Ωραίες και οι δύο λύσεις ( Γιάννη και Στάθη ) με πλέον λιτή ( πάντων και πασών) του Στάθη .

Νίκος

Τρεις κάθετες.png Η χορδή $AB$ ενός κύκλου , έχει μέσο το $M$ και η μεσοκάθετός της τέμνει τον κύκλο στα $N,S$ . Σημείο $T$ κινείται μεταξύ των $S,B$ . Φέρω $NL \perp AT$ . Δείξτε ότι η $LM$ προεκτεινόμενη , τέμνει κάθετα την $NT$ . τρίτη κάθετος.png Έστω $H$ το (άλλο) σημείο τομής της $NL$ με το κ...

Έστω ισοσκελές τρίγωνο και το μέσο του . Σημείο του τμήματος είναι τέτοιο ώστε : .

Αν οι ευθείες τέμνονται στο , να δείξετε ότι .

Νίκος

Ταπείνωση χωρίς απώλειες.png Το σημείο $N$ διαιρεί την πλευρά $AB$ του δοσμένου τριγώνου $\displaystyle ABC$ σε τμήματα $AN=3 , CN=2$ . Εντοπίστε σημείο $S$ της $AB$ , ώστε αν η $SN$ τέμνει τον $x'x$ στο $T$ , να είναι $(ASN)=(NCT)$ . Καλημέρα . Γενίκευση. Έστω σταθερό τρίγωνο $ABC$ και σταθερό σημ...

Σε ισόπλευρο τρίγωνο και στις πλευρές του θεωρούμε τα σημεία τέτοια ώστε , .

Αν τα τέμνονται στο , να δείξετε ότι .

Νίκος

Ημιθεϊκή καθετότητα.png Με κέντρο την κορυφή $A$ , τετραγώνου $ABCD$ , γράφω τυχαίο τεταρτοκύκλιο $A\overset{\frown}{PS}$ . Το $BS$ τέμνει το τόξο στο $Q$ . Αν $M$ το μέσο του $SQ$ , δείξτε ότι : $\widehat{PMC}=90^0$ Ημιθεική καθετότητα.png Αν η $AM$ κόψει την $DC$ στο $T$θα είναι $\vartriangle ASB...

Γεινίκευση θεικής καθετότητας.png Σε τρίγωνο $ABC$ φέρνουμε το ύψος $AD$ και την $DK \bot AC$. Για το σημείο $M$ του $DK$ ισχύει : $\dfrac{{MD}}{{MK}} = \dfrac{{DC}}{{DB}}$. Δείξετε ότι $BK \bot AM$. Νίκος Το δυναμικό αρχείο με Δώρο πλήθος Εργαλείων για κάθε ενδιαφερόμενο. (Φτιαγμένα με πολύ μεράκι)

Ταπείνωση χωρίς απώλειες.png Το σημείο $N$ διαιρεί την πλευρά $AB$ του δοσμένου τριγώνου $\displaystyle ABC$ σε τμήματα $AN=3 , CN=2$ . Εντοπίστε σημείο $S$ της $AB$ , ώστε αν η $SN$ τέμνει τον $x'x$ στο $T$ , να είναι $(ASN)=(NCT)$ . Καλημέρα. Ταπείνωση χωρίς απώλειες.png Ας είναι $CT = a$ Θα πρέπ...

george visvikis έγραψε:

Ένα τρίτο.png

Στο εσωτερικό τριγώνου με υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε, και

. Να αποδείξετε ότι

Η λύση εδώ.

Φιλικά Νίκος

Ακριβώς 8.png Η ευθεία $y=x-1$ τέμνει τον $x'x$ στο σημείο $A$ . Άλλη ευθεία , η οποία διέρχεται από το $S(0,3)$ , τέμνει την $y=x-1$ στο $T$ και τον $x'x$ στο $B$ , ώστε $(TAB)=8$ . Κατασκευάστε την άλλη αυτή ευθεία . Προσπαθήστε και χωρίς χρήση συντεταγμένων ! Καλησπέρα σε όλους Στο δρόμο που χάρ...

Είναι όμοια.png Έστω δύο τρίγωνα $ABC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DEZ$ . Φέρνουμε τα ύψη τους $AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$. Αν δεχθούμε ότι ισχύουν : $B\widehat AC = E\widehat D\,Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{{BH}}{{HC}} = \dfrac{{ET}}{{TZ}}$ , να εξεταστεί αν τα τρίγωνα $ABC\,\,\kappa...

Μη αντιστρόφως ανάλογα.png Είναι γνωστό ότι μικρότερη χορδή έχει μεγαλύτερο απόστημα . Είναι η χορδή και το απόστημα ποσά αντιστρόφως ανάλογα ? Σε ημικύκλιο ακτίνας $R$ έχουμε πάρει χορδή $ST$ μήκους $x$. Κατασκευάστε παