρείτε τους ακέραιους m,n

για τους οποίους

$\displaystyle{n^{n−1} = 4m^2+2m+3.}$

Να βρείτε όλες τις τριάδες ακεραίων (a,b,c)

για τις οποίες οι αριθμοί

$\displaystyle{\frac{a}{b+c}, \ \ \frac{b}{c+a}, \ \ \frac{c}{a+b}}$

είναι ακέραιοι.

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης a^2 +b^2 +c^2

αν

είναι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a + b, b + c, c + a \in [0, 1].$

Να λύσετε, για τις διάφορες της παραμέτρου

το σύστημα:
$\displaystyle{\begin{cases} x^2 + kxy + y^2 = z, \\ y^2 + kyz + z^2 = x, \\ z^2 + kzx + x^2 = y. \end{cases}}$

Για τους πραγματικούς αριθμούς a, b, c

ισχύει $\displaystyle{a,b,c> \frac{1}{2}}$ και $\displaystyle{ab+bc+ca =\frac{5}{4}.}$
Να δείξετε ότι $\displaystyle{a + b + c > a^2 + b^2 + c^2.}$

Αρκετοί διαφορετικοί διψήφιοι φυσικοί αριθμοί είναι γραμμένοι στον πίνακα. Λέμε ότι ο αριθμός

είναι καλός αν το άθροισμα των αριθμών από τον πίνακα που περιέχουν το ψηφίο

είναι

α) Ποια από τα ψηφία 0 έως 9 μπορεί να είναι καλά;
β) Πόσα ψηφία το πολύ μπορούν να είναι καλά ταυτόχρονα;

Επαναφορά!

Η αναζήτηση βρήκε 6439 εγγραφές

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Πίνακες

Re: Ακολουθία και ανισότητα

Re: Συμπλήρωση πίνακα

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΘΕΡΜΑΝΣΗ

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Συναρτησιακή εξίσωση

Re: Ανισότητα

Re: Τριάδες ακεραίων

Re: Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Τριάδες ακεραίων

Μέγιστη τιμή

Σύστημα με παράμετρο

Ανισότητα

Καλά ψηφία

Re: Σύνολο