Θα αποδείξουμε το εξής γενικότερο αποτέλεσμα: Για κάθε περιττό ακέραιο $\displaystyle{n \ge 3}$, ο αριθμός $\displaystyle{{a_n} = \frac{1}{\pi }\arccos \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)}$ είναι άρρητος. (Το αρχικό πρόβλημα είναι η ειδική περίπτωση $\displaystyle{n = 9}$). Θέτουμε $\displaystyle{...

Αν το $\displaystyle{P\left( x \right)}$ είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε το συμπέρασμα ισχύει προφανώς, παίρνοντας $\displaystyle{Q\left( x \right) \equiv 0}$. 'Εστω τώρα ότι το μη μηδενικό πολυώνυμο $\displaystyle{P\left( x \right)}$ είναι άρτια συνάρτηση. Θα αποδείξουμε με επαγωγή στον αριθμό $\...

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ και ονομάζουμε $\displaystyle{{\rm M},{\rm N}}$ τα μέσα των διαγωνίων του $\displaystyle{{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Delta }$ αντίστοιχα. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{{\rm A}{\rm M}\Delta }$ και $\displa...

Πρόκειται για κλασικό αποτέλεσμα, που αποδίδεται στους Poncelet και Brianchon. Έστω ότι η ισοσκελής υπερβολή έχει εξίσωση $\displaystyle{\left( C \right):xy = 1.}$ Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{{\rm A}\left( {{x_1},{y_1}} \right),{\rm B}\left( {{x_2},{y_2}} \right),\Gamma \left( {{x_3},{y_3}} \r...

Τα ανοικτά διαστήματα $\displaystyle{\left( { - \frac{1}{n},\frac{1}{n}} \right),}$ $\displaystyle{n = 1,2, \ldots ,}$ είναι ανοικτά υποσύνολα του $\mathbb{R}$ με τη συνήθη τοπολογία, αλλά η τομή τους είναι το μονοσύνολο $\displaystyle{\left\{ 0 \right\}}$, το οποίο δεν είναι ανοικτό σύνολο, γιατί γ...

Μήπως εννοείς να κατασκευάσουμε κύκλο που να εφάπτεται σε δύο δεδομένες ευθείες και έναν δεδομένο κύκλο ή να εφάπτεται σε δύο δεδομένους κύκλους και μία δεδομένη ευθεία;

Αν δεν κάνω λάθος πρέπει στο παραπάνω να πάρουμε



ώστε να ισχύει

Από τα δεδομένα του προβλήματος βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha \left( {\beta \gamma - 1} \right)x + \beta \left( {\gamma \alpha - 1} \right)y + \gamma \left( {\alpha \beta - 1} \right)z = 0}\\ {\left( {\frac{1}{\beta } + \frac{1}{\gamma }} \right)x + \left( {\f...

Το ζητούμενο όριο είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.}$ Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}{x_n}}}}}{n} = 2.}$ Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Cesaro-Stolz (γνωστό και ως διακριτή εκδοχή του κανόνα L' Hospital): Έσ...

Από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και την ανισότητα $\displaystyle{\frac{{\ln y}}{{\ln z}} + \frac{{\ln z}}{{\ln y}} \ge 2}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{{x^{{{\log }_y}z}} + {y^{{{\log }_z}x}} = {e^{\frac{{\ln z\ln x}}{{\ln y}}}} + {e^{\frac{{\ln y\ln x}}{{\ln z}}}} \ge 2\sqrt {{e^{\f...

Έστω μια τρίεδρη στερεά γωνία τέτοια, ώστε

.

Να αποδείξετε ότι αν είναι ένα εσωτερικό σημείο της τρίεδρης γωνίας και οι προβολές του στις έδρες της, τότε ισχύει:

.

Για το (ii): Είναι $\displaystyle{\frac{{\left( {AMB} \right)}}{{\left( {APB} \right)}} = \frac{{MO}}{{PO}}}$ (1) Από το Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο $APO$ με διατέμνουσα $CMB$ έχουμε ότι $\displaystyle{\frac{{CA}}{{CP}} \cdot \frac{{MP}}{{MO}} \cdot \frac{{BA}}{{BO}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MP}}...

Αν γράψουμε $\displaystyle{\overrightarrow {OP} = \frac{{s - a}}{s}\overrightarrow {OA} + \frac{{s - b}}{s}\overrightarrow {OB} + \frac{{s - c}}{s}\overrightarrow {OC} }$, τότε υπολογίζουμε ότι $\displaystyle{{\overrightarrow {OP} ^2} = \sum\limits_{cyc} {{{\left( {\frac{{s - a}}{s}} \right)}^2}} {\...

Για το (i) σύντομα... 'Εστω ότι η προέκταση της $AE$ τέμνει την $PB$ στο σημείο $F$. Εφόσον το τετράπλευρο $ACEB$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, είναι $\displaystyle{\widehat {AFB} = \widehat {ABE} = \widehat {PCE}}$. Άρα και το τετράπλευρο $PCEF$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε $\displaystyle{\wideha...

Πού βρίσκεται το σημείο ;

Επίσης, τι είναι το στο δεύτερο ερώτημα;

Είναι μήπως το σημείο τομής των ;

Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε ότι $AB^T = \left(AB^T)^T = BA^T$, $CD^T = \left(CD^T)^T = DC^T$ και $AD^T - BC^T = I_n$. Παίρνοντας αναστρόφους (transposes) στην τελευταία σχέση βρίσκουμε ότι $DA^T - CB^T = I_n$. Οι σχέσεις αυτές είναι ισοδύναμες με την ισότητα των $2n \times 2n$ πινάκων $\d...

Το $\displaystyle{P}$ είναι το σημείο Nagel του τριγώνου $\displaystyle{ABC}$, δηλαδή το σημείο τομής των ευθειών $\displaystyle{AA^{\prime}}$, $\displaystyle{BB^{\prime}}$ και $\displaystyle{CC^{\prime}}$, όπου $\displaystyle{A^{\prime}, B^{\prime} ,C^{\prime}}$ είναι τα σημεία επαφής των περεγγεγρ...

Από την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου έχουμε ότι για κάθε $\displaystyle{i = 1,2, \ldots ,n}$, όπου $\displaystyle{{a_{n + 1}} = {a_1}}$, $\displaystyle{a_i^2 + a_{i + 1}^2 + 2 \ge 2\left( {{a_i} + {a_{i + 1}}} \right) \ge \frac{8}{{\frac{1}{{{a_i}}} + \frac{1}{{{a_{i + 1}}}}}}}$ με το ίσον ...

Από τη σχέση $({\rm O}{\rm A}\Delta ) = ({\rm O}{\rm B}\Gamma )$ προκύπτει ότι ${\rm O}{\rm A} \cdot {\rm O}\Delta = {\rm O}{\rm B} \cdot {\rm O}\Gamma$, ή ισοδύναμα ότι $\displaystyle \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Gamma }} = \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm O}\Delta }}$. Άρα, είναι ${\rm A}{\rm B}/...

Πολύ ωραία! Ας συνεχίσουμε τώρα:

Να αποδείξετε, με τους αρχικούς συμβολισμούς, ότι αν , τότε:

.

Συμπεράνετε ότι (I.M.O. 1966, Θέμα 6).