Τέλος το τέταρτο των μικρών είναι θεωρία αριθμών τελικά ή αλγεβρικό; Δεν έχει μεγάλη σημασία θα έλεγα. Ναι, είναι αλγεβρικό με κάποια στοιχεία θεωρίας αριθμών ή καλύτερα θεωρίας αριθμών, που λύνεται με αλγεβρικές τεχνικές. Στοιχεία θεωρίας αριθμών με την κλασική έννοια διαιρετότητα π.χ. υπάρχουν κα...

Νομίζω τα θέματα ήταν μια χαρά. Μάλιστα αν είναι και "εγχώριας παραγωγής", δηλαδή όχι από sortlist ή άλλους διαγωνισμούς θα τα χαρακτήριζα πετυχημένα. Δεν χρειάζεται να τρομάζουμε τους μαθητές με, ότι χρειάζεται π.χ. να ξέρει κανείς Vieta jumping, περίεργες ανισότητες κ.ο.κ Καλώς αν κάποιος τις γνωρ...

Το θέμα που προτείνω τέθηκε στον 20ο Γερμανικό Ομοσπονδιακό Μαθηματικό Διαγωνισμό του 1989-1990 στον πρώτο γύρο. Αναδεικνύει ένα χαρακτηριστικό σημείο του τετραέδρου. Έστω ότι δύο οποιεσδήποτε απέναντι ακμές ενός τετραέδρου είναι ορθογώνιες. Δείξτε ότι τα μέσα των έξη ακμών βρίσκονται πάνω σε σφαίρ...

Εαν για τους μη αρνητικούς αριθμούς $x,y,z$ ισχύει $x+y+z=2\sqrt{xyz}$ δείξτε ότι $yz\geq y+z$ Η εξίσωση, που ικανοποιούν οι αιρθμοί μπορεί να γραφεί ως $x+y+z=2\sqrt{yz} \sqrt{x}$. Θέτουμε $t=\sqrt{x}$ και η εξίσωση γίνεται $t^2-2\sqrt{yz}t+y+z=0$. Εφόσον υπάρχουν $t,y,z$ που την ικανοποιούν, η δι...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας XXXV Μαθηματική Γιορτή - 18 Φεβρουαρίου 2024 $\bullet $ 6η τάξη Πρόβλημα 1. Η Κατερίνα και η Ελένη έχουν δυο χτένες ίσου μήκους. Σε κάθε χτένα όλα τα δόντια είναι ίδια και η απόσταση μεταξύ των δοντιών ίση με το πλάτος του δοντιού. Η χτένα της Κατερίνας έχει $11$...

Μικροί Πρόβλημα 2 Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\omega$. Με κέντρο το σημείο $A$ γράφουμε κύκλο $\gamma$ που τέμνει το τόξο $AB$ του κύκλου $\omega$, που δεν περιέχει το $C$, στο σημείο $D$ και το τόξο $AC$, που δεν περιέχει το $B$, στο σημείο $E$. Υποθέτουμε ότι ...

Να λυθεί και το ακόλουθο Πρόβλημα 1 Αν οι $a, b, c$ είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$, να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός $x$, ώστε $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c) <0$. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $x^2 -4(a+b+c)x...

Μεγάλοι Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $ AB < AC < BC$, εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Gamma_{1}$ με κέντρο το σημείο $Ο$. Θεωρούμε το κύκλο $\Gamma_{2}$ που έχει κέντρο σημείο $D$, το οποίο ανήκει στον κύκλο $\Gamma_{1}$, και εφάπτεται στη πλευρά $BC$ στο σημείο $E$ και στη προέκταση της πλευράς $AB$...

Μεγάλοι Πρόβλημα 1 Αν οι $a, b, c$ είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$, να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός $x$, ώστε $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c) <0$. Λύση. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $x^2 -4(a+b+c)x+12(a+b+c)$,...

Απλά να σημειώσουμε ότι η ιδίοτητα, η ευθεία που διέρχεται από την εστία (μία από τις εστίες) και το σημείο τομής εφαπτομένων από δυο σημεία της παραβολής να είναι διχοτόμος της γωνίας που ορίζουν οι ευθείες που διέρχονται από αυτά τα σημεία και την εστία (μία από τις εστίες), ισχύει γενικά για κωνι...

Από την εστία.png Οι εφαπτόμενες στα σημεία $A, B$ μιας παραβολής τέμνονται στο $S,$ ενώ οι εφαπτόμενες στα $A, B$ του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $A, B, S$ τέμνονται στο $T.$ Να δείξετε ότι η $ST$ διέρχεται από την εστία $E$ της παραβολής. Έστω $A'$ και $B'$ οι προβολές των σημείων $A$ και ...

Οι θετικοί αριθμοί δεν υπερβαίνουν την μονάδα. Να αποδείξετε την ανισότητα

.

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 11η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Ένας δάσκαλος έχει $100$ σταθμά μάζας $1$ γχρ , $2$ χγρ, …, $100$ χγρ. Θέλει να δώσει από $30$ σταθμά στον Γιώργο και στον Νίκο έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: καμία εντεκάδα ...

Ποιοί φυσικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν στην μορφή , όπου διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί;

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 10η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Ο Κωνσταντίνος ισχυρίζεται, ότι βρήκε διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ τέτοιους, ώστε $\dfrac{1}{x^2+x+1} +\dfrac{1}{y^2+y+1} +\dfrac{1}{z^2+z+1} =4 $. Μπορεί άραγε να αληθεύει ο ι...

3. Στην πλευρά $BC$ ενός οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ δίνονται δυο σημεία $P$ και $Q$ τέτοια, ώστε $BP=PQ=QC$. Τα σημεία $X$ και $Y$ των πλευρών $AC$ και $AB$ αντίστοιχα είναι τέτοια, ώστε $PX \perp AC$ και $QY \perp AB$. Να αποδείξετε, ότι το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου $ABC$ ισαπέχει από τ...

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 2ης μέρας για την 9η τάξη. 1 Φεβρουαρίου 2024. 1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι $7$ διαφορετικοί αριθμοί, το άθροισμα των οποίων ισούται με $10$. Ο Γιώργος πολλαπλασίασε τον καθένα τους με το άθροισμα των υπόλοιπων έξι και κατέγραψε στο τετράδι...

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, 3η φάση. Θέματα της 1ης μέρας για την 11η τάξη. 31 Ιανουαρίου 2024. 1. Ο Χάρης έχει μια συλλογή από $2024$ διαφορετικά τετραγωνισμένα ορθογώνια διαστάσεων $1 \times 1, 1 \times 2, 1 \times 3, \ldots, 1 \times 2024$ (από ένα ορθογώνιο κάθε μεγέθους). Μπορεί άραγε...

(Μάλλον τους ξέφυγε ως θέμα. Για την ποιότητα του εν λόγω διαγωνισμού, μια άσκηση ρουτίνας είναι αστοχία). Δεν είμαι σίγουρος αν ξέφυγε, γιατί τα τελευταία χρόνια τα θέματα είναι πιο εύκολα, ειδικά όταν έγιναν από τέσσερα, πέντε για αυτήν την φάση (αντίστοιχος Ευκλείδης σε μας) και όταν άρχισαν να ...

4. Σε μια σειρά με κάποια διάταξη είναι γραμμένοι από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το $1$ έως το $1000$. Να αποδείξετε, ότι μπορούμε να διαλέξουμε μερικούς διαδοχικούς στη σειρά γραμμένους αριθμούς, το άθροισμα των οποίων είναι μεγαλύτερο από $100000$, αλλά δεν υπερβαίνει το $100500$. (Σ. Μ...