Προσωπικά τα θέματα του Θαλή μου άρεσαν στην ηλικία μου. Ας δούμε και άλλη λύση Θ. 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΏΝΗΣΗ Αν οι πραγματικοί αριθμοί $x,y,z,w$ είναι όλοι μεγαλύτεροι ή ίσοι του $1$ και μικρότεροι ή ίσοι του $5$ και επιπλέον ισχύει ότι $x+y+z+w=8$, Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της παράστασης $A=x^{...

Γ' Λυκείου Η αρχική γράφεται
Γ' Λυκείου Προσθέτοντας κατά μέλη και λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε την μοναδική

Αν και η ανισότητα είναι ιδιαίτερα αδύναμη η μετατροπή του δεξιού μέλους την καθιστά ωραία.

Να αποδειχτεί ότι με τις ίδιες συνθήκες.

Παρ΄όλα αυτά η ανισότητα εξακολουθεί να είναι πολύ ωραία και έχει μια εξαιρετικά ωραία λύση.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x) \geq 0,$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και $f(x + g(y)) = f(x) + f(y) + 2yg(x) − f(y − g(y)),$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ $P(y-g(y),y)$ δίνει $yg(y-g(y))=0$ . Συνεπώς, αν $y \neq 0$ είναι σίγουρο ότι $g(y-g(y))=0$ ...

Τα θέματα των μεγάλων δεν θα ανακοινωθούν , αφού μάλλον προέρχονται από Shortlists.

Θέματα μεγάλων Πρόβλημα 3. Δίνονται οι φυσικοί αριθμοί $n,\,m$ με $n<m$ και διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $a_1,\,a_2,\ldots, a_m$. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $P$ με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού το πολύ $n$, για τα οποία ισχύει η ισότητα $\displaystyle \big|P(a_i)-P(a_j)\big|=|a_i-a_j|$ για...

Για το πρώτο. Ας είναι $a_m=\dfrac{a^2}{b^2}$ και $a_{m-1}=\dfrac{c}{d}$ με $(a,b)=(c,d)=1$ Πρέπει $\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{3c^3+cd^2}{d^3}$. Εύκολα αποδεικνύεται ότι το $3$ δεν διαιρεί κανέναν παρανομαστή από την ακολουθία. Επομένως, είναι $d^{3}=b^{2}$ και $c(3c^2+d^2)=a^2$. Από αυτές προκύπτει ότ...

Στο των μικρών το ότι ο είναι περιττός δεν χρειάζεται νομίζω.

Datis-Kalali έγραψε: ↑

Παρ Φεβ 23, 2018 3:11 pm

Αν και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί έτσι ώστε , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Προκύπτει σχετικά άμεσα από Jensen ότι το ελάχιστο είναι .

Να προσδιοριστούν οι συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την σχέση για κάθε όπου θετική πραγματική σταθερά μεγαλύτερη της μονάδος. Για μαθητές.

Διαφορετικά με νόμο συνημιτόνων στο προκύπτει ότι . Η συνέχεια απλή.

B Λυκείου 3o Η μέγιστη περιφέρεια ενός κύκλου στο εσωτερικό του ορθογωνίου λαμβάνεται όταν αυτό εφάπτεται σε τουλάχιστον πλευρές και έχει μήκος το πολύ . Συνεπώς, πρέπει , από όπου έπεται το ζητούμενο.

Να αποδεικτεί ότι στο άθροισμα των τετραγώνων περιττών αριθμών μπορεί να προστεθεί το τετράγωνο ενός ακόμα περιττού ώστε το άθροισμα να είναι τέλειο τετράγωνο.

Υπάρχει πολλαπλάσιο του , για το οποίο ισχύει: ;

Αν πραγματικοί με να δειχθεί ότι

Ορίζουμε ως τον μέγιστο πρώτο παράγοντα του . Να προσδιόρισετε τις τριάδες θετικών ακεραίων που αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και ικανοποιούν την σχέση .