Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $\hat{A}=90^{\circ} ,$ φέρνουμε τις διχοτόμους $BD , CE$ των γωνιών $\hat{B}$ και $\hat{C}$ του τριγώνου. Φέρνουμε $DK , EM\perp BC.$ Δείξτε ότι $K\hat{A}M=45^{\circ}.$ 1.png Επειδή $\displaystyle{ D }$ ανήκει στη διχοτόμο της $\displaystyle{ \widehat{CBA} }$ και $\dis...

vittasko έγραψε: ΥΓ. Η περίπτωση του να σε προλάβει κάποιος Στάθη, είναι ένα φανταστικό ενδεχόμενο.

ΚΩΣΤΑΔΕΣ (ΒΗΤΤΑ - ΡΕΚΟΥΜΗ) σας ευχαριστώ !!! και (εις διπλούν)

ΜΕ ΜΕΓΑΛΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ
Στάθης

Αγαπητοί φίλοι, θεωρώ τον εαυτό μου τυχερό για τις αποδείξεις και παρατηρήσεις που μόλις διάβασα! Είναι αλήθεια ότι έχω αποφασίσει προ πολλού καιρού να μη ασχολούμαι, πλέον, με Γεωμετρία λόγω χρόνου - κυρίως στο γράψιμο-, αλλά με το επίπεδο της θεματολογίας και τη καλή παρέα "τσιμπάω"! Στο μέλλον θ...

Σημείο $S$ κινείται πάνω στην υποτείνουσα του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , το οποίο έχει κάθετες πλευρές μήκους $2$ , ενώ $M$ είναι το μέσο της $AB$ . Βρείτε το ελάχιστο του αθροίσματος $(SA)+(SM)$ Σημείωση : Τοποθέτησα αυτό το θέμα σε τούτον το φάκελο , μη θέλοντας να "...

Εξωτερικά των πλευρών $AB , AC$ του σκαληνού τριγώνου $\displaystyle ABC$ , του οποίου το περίκεντρο είναι το $O$ , κατασκευάζω ισοσκελή τρίγωνα $ASB , ATC$ , έτσι ώστε τα $SB , TC$ να είναι κάθετα στην βάση $BC$ . 1) Δείξτε ότι : Η $AO$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\widehat {SAT}$ 2) Δείξτε ότι : $...

Για να αποφύγω υπόδειξη, απάντηση, hide κ.λπ., κάνω τρίπλα άλα Φέτφα, και βάζω... γενίκευση! ( Στάθη, ακούραστε, βοήθεια, σε αυτό το φάκελο θέλει πολύ γράψιμο!! .) Αν $AN:ND=\mu :\nu$ και $BK:KC=\nu :\mu$, και $(ASB)>(CSD)$, τότε: $(NSK)= \frac{\mu \nu }{(\mu +\nu )^2}[(ASB)-(CSD)]$ Εμβόλιμη Πρότασ...

Τα σημεία $K , L$ τριχοτομούν την πλευρά $BC$ του κυρτού τετραπλεύρου $ABCD$ . Το ίδιο συμβαίνει και με τα $M, N$ για την πλευρά $AD$ . Αν $S$ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων , δείξτε ότι : $(MSL)=(NSK)$ Για να αποφύγω υπόδειξη, απάντηση, hide κ.λπ., κάνω τρίπλα άλα Φέτφα, και βάζω... γενίκευση...

Δίνεται τρίγωνο $\triangle ABC$ και έστω $A_1$ και $B_1$ τα συμμετρικά των $A$ και $B$ ως προς τις πλευρές $BC$ και $AC$ αντίστοιχα. Αν $T$ είναι το σημείο τομής των $BA_1$ και $AB_1$, να αποδειχθεί ότι τα σημεία $T,O,C$ είναι συνευθειακά. (όπου $O$ είναι το περίκεντρο του $\triangle ABC$) 2.png Εί...

Από το τεράστιο πάρκο σχήματος τραπεζίου , η τίγρη επιτρέπεται να κινηθεί εντός του τριγώνου $BSC$ ενώ στο υπόλοιπο μισό , μπορούν να κινηθούν τα υπόλοιπα σαρκοφάγα . Υπολογίστε , ( συναρτήσει του $a$ ) , την $AD$ ... Σημ : Ο λέων απεβίωσε προσφάτως .. 1.png Έστω $\displaystyle{ AE//BD,\left( {E \i...

