Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=-3sin^2a\cdot x^3+cosa\cdot x+5$ , με $\displaystyle{\frac{\pi}{2}<a<\pi}$. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα β) Να λύσετε την ανίσωση $f(x^2-2x-3)<5$ γ) Αν $\displaystyle{f(1)=\frac{8}{3}}$ , τότε να υπολογίσετε: i) το $cosa$ ii) την τιμή της παρά...

Πολύ όμορφο!!

Καλώς ήρθες στην blogοσφαιρα!! Η προσφορά σου είναι ανεκτίμητη!!

Καλησπέρα.
Το δεν υπάρχει, το υπάρχει και το υπάρχει.

Το γ) με άλλο τρόπο. Έστω ότι οι $C_g$ και $C_{g^{-1}}$ έχουν κοινό σημείο με τετμημένη $x_0$. Τότε, επειδή η συνάρτηση $g$ είναι γνησίως αύξουσα, το κοινό τους σημείο θα ανήκει πάνω στην ευθεία $\psi =x$. Δηλαδή , η εξίσωση $g^{-1}(x)=g(x)$ είναι ισοδύναμη με την $g(x)=x$, η οποία αφού έχει λύση τη...

Kαλημέρα και από εμένα. Ένα πολύ καλό διαγώνισμα, που εξετάζει τα πάντα. Διαγνωστικό όχι μόνο για τον διδάσκοντα, αλλά και για τους ίδιους τους μαθητές, προκειμένου να καταλάβουν ότι μαθηματικά δεν είναι απλά η απαραίτητη γνώση των τύπων, αλλά και η εμπέδωσή της χρησιμότητας και της λειτουργίας τους...

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x)=\frac{lnx+1}{lnx-2}}$ και $g(x)=e^x+x$ α) Να αποδείξετε ότι η $f$ αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της $f^{-1}$ β) Να υπολογίσετε τα όρια $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)}$ και $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\propto }f^{-1}(x)}$ γ) ...

Να συμπληρώσω , στο ενδιαφέρον θέμα που ανοίξατε, ότι ο Γιόχαν Λάμπερτ απέδειξε το 1761 ότι το π είναι άρρητος αριθμός, ενώ αργότερα, το 1882, ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π έχει μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: είναι υπερβατικός αριθμός. Στην αλγεβρική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτ...

Καταπληκτική δουλειά!! Ευχαριστούμε πολύ!!!

στ. Η δοσμένη γράφεται: $\displaystyle{f\left ( f(x^2+6x) \right-3 )<5\Leftrightarrow f(x^2+6x)-3>0\Leftrightarrow f(x^2+6x)>3=f(7)\Leftrightarrow x^2+6x<7}$ άρα έχουμε $\displaystyle{x\notin \left ( -3-\sqrt{2}, -3+\sqrt{2} \right )}$. Καλησπέρα. Μια μικρή διόρθωση μόνο εδώ... Η λύση είναι $-7<x<1...

Δίνεται η συνάρτηση $f$,γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb R$, για την οποία ισχύει $f^2(0)+f^2(7)-10f(0)-6f(7)\leq -34$ και η συνάρτηση $g$ με $g(x)=ax^3+bx$ όπου $a,b\in\mathbb R$ για την οποία ισχύουν $\displaystyle{\frac{3}{g(1)}-\frac{24}{g(2)}=-1}$ και $\displaystyle{\frac{3g(2)+4g(1)}{g(1)g(2)}=\f...

Το γνωστό πρόβλημα πιθανοτήτων, που σίγουρα θα προκαλέσει το ενδιαφέρον των μαθητών της Α Λυκείου.
http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2013/10/to.html

BAGGP93 έγραψε:
Ουσιαστικά, προσδιορίσαμε πλήρως τα κοινά σημεία της ευθείας και της έλλειψης .

Και μια γεωμετρική παρατήρηση για να μην έχουμε μόνο άλγεβρα.

Kαλησπέρα.
Πολύ ωραία παρατήρηση!
Ευχαριστώ για την αναλυτικότατη λύση.

Δίνεται το σύστημα (Σ1) $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} mx+\psi =1\\ x+(2m-1)\psi =m \end{matrix}\right.}}$ με ορίζουσες $D,D_x$ και $D_{\psi}$. α) Να λύσετε το σύστημα (Σ1) β) Αν $(x_0,\psi_0)$ η μοναδική λύση του συστήματος (Σ1), να βρείτε την τιμή της παράστασης $A=2\psi_0-x_0$ γ) Έστω, επιπ...

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z$ και η συνάρτηση $f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι: $f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0$, για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f'(x)\neq0$, για κάθε $x\in\mathbb R$ Αν επιπλέον $\displaystyle{\lim_{x\rig...

Tolaso J Kos έγραψε:Ωραία... μετά από π.μ του κ. Χρήστου κατάλαβα που κάνω λάθος.. Ωραία επιστρέφω.... στη λύση του δ)
Κ. Θανάση με συγχωρείτε πάρα πολύ!

Οπότε θέλει αλλαγή και η απάντηση στο ερώτημα γ) , αφού πρέπει να δείξουμε ότι .

Από τη σχέση $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |+x)+f\left ( \left | \bar{z}+1 \right |-x )=0}$ για $x=0$ παίρνουμε ότι $\displaystyle{f(\left | z+1 \right |)=0}$ (καθώς $\displaystyle{\left | z+1 \right |=\left | \bar{z}+1 \right |}$) άρα $\displaystyle{A_g=\left ( \left | z+1 \right |, +\infty ...

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός $z$ και η συνάρτηση $f: \mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη , για την οποία ισχύει ότι: $f(\left|z+1 \right|+x)+f(\left|\bar{z}+1 \right|-x)=0$, για κάθε $x\in\mathbb R$ και $f'(x)\neq0$, για κάθε $x\in\mathbb R$ Αν επιπλέον $\displaystyle{\lim_{x\righ...

Kαλημέρα σε όλους. Η δική μου γνώμη για το θέμα που προέκυψε είναι ότι πράγματι σε ανισώσεις στο σύνολο των μιγαδικών δεν έχουμε δικαίωμα να μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος στο άλλο (π.χ ας δοκιμάσουμε να λύσουμε τις ανισώσεις $z^2-4z+5<0$ και $z^2+5<4z$) , εκτός και αν ο όρος που θα μεταφέρου...

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
(...το πρέπει όπως έχει συζητηθεί πάρα πολλές φορές να δίνεται για να κάνουμε χρήση της ....)

Έχεις δίκιο συνάδελφε.Παράλειψη μου. Θα το συμπληρώσω και ευχαριστώ για την αναλυτικότατη λύση σου.