Η αναζήτηση βρήκε 1378 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Φεβ 23, 2019 3:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
- Απαντήσεις: 63
- Προβολές: 18820
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Πρόβλημα 3 Μεγάλων Έστω $\displaystyle x = \frac{k}{\ell }$ και $\displaystyle y = \frac{m}{n},$ όπου $\displaystyle k,\ell ,m,n$ θετικοί ακέραιοι με $\displaystyle \left( {k,\ell } \right) = \left( {m,n} \right) = 1.$ Είναι: $\displaystyle y{x^y} = y + 1 \Leftrightarrow \frac{m}{n}{\left( {\frac{k...
- Σάβ Φεβ 23, 2019 3:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
- Απαντήσεις: 63
- Προβολές: 18820
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Πρόβλημα 1 Μεγάλων Για κάθε $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ είναι $\displaystyle {5^{n - k}}{a_k} = {5^{n - k + 1}}{a_{k - 1}} + {3^{k-1}} \cdot {5^{n - k}}.$ Με πρόσθεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη για $\displaystyle k \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}$ και διαγράφοντας...
- Σάβ Ιαν 26, 2019 10:32 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
- Απαντήσεις: 313
- Προβολές: 62028
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Άσκηση 102 Έξι διαφορετικοί ανά δύο ακέραιοι επιλέγονται τυχαία από το σύνολο $\{ 1,2,3,\dots,2006 \}.$ Ποια η πιθανότητα η διαφορά δύο από αυτούς να διαιρείται με το 5; Τα πιθανά υπόλοιπα της διαίρεσης των αριθμών με το $5$ είναι οι αριθμοί $0,1,2,3,4$. Αφού επιλέγουμε $6$ αριθμούς, δύο από αυτούς...
- Σάβ Ιαν 26, 2019 10:24 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
- Θέμα: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
- Απαντήσεις: 313
- Προβολές: 62028
Re: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤA : Η ξεχασμένη αγαπημένη !
Άσκηση 101 Οι ακέραιοι $a$,$b$,$c$ και $d$, όχι απαραίτητα διαφορετικοί, επιλέγονται τυχαία και ανεξάρτητα από το σύνολο $\{0,1,2,3,\dots,2007 \}$. Ποια η πιθανότητα ο αριθμός $ad - bc$ να είναι άρτιος; Για να είναι ο αριθμός $ad - bc$ άρτιος, πρέπει οι αριθμοί $ad$ και $bc$ να είναι και οι δύο άρτ...
- Σάβ Νοέμ 03, 2018 9:28 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Συναρτησιακή εξίσωση
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1161
Re: Συναρτησιακή εξίσωση
Θέτουμε $\displaystyle g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ και $\displaystyle h\left( x \right) = g\left( {g\left( x \right)} \right),$ $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$ Παρατηρούμε ότι κάθε λύση της εξίσωσης $\displaystyle g\left( x \right) = x$ είναι και λύση της εξίσωσης $\displaystyle h\left( x...
- Παρ Απρ 06, 2018 9:28 am
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: "Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 2106
"Αντιστροφή - ένας εξωτικός μετασχηματισμός" (Ιωάννινα 18-3-2018)
Την Κυριακή 18 Μαρτίου πραγματοποιήθηκε στα Ιωάννινα ημερίδα με θέμα τους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς και ομιλητές τον Κώστα Δόρτσιο και εμένα. Το θέμα της ομιλίας μου ήταν ο " εξωτικός " μετασχηματισμός της αντιστροφής . Μπορείτε να βρείτε την πλήρη παρουσίαση του θέματος (με μικρές αλλαγές) εδώ ...
- Παρ Μαρ 09, 2018 10:38 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2018/2
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 983
Re: SEEMOUS 2018/2
Έστω $\displaystyle X = ABCD \in {\mathcal{M}_{m,m}}\left( \mathbb{R} \right).$ Παρατηρούμε ότι $\displaystyle X = A{A^t}$ και άρα ο πίνακας $\displaystyle X$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος. Επίσης, είναι: $\displaystyle {X^3} = \left( {ABC} \right)\left( {DAB} \right)\left( {CDA} \right)\le...
- Σάβ Μαρ 03, 2018 10:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
- Απαντήσεις: 28
- Προβολές: 11123
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Αρχιμήδης Μεγάλοι - Θέμα 2ο.png Μια άλλη λύση για το 4ο Θέμα των Μεγάλων μπορεί να δοθεί με χρήση της συμμετρικής αντιστροφής . Θεωρούμε τη συμμετρική αντιστροφή $\displaystyle {\rm T}:{\rm X} \mapsto {\rm X}',$ δηλαδή τη σύνθεση της συμμετρίας ως προς τη διχοτόμο $\displaystyle \ell $ της γωνίας $...
- Σάβ Μαρ 03, 2018 3:14 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
- Απαντήσεις: 28
- Προβολές: 11123
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Θέμα 4ο μικρών: Αρχιμήδης Μικροί - Θέμα 4ο.png Έστω $\displaystyle x'x$ η εφαπτομένη του κύκλου $\displaystyle c$ στο σημείο $\displaystyle B$. Τότε, είναι $\displaystyle \angle x'{\rm B}\Delta = \angle {\rm B}{\rm A}\Delta = \omega $ (γωνία χορδής και εφαπτομένης). Επίσης, είναι $\displaystyle {\r...
