Δίνεται συνάρτηση $f(x): kx^2\le f(x) \le x^2$ με $k,x \in (0,1)$ Να βρείτε το $\lim_{x\to 0^{+}}\cfrac{lnf(x)}{ln{x^3}}$ $\displaystyle{kx^{2}\leq f(x)\leq x^{2}\Rightarrow ln(kx^{2})\leq lnf(x)\leq lnx^{2}}$, Έχουμε ότι $\displaystyle{lnx^{3}<0}$ ,άρα, $\displaystyle{\frac{ln(kx^{2})}{lnx^{3}}\ge...

Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ,να αποδείξετε ότι:



Μετά από παρέμβαση του Λευτέρη

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2}\neq 0$, για τους οποίους ισχύει $\frac{z_{1}}{z_{2}}-\frac{z_{2}}{z_{1}}=i$. Να αποδείξετε ότι $|z_{1}|=|z_{2}|$. Μία διαφορετική αντιμετώπιση. Θέτουμε $\displaystyle{w=\frac{z_{1}}{z_{2}}}$ Η σχέση, γίνεται: $\displaystyle{w-\frac{1}{w}=i\Rightarrow w^{2}-1=i...

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η ανίσωση $\displaystyle{\frac{x-\sqrt{1-2x^2}}{x}\leq 1}$ Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι το $\displaystyle{[-\frac{\sqrt{2}}{2},0)U(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]}$ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις. 1) $\displaystyle{x\epsilon [-\frac{\sqrt{2}}{2},0)}$ $\displaystyle{x-\sqrt{1-2x...

Να λυθεί στο $\mathbb{R}$ η ανίσωση $\displaystyle{\sqrt{x^2-8x+15}+\sqrt{x^2+2x-15}>\sqrt{4x^2-18x+18}}$ Ενδιαφέρουσα άσκηση. Το σύνολο ορισμού της ανίσωσης είναι: $\displaystyle{(-\propto ,-5]U \left\{3 \right\} U[5,+\propto )}$ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: 1) $\displaystyle{x\epsilon (5,+\propto...

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $z$, για τους οποίους ο $z^{3}\in R$, με $z^{3}\geq 1$. Θέτουμε $\displaystyle{z=x+yi}$. $\displaystyle{z^{3}=(x+yi)^{3}=(x^{3}-3xy^{2})+(3x^{2}y-y^{3})i}$ $\displaystyle{(z^{3}\epsilon R,z^{3}\geq 1)\Leftrightarrow (3x^{2}y-y^{3}=0,x^{3}-3xy^{...

Εαν $\displaystyle{z \in C}$ και $\displaystyle{\left| {z - 5} \right| = 3}$ να υπολογιστεί το $\displaystyle{\left| {\frac{{4 - z}}{{4 + z}}} \right|}$ Ένας άλλος τρόπος: Θέτουμε $\displaystyle{z=x+yi}$ $\displaystyle{(x-5)^{2}+y^{2}=9\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=10x-16}$ $\displaystyle{\left|\frac...

Θεωρούμε τους κύκλους $C_{1}:x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ και $C_{2}:x^{2}+y^{2}+A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $M$ του επιπέδου που έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τους $C_{1}$ και $C_{2}$. Δεν ξέρω αν ο Γιώργος θέλει αυτή τη λύση ή κάτι άλλο. Έστω $\displaysty...

Θα ήθελα να μου επιτραπεί να θέσω για συζήτηση το ερώτημα: Ποια θα ήταν η σωστή απάντηση στο ερώτημα $B_3$ του θέματος $B$, ώστε να λάβει ο εξεταζόμενος την αντίστοιχη πλήρη βαθμολογία; Το ΘΕΜΑ Β΄ από το διαγώνισμα των Επαναληπτικών Εξετάσεων Γ΄ τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου, Πέμπτη 14-Ιουνίου 20...

Δείξτε ότι αν $ax^2+2bx+c<0\, (\forall)x\in\mathbb{R}$ τότε $a^2x^2+2b^2x+c^2>0;\,(\forall)x\in\mathbb{R}.$ Πηγή: http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=42&t=3504&start=0 Οι διακρίνουσες των τριωνύμων αντίστοιχα είναι: $\displaystyle{\Delta _{1}=4b^{2}-4ac=4(b^{2}-ac)}$ $\displaystyle{\Delta _{2}=4b^{...

Έστω δύο σταθερά σημεία $A$ και $B$ ενός επιπέδου. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων $M$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει $\vec{MA}^{2}+\vec{MB}^{2}=\lambda ^{2},\lambda \in R^{*}$. Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς με αρχή $\displaystyle{A(0,0)}$ και ${\vec{i}=\vec{AB}}$, άρα Β(1,0). Έ...

