Προσθέτω ένα ερώτημα : Υπολογίστε την παράσταση :

Αν για τους θετικούς αριθμούς , ισχύουν : και :

, υπολογίστε την παράσταση : .

Η ευθεία εφάπτεται στους τρεις κύκλους . Υπολογίστε την ακτίνα του μεσαίου , συναρτήσει των ακτινών των ακραίων .

Το είναι το μέσο της . Ας δείξουμε με διάφορους τρόπους ότι : .

Παρακαλείται ο κάθε λύτης να δημοσιεύσει - σε μια πρώτη φάση - μόνο μία λύση !

Η διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο .

α) Αν : , υπολογίστε τον λόγο : ... β) Υπολογίστε τον λόγο : , ώστε : .

Τα μήκη όλων των τμημάτων που φαίνονται στο ισόπλευρο τρίγωνο , είναι ακέραια . Βρείτε τα !

Θέτοντας : , με χρήση του τύπου του Ήρωνα , καταλήγουμε στην ισότητα :

, με δεκτή ρίζα την :

και έτσι : .

Τροχιά κορυφής.png $\bigstar$ Η σταθερή βάση $OA=a$ , του ορθογωνίου τραπεζίου $OABC$ , είναι ο πρώτος όρος γεωμετρικής προόδου , μεταβλητού λόγου , ενώ οι $OC , CB$ , είναι οι δύο επόμενοι όροι . Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής $B$ . Βρείτε και την γωνία που σχηματίζουν οι διαγώνιου του τρα...

Διαβολική αναλογία.png Με σημείο $S$ διαιρέσαμε την πλευρά $AB$ του τετραγώνου $ABCD$ , σε λόγο : $\dfrac{AS}{SB}=\lambda , \lambda <1$ . Κύκλος εφάπτεται στις πλευρές $AB , AD$ του τετραγώνου , στα σημεία $S$ και $P$ . Φέρουμε και το εφαπτόμενο τμήμα $BT$ . Η χορδή $PT$ προεκτεινόμενη , τέμνει την...

Το τέταρτο τμήμα.png Το σημείο $S$ είναι ο νότιος πόλος του περικύκλου , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ . Η $SA$ τέμνει την παράλληλη από το $B$ προς την πλευρά $CA$ , στο σημείο $P$ . Υπολογίστε το $(BP)$ . Προαιρετικό : Μπορείτε να γενικεύσετε για οποιεσδήποτε κάθετες πλευρές $b , c$ ;

Ερυθρά ακεραιότης.png Ο μικρός κύκλος ακτίνας $r=3$ , εφάπτεται εσωτερικά του μεγάλου , ακτίνας $R=4$ , σε σημείο $S$ . Για κάθε σημείο $P$ του μεγάλου , θεωρούμε σημείο $Q$ του μικρού , τέτοιο ώστε : $\widehat{PSQ}=60^0$ . Το μήκος του τμήματος $PQ$ θα πάρει και ακέραιες τιμές . Βρείτε τις αντίστο...

Είμαι σίγουρος, όμως, ότι κάτι άλλο έχει στο μυαλό του ο Θανάσης. Γιώργο δεν φαντάζομαι να νομίζεις ότι είχα κατά νου την εκπληκτική σύλληψη του Κώστα :clap2: Πλευρολογία.png Σύμφωνα με την λύση σου εδώ , η ακτίνα $$ δίνεται από την συνάρτηση : $r(x)=\dfrac{x\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}$ ή : $r(x)...

Στην διαγώνιο του - διαστάσεων - ορθογωνίου , εντοπίστε σημείο ,

τέτοιο ώστε , ο κύκλος να εφάπτεται της πλευράς . Αν ο κύκλος διέρχεται

και από το μέσο της , υπολογίστε τον λόγο : .

Βρείτε - με οποιονδήποτε τρόπο - την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης :

Προκτείναμε τις πλευρές του ισοσκελούς ( ) τριγώνου , κατά τμήματα

και . Βρείτε την θέση του στην διχοτόμο της , ώστε : .

Κατασκευάστε ρόμβο - ή ( και ) βρείτε μια σχέση μεταξύ των στοιχείων του - ώστε ο κύκλος

που ορίζουν οι κορυφές , να διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του και .

Με μικροδιαφορές από τον Γιώργο α) $...= S^4-4PS^2+2P^2=\dfrac{k^4}{16}+1+\dfrac{2}{k^4}$ , αφού : $S=\dfrac{k}{2} , P=-\dfrac{1}{k^2}$ β) Από ανισότητα $AM-GM$ : $\dfrac{k^4}{16}+\dfrac{2}{k^4}\geq 2\sqrt{\dfrac{k^4}{16}\cdot \dfrac{2}{k^4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ . Η ανισότητα ΑΜ-ΓΜ , είναι στην ύλη...

Στο παρατιθέμενο σχήμα , υπολογίστε τον λόγο :

Ενδιάμεσο τμήμα.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ οι κάθετες πλευρές $AB , AC$ έχουν μήκη $12 $ και $16$ αντίστοιχα . Η υποτείνουσα $BC$ , τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε παράλληλη προς την $BA$ , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο $T$ . Τέλος , η $BT$ τέμνει τ...