- Σάβ Μαρ 03, 2018 2:55 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
- Απαντήσεις: 28
- Προβολές: 11123
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2017-2018
Θέμα 1 μικρών : (α) Για $\displaystyle x = \frac{1}{2} - \sqrt 3 $ έχουμε ότι $\displaystyle x + \sqrt 3 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ και $\displaystyle {x^2} + \sqrt 3 = {\left( {\frac{1}{2} - \sqrt 3 } \right)^2} + \sqrt 3 = \frac{1}{4} - \sqrt 3 + 3 + \sqrt 3 = \frac{{13}}{4} \in \mathbb{Q}.$ (...
- Κυρ Φεβ 11, 2018 11:55 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1793
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 3. Στις πλευρές $AD$ και $CD$ παραλληλογράμμου $ABCD$ με κέντρο $O$ σημειώθηκαν σημεία $P$ και $Q$ αντίστοιχα, ώστε $\angle AOP = \angle COQ = \angle ABC$. α) Αποδείξτε, ότι $\angle ABP = \angle CBQ$. β) Αποδείξτε, ότι οι ευθείες $AQ$ και $CP$ τέμνονται στον περιγεγραμμένο κύκλ...
- Σάβ Φεβ 10, 2018 6:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1793
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 5. Το πολυώνυμο $P(x)$ ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: $P(0) =1$, $(P(x))^2 = 1+x+x^{100}Q(x)$ για όλα τα πραγματικά $x$, όπου $Q(x)$ κάποιο πολυώνυμο. Να αποδείξετε, ότι ο συντελεστής του $x^{99}$ του πολυωνύμου $(P(x)+1)^{100}$ είναι ίσος με μηδέν. Επειδή ο αριθμός $0$ είνα...
- Σάβ Φεβ 10, 2018 5:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1793
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 2. Να βρείτε όλες τις τιμές του $a$, για τις οποίες θα βρεθούν τέτοια $x,y$ και $z$, ώστε οι αριθμοί $\cos x, \cos y$ και $\cos z$ να είναι ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους και να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με τη δοθείσα σειρά, επιπλέον οι αριθμοί $\cos (x+a), \cos (y+a)$ κα...
- Σάβ Φεβ 10, 2018 5:25 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1793
Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2014 (11ή τάξη)
Πρώτη Μέρα. Πρόβλημα 1. Το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x) =ax^2+bx+c$ παίρνει ετερόσημες τιμές στα σημεία $c$ και $\dfrac{1}{a}$. Αποδείξτε, ότι οι ρίζες του τριωνύμου $f(x)$ έχουν ετερόσημες τιμές. Είναι $\displaystyle f\left( c \right)f\left( {\frac{1}{a}} \right) = \left( {a{c^2} + bc + c} \right)...
- Δευ Φεβ 05, 2018 4:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1385
Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2017/18 (IIIΦ 11η τάξη)
8. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιος φυσικός αριθμός $n > 10^{2018}$, ώστε το άθροισμα όλων των πρώτων αριθμών, μικρότερων του $n$, θα είναι σχετικά πρώτο με τον $n$. Για κάθε ακέραιο $n \ge 3$, συμβολίζουμε με $\displaystyle f\left( n \right)$ το άθροισμα των πρώτων αριθμών που είναι μικρότεροι...
- Πέμ Φεβ 01, 2018 3:05 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 2428
Ανισότητα υπό συνθήκη!
Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς με ισχύει η ανισότητα:
- Πέμ Φεβ 01, 2018 2:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 2358
Re: Συνάρτηση σε δυναμοσύνολο
Έστω $\displaystyle {X_n} = \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}$ και $\displaystyle X_n^i = {X_n} \setminus \left\{ i \right\}$ για κάθε $\displaystyle i \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}.$ Συμβολίζουμε με $\cal{A}$ το σύνολο των συναρτήσεων $f$ με τη δοσμένη ιδιότητα και $\cal{B}$ το σύνολο όλων ...
- Τετ Ιαν 31, 2018 6:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1410
Re: Συναρτησιακή
Μια διαφορετική προσέγγιση: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle g\left( x \right) = f\left( {x - \frac{1}{{c - 1}}} \right)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. Είναι $\displaystyle f\left( {cx - \frac{1}{{c - 1}}} \right) = f\left( {c\left( {x - \frac{1}{{c ...
- Πέμ Ιαν 25, 2018 3:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Υπόλοιπο διαίρεσης!
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1596
Re: Υπόλοιπο διαίρεσης!
Αν $\displaystyle p = 2,$ τότε $\displaystyle \xi = 2$ και το ζητούμενο υπόλοιπο είναι ίσο με $\displaystyle 0.$ Έστω ότι ο $\displaystyle p$ είναι περιττός πρώτος. $\bullet$ Αν $\displaystyle p \equiv 1\left( {\bmod 4} \right),$ τότε $\displaystyle \left( {\frac{{ - 1}}{p}} \right) = 1$ και άρα υπά...
- Πέμ Ιαν 25, 2018 12:21 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ
- Απαντήσεις: 27
- Προβολές: 4395
Re: ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΓΡΗΓΟΡΗ
Χρόνια Πολλά στο Γρηγόρη Κωστάκο, με υγεία και αδιάκοπη δημιουργικότητα! Θα τα πούμε, ελπίζω, σύντομα και από κοντά.