shape.pngΣτο παραπάνω σχήμα, να βρείτε την πλευρά $AC = x$ αν ισχύει $(ABC) = (ACD).$ Ισεμβαδικά τρίγωνα.Μ.png Με νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $ABC, ACD$ είναι $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \cos \theta = \frac{{34 - {x^2}}}{{30}} \hfill \\ \hfill \\ \cos \varphi = \frac{{116 - {x^2}}}{{80...

Να βρείτε τους θετικούς ακέραιους ώστε

Το τέταρτο τμήμα.pngΤο σημείο $S$ είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Η $SA$ τέμνει την παράλληλη από το $B$ προς την πλευρά $CA$ , στο σημείο $P$ . Υπολογίστε το $(BP)$ . Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές $b , c$ ; Από την ομοι...

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = c(a + c).$ Αναρωτήθηκα τι μπορεί να συμβαίνει αν $\displaystyle 2{b^2} = c(a + c)$ και έτσι προέκυψε η παρακάτω άσκηση. Σχέση πλευρών ειδικού τριγώνου.png $CM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ με $\displaystyle 2{b^2} = ...

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο $ABCD.$ Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή $A,$ είναι τρισορθογώνια, τότε το $ABCD$ ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή $A.$ Τρισορθογώνιο τετράεδρο.png Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο $ABCD$ κατά την κορυφή $A.$ Μία μεταβλητή σφαίρα $...

Πλευρολογία.pngΣτην διαγώνιο $AC$ του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου $ABCD$ , εντοπίστε σημείο $K$ , τέτοιο ώστε , ο κύκλος $(K,KA)$ να εφάπτεται της πλευράς $DC$ . Αν ο κύκλος διέρχεται και από το μέσο $M$ της $AB$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{b}{a}$ . $\displaystyle KE||AD \Leftrightarr...

Βρείτε - με οποιονδήποτε τρόπο - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : $f(x)=2x^2-x\sqrt{x^2+1}+1$ $\displaystyle f'(x) = \frac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} - 2{x^2} - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.$ Η παράγωγος μηδενίζεται όταν $\displaystyle 12{x^4} + 12{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}...

Που ;.pngΠροκτείναμε τις πλευρές του ισοσκελούς ( $5-5-8$ ) τριγώνου $ABC$ , κατά τμήματα $BP=7$ και $CT=3$ . Βρείτε την θέση του $S$ στην διχοτόμο της $\widehat{A}$ , ώστε : $\phi=\theta$ . Με τους συμβολισμούς του σχήματος, από τα όμοια τρίγωνα $BPS, CST$ είναι: Πού;.Κ.png $\displaystyle \frac{k}...

Ειδικός ρόμβος.pngΚατασκευάστε ρόμβο $ABCD$ - ή ( και ) βρείτε μια σχέση μεταξύ των στοιχείων του - ώστε ο κύκλος που ορίζουν οι κορυφές $A , B , D $ , να διέρχεται από τα μέσα $M , N$ των πλευρών του $BC$ και $CD$ . Έστω $2a$ η πλευρά του ρόμβου. Αν $DK$ είναι το ύψος του ισοσκελούς τραπεζίου $ABN...

Σε ισοεδρικό τετράεδρο $OABC$ αποδείξτε ότι $\displaystyle R^{2}\geq \frac{E\sqrt{3}}{2}$ όπου $R$ η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου και $E$ το εμβαδόν των ίσων τριγωνικών εδρών του. Έστω $MN$ η διδιάμεσος των $AD, BC$ που είναι και κοινή κάθετος και $G$ το μέσο της $MN.$ Επειδή τ...

Αλλιώς. Με νόμο συνημιτόνου στο

Δύο γωνίες.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,\left( {A = {{90}^0}} \right)$ και μέσο υποτείνουσας $M$, προεκτείνουμε την $AC$ προς το $C$ κατά τμήμα $CD$, έτσι ώστε , $DM = AB$ και $\widehat {CMD} = {29^0}.$ Να υπολογίσετε τις ( οξείες) γωνίες του τριγώνου , $ABC.$ Έστω $P$ το συμμετρικό του $M$ ως ...

Γωνιολογία.pngΣτο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SP}$ Γωνιολογία.Κ.png $\displaystyle \frac{{AS}}{{SP}} = \frac{{AS}}{{AB}} = \frac{{\sin 45^\circ }}{{\sin 75^\circ }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 6 - \sqrt 2 } \right)}}{2} \Leftr...

Ενδιάμεσο τμήμα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες πλευρές $AB , AC$ έχουν μήκη $12 $ και $16$ αντίστοιχα . Η υποτείνουσα $BC$ , τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο $T$ . Τέλος , η $BT$ τέμνει τη...

α) Γράψτε την ποσότητα : $a^4+b^4$ , συναρτήσει των $S=a+b$ και $P=ab$ . β) Αν : $q , r$ , είναι οι δύο ρίζες του τριωνύμου : $x^2-\dfrac{k}{2}x-\dfrac{1}{k^2} $ , με : $k>0$ , βρείτε το ελάχιστο της παράστασης : $q^4+r^4$ . ( Άσκηση υψηλής δυσκολίας ) . α) $\displaystyle {a^4} + {b^4} = {({a^2} + ...

Εξαρτημένο τμήμα.pngΣτην υποτείνουσα $BC$ του τριγώνου $ABC$ , θεωρούμε τμήμα : $BS=x , x<\dfrac{16}{5}$ . Η κάθετη της $AS$ στο $A$ , τέμνει την προέκταση της $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε το τμήμα $CT=y$ , συναρτήσει του $x$ ή βρείτε τα μήκη του $x$ , ώστε : $\dfrac{y}{x}=1$ , ή : $\dfrac{y}{x...

Ισότητα από τομή ημικυκλίων.pngΤα τμήματα $AB , AD$ είναι ίσα και κάθετα , ενώ το $S$ είναι σημείο της $AD$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου $SB$ και το τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{BD}$ , τέμνονται στο σημείο $T$ . Οι $BT , ST$ τέμνουν την παράλληλη από το $D$ προς την $AB$ , στα σημεία $C , P$ αντίστ...

Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.png $\bigstar$ Η ευθεία $SB$ εφάπτεται της καμπύλης . Υπολογίστε το εμβαδόν του γαλάζιου χωρίου . Το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle E = (ABS) - \int_0^a {\frac{{ax}}{{a + x}}} dx$ Εμβαδόν μικτόγραμμου τριγώνου.Κ.png $SB:$ $\displaystyle y - \frac{a}{2} = \frac{...

Διχοτόμος και ογδοντάρα.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , η $AD$ είναι διχοτόμος . Υπολογίστε την πλευρά $AB$ και - έστω με προσέγγιση - την γωνία $\widehat{A}$ . $\displaystyle A{D^2} = bc - BD \cdot DC \Leftrightarrow $ $\boxed{bc=72}$ $(1)$ Διχοτόμος και 80άρα.png O νόμος συνημιτόνου στα τρίγωνα $ABD, ACD$...

Να ευχαριστήσω το Γιώργο Μπαλόγλου για τη λύση του και να δώσω μία Ευκλείδεια αντιμετώπιση. Λόγος πλευρών ισοσκελούς.β.png Από την ομοιότατα των τριγώνων $IKL, MBC$ είναι $\displaystyle \frac{{IK}}{{MB}} = \frac{{IL}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{2r(1 - k)}}{c} = \frac{{r(1 + k)}}{a} \Leftrightarrow...