Dimitris X έγραψε: Μην ξεχνάτε ότι ήταν ΙΜΟ 2 το 1995.

Πώς αλλάζουν οι καιροί!! Από θέμα ΙΜΟ σε θέμα για μαθητές γυμνασίου.

Δίνω μία λύση και περιμένω για συντομότερες και πιο όμορφες. Λοιπόν, αν ονομάσουμε τη γωνία ΒΑΕ $w$ είναι $\displaystyle{\cos w =\frac{c}{AE}}$ άρα $\displaystyle{AE=\frac{c}{\cos w}=\frac{c}{\sin B}.}$ Ομοίως έχουμε $\displaystyle{AF=\frac{b}{\sin C}.}$ Επίσης είναι εύκολο να δούμε ότι $\displaysty...

Αν δεν κάνω λάθος αυτό είναι το θεώρημα της σπασμένης χορδής, του Αρχιμήδη, οπότε

Να δώσω και μία βιβλιογραφική αναφορά: R. Honsberger, Episodes in 19th and 20th century Euclidean Geometry, MAA, New Mathematical Library.

Χωρίς ολοκλήρωμα: Από Cesaro-Stolz, θα υπολογίσουμε το όριο $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\sqrt{n+1}((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n})}{3n^2 +3n+1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2 (1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}+\sqrt{...

Αναζητώ σταθερά $c$ ώστε να ισχύει $\displaystyle{\frac{x^3}{1-x^8}\geq cx^4}$ για κάθε $x \in [0,1)$. Η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{c}\geq x-x^9.}$ Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x)=x-x^9.$ Αυτή, είναι εύκολο να δούμε (π.χ.με χρήση παραγώγων) ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο $\displaystyle{\fr...

Καταρχάς, ας παρατηρηθεί ότι το τρίγωνο $MCD$ είναι ορθογώνιο και επομένως η προς απόδειξη σχέση γράφεται $\displaystyle{MC \cdot MD \leq 2d_{1} d_{2}.}$ Τα τρίγωνα $CAK_{1}$ και $MAK_{2}$ είναι όμοια αφού έχουν δύο γωνίες κατακορυφήν και οι επίκεντρες γωνίες είναι ίσες (π.χ. φέρνοντας την κοινή εφα...

Αν ονομάσουμε $x$ τις γωνίες ΔΕΓ και ΔΓΕ , και $y$ τις ΔΕΑ και ΔΑΕ εύκολα βρίσκουμε ότι $x+y=135^{o}$. Τότε από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΕΓ έχουμε $\displaystyle{AC^2=4^2 +(3\sqrt{2})^2 -2\cdot 4 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos 135^{o}=58.}$ Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με $AD^2 =\left(\frac...

Ωραία η παραπάνω λύση! Ωστόσο ας μου επιτραπούν δύο σχόλια: 1) Υπάρχει και μια αρκετά συντομότερη για την οποία δίνω μία υπόδειξη προεκτείνω τη διάμεσο $AM$ κατά ίσο τμήμα... 2) Από τη σχέση που αποδείχθηκε, και επειδή ισχύει $\cos \theta \leq 1$ προκύπτει η σχέση $\displaystyle{m_{a}w_{a}\geq s(s-a...

Αφού φρέσκαρα μερικά πράγματα, παραθέτω τη λύση. Θέτοντας $z=e^{i\theta}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{\frac{1}{3+2\sin \theta} =\frac{iz}{z^2 +3iz-1}}$ και $\displaystyle{d\theta =\frac{1}{iz}dz}$ άρα αναγόμαστε στον υπολογισμό του $\displaystyle{\oint _{c}\frac{1}{z^2 +3iz-1}dz}$ όπου $c$ ο μοναδι...