...Καλησπέρα στην νυχτερινή παρέα με ένα θέμα που πρέπει μάλλον να έχει συζητηθεί πάλι εδώ,αλλά επειδή το θεωρώ πολύ αξιόλογο το δημοσιεύω προς ευχαρίστηση όλων.... Αν $f:R\to R$συνεχής και γνήσια αύξουσα στο $R$ να δειχθεί ότι η εξίσωση $f(x)=-3x$ έχει μοναδική ρίζα στο $R$ Βασίλης Βασίλη καλησπέρ...

οι προβολές στην οικογένεια Simson.png Τα σημεία $\displaystyle{ A,B,C,D,P }$ ανήκουν σε κύκλο $\displaystyle{ \left( O \right) }$. Έστω $\displaystyle{ \left( {s_D } \right),\left( {s_C } \right),\left( {s_B } \right),\left( {s_A } \right) }$ οι ευθείες Simson του $\displaystyle{ P }$ ως προς τα $...

Τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABC , BDE$ , είναι τοποθετημένα όπως φαίνεται στο σχήμα . $M , N , K$ είναι τα μέσα των $AB , BE , DC$ . Δείξτε ότι το $MNK$ είναι ισόπλευρο. 2.png Έστω $\displaystyle{ Z,H }$ τα συμμετρικά του $\displaystyle{ A }$ ως προς τα $\displaystyle{ N,K }$ αντίστοιχα. Τότε τα τετράπλε...

Τριγώνου $\displaystyle ABC$ προεκτείνω τις πλευρές $BA , CA$ κατά τμήματα $AD , AE$ , ίσα και τα δύο με $BC$ . Κάνω το ίδιο και στις άλλες κορυφές . Δείξτε ότι τα προκύπτοντα σημεία $D,E,Z,H,K,L$ , είναι συγκυκλικά . 1.png Είναι $\displaystyle{ AE = AD = BC \Rightarrow \vartriangle AED }$ ισοσκελέ...

Βρείτε τη γωνία $\phi$ Θανάση και Στράτη καλησπέρα. Ας δούμε και μια "γεωμετρίζουσα" 1.png Θεωρούμε το περικύκλο $\displaystyle{ \left( {\rm O,R} \right) }$ του τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABD }$. Τότε $\displaystyle{ \widehat{AOB}\mathop = \limits^{\varepsilon \pi \kappa \varepsilon \nu ...

Στα άκρα της διαμέτρου $AB$ φέρω εφαπτόμενες . Σημείο $S$ κινείται επί του τεταρτοκυκλίου $\overset{\frown}{BE}$, και οι $AS , BS$ τέμνουν τις εφαπτόμενες στα $C , D$ . Οι $DC, AB$ τέμνονται στο $T$ .Αν $\widehat{BAS}=\phi$ δείξτε ότι $\widehat{BTS}=90^{o}-2\phi$ Θανάση αρκετά καλό θέμα!!! 1.png Έσ...

. Στις πλευρές $AB,BC$ τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα σημεία $D,E$, έτσι ώστε $CD = AE = 7$. Αν $A\widehat KC = {90^ \circ }\,(K \equiv CD \cap AE)$ και $AK = 4,\,KC = 5$, βρείτε το $\left( {DBE} \right)$. Καλησπέρα στην παρέα!!! Πάμε λίγο γεωμετρικά!!! 1.png Έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\...

Φίλε erxmer

Προφανώς το κοινό σημείο είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου και αποδεικνύεται όπως το λήμμα που έχω δείξει εδώ: viewtopic.php?f=22&t=20206.
Προσπάθησέ το και αν δεν τα καταφέρεις θα επανέλθω γιατί τώρα πρέπει να βγώ έξω

Φιλικά
Στάθης

x100.png Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ με $A\widehat BD = C\widehat BD = {16^ \circ }$, $A\widehat DB = {12^ \circ }$ και $B\widehat DC = {62^ \circ }$. Βρείτε τη γωνία $x = A\widehat CB$. Μιχάλη και πάλι την καλησπέρα μου 1.png Έστω $\displaystyle{ Ay \bot BD }$ και $\displaystyle{ M \equiv Ay \cap B...

area19.png Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ πλευράς $20$ και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $AEZK$ με $AE = 12$. Η πλευρά $EZ$ περνάει από το σημείο $B$ και η πλευρά $ZK$ τέμνει την $BC$ στο μέσο της $M$. Βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου $ABMK$. Μιχάλη καλησπέρα 1.png Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \va...

παραλληλόγραμμο και συνευθειακά!.png Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ ABCD }$. Στη διαγώνιο $\displaystyle{ BD }$ παίρνουμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{ P }$. Έστω $\displaystyle{ C^' }$ το συμμετρικό του $\displaystyle{ C }$ ως προς το $\displaystyle{ P }$. Έστω επίσης $\displaystyle{ C^'E...