Να λυθεί η εξίσωση $(\sin x -1)(\cos x-1)+\sin x \cos x=0$. Φιλικά, Αχιλλέας Κάνοντας πράξεις και αντικαθιστώντας το $\displaystyle{1}$ με $\displaystyle{\sin ^2 x+\cos ^2 x,}$ η εξίσωση γράφεται ως $\displaystyle{(\sin x+\cos x)^2+\sin x+\cos x=0}$, δηλαδή ισοδύναμα $\displaystyle{(\sin x+\cos x)(...

Για ποιες τιμές του $\displaystyle{m}$ το κλάσμα $\displaystyle{\frac{{A\left( x \right)}}{{\Pi \left( x \right)}} = \frac{{{x^3} - 2m{x^2} + 76x - 8m - 32}}{{{x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 92x - 8m - 56}}}$ απλοποιείται; Ποια είναι τότε η απλοποιημένη μορφή του; $\displaystyle{{\frac{{A\le...

Να λυθεί στους πραγματικούς η εξίσωση ${x^2} \cdot \left( {x + 8} \right) \cdot \left( {x + 2} \right) = 5 \cdot \left( {9x - 4} \right)$ Η εξίσωση ορίζεται στο R. Μία διαφορετική προσπάθεια $\displaystyle{{x^2} \cdot \left( {x + 8} \right) \cdot \left( {x + 2} \right) = 5 \cdot \left( {9x - 4} \ri...

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=\ln (4^x-2^x)$ και $g(x)=\ln (2^x-2)+\ln 2$ Αφού βρούμε τα πεδία ορισμού θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $f(x)=g(x)$ Εγώ κάνω τα εξής αλλά φοβούμαι πως κάπου κάνω λάθος $\ln (4^x-2^x)=ln(2^x-2)+ln2$ $\ln (4^x-2^x)=ln[2(2^x-2)]$ $\ln (4^x-2^x)=ln(2*2^x-4)$ Eπειδή όμως η συνά...

Αν ο πίνακας $A$ είναι τετραγωνικός και αντιστρέψιμος και ισχύει ότι $I+A+A^{2}+...+A^{\nu }=O$ (όπου $O$ ο μηδενικός πίνακας) να δείξετε ότι $A^{-1}=A^{\nu }$ $\displaystyle{I+A+A^{2}+...+A^{\nu }=O\Rightarrow (I-A)(I+A+A^{2}+...+A^{\nu })=O\Rightarrow I-A^{\nu +1}=O\Rightarrow A^{\nu +1}=I\Righta...

Νομίζω ότι όταν δημοσιεύεται ένα διαγώνισμα, πρέπει να αναφέρεται το επίπεδο στο οποίο απευθύνεται και γιατί όχι να βλέπαμε και στατιστικά στοιχεία. Τα θέματα πολλών συναδέλφων κατά την ταπεινή μου γνώμη, δεν συμβαδίζουν με το σημερινό μαθητικό επίπεδο. Νομίζω ότι τα θέματα του Βασίλη είναι μέσα στη...

1. Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές των παραμέτρων $k,m$ έτσι ώστε η ισότητα: $k^{2011}x-m^{2}-2=m^{2010}x-2m+k^{2}+2k-2x$ να ισχύει για οποιαδήποτε πραγματική τιμή του $x$. Μία προσπάθεια μετά την άψογη λύση του irakleios. Η ισότητα ισχύει για οποιαδήποτε πραγματική τιμή του $x$, άρα θα ισχύει και γ...

2. Να λυθεί,για τις πραγματικές τιμές του $x$, η ανίσωση : $\frac{x-2007}{3}+\frac{x-2006}{4}+\frac{x-2005}{5}+\frac{x-2004}{6}<\frac{x-3}{2007}+\frac{x-4}{2006}+\frac{x-5}{2005}+\frac{x-6}{2004} .$ Μία διαφορετική απάντηση στην ωραία άσκηση του maths-!!!,μετά την ωραία λύση του Γιώργου. $\displays...

Αν $0<x<1$ και $\delta >0$, να δειχθεί ότι $\displaystyle{{{x}^{\delta }}\left| \,\ln x\, \right|\le \frac{1}{\delta e}$ Θεωρούμε τη συνάρτηση, $f(x)=x^{\delta }lnx+\frac{1}{\delta e}$ Διαπιστώνουμε ότι στο $e^{-\frac{1}{\delta }}$ παρουσιάζει ελάχιστο το $f(e^{-\frac{1}{\delta }})=0$ Δεν νομίζω ότ...