Για το βi) Μας δίνεται ότι $\displaystyle{(1+z_{1}^2)(1+z_{2}^2)(1+z_{3}^2)(1+z_{4}^2)=4}$ άρα $\displaystyle{(z_{1}-i)(z_{2}-i)(z_{3}-i)(z_{4}-i)(z_{1}+i)(z_{2}+i)(z_{3}+i)(z_{4}+i)=4}$ δηλαδή ότι $\displaystyle{P(i)P(-i)=4}$ και από εδώ καταλήγουμε στην $\displaystyle{4+(a-b)^2 =4}$ δηλαδή $a=b$ Γ...

Για το α) Έστω ότι η εξίσωση έχει πραγματική ρίζα $y$. Τότε θα ισχύει $\displaystyle{y^4 +1=-y(ay^2 +b)}$ άρα $\displaystyle{y^4 +1=\left|y \right|\left|ay^2 +b \right|< \left|y \right|(y^2 +1).}$ Όμως τότε θα είχαμε λόγω της $\displaystyle{2(x^2 +y^2)\geq (x+y)^2}$, $\displaystyle{\left|y \right| \...

(Όμως θεωρώ οτι πρέπει να δοθεί και άλλος όρος για να γίνει κατανοητό γιατί κάποιος μπορεί να πεί οτι ο επόμενος όρος είναι ο $1206$ αφού $1206-536=670=10\times 67$) Πιστεύω ότι σε τέτοιες περιπτώσεις είναι καλύτερο να δίνονται αρκετοί αρχικοί όροι ώστε να είναι ξεκάθαρο το μοτίβο, αν και γενικά μπ...

Για το 1ο: Κάθε φορά προσθέτουμε δύναμη του τρία. Στην ν-στη πρόσθεση, προσθέτουμε τη ν-οστη δύναμη του 3.
Άρα, ο επόμενος όρος είναι 40+81=121.

Έίναι εύκολο να δούμε ότι γενικά ισχύει

Έστω τρίγωνο και ας είναι η γωνία μεταξύ της διχοτόμου και της διαμέσου , οι οποίες άγονται από την κορυφή . Να αποδειχθεί ότι


όπου η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Έστω τετράγωνο και σημείο της διαγωνίου . Αν σημείο της πλευράς ώστε να υπολογίσετε την τιμή του λόγου

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{1- \cos A}{1+\cos A}+\frac{1- \cos B}{1+\cos B}+\frac{1- \cos C}{1+\cos C}\leq \left(\frac{1}{\cos A}-1 \right)\left(\frac{1}{\cos B}-1 \right)\left(\frac{1}{\cos C}-1 \right).}$ ΥΓ. Το θέμα αυτό προτάθηκε στο Mathematical Reflectio...

Για το πρώτο: Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι ακέραιοι της μορφής $3m,m\in \mathbb{N}$. Πράγματι, έστω $n=3m+1$. Τότε $2^{n}-1=2 \cdot 8^m -1=2(7+1)^m -1=2(7j+1)-1=7d+1$ δηλαδή όχι πολλαπλάσιο του $7$. Ομοίως όταν $n=3m+2$, μένει υπόλοιπο $3$. Όμως όταν $n=3m$, έχουμε $2^n -1 =8^m -1^m=(8-1)(...)$ δη...

ελπίζω να μην παρανόησα την εκφώνηση. Για μη μηδενικούς αριθμούς $a,b$ έχουμε $\bullet \ \displaystyle{a \cdot b=\left[a@\left[(1@b)@1 \right] \right]@1}$ $\displaystyle{\bullet \ b-a=\left[(a@b)@[(1@b)@1] \right]1}$ $\displaystyle{\bullet \ a+b=a-(-b)}$ και $-b=(b@1)-1$, και η αφαίρεση ορίστηκε παρ...

Ας αποδείξουμε και την αρχική. Το αριστερό μέλος γράφεται $\displaystyle{\frac{x^2}{xy^2 +xz}+\frac{y^2}{yz^2 +yx}+\frac{z^2}{zx^2 +zy}}$ και από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι $\displaystyle{ \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy^2 +yz^2 +zx^2 +xy+yz+zx}=\frac{(x+y+z)^3}{xy^2 +yz^2 +zx^2 +(x+y+z)(xy+yz+zx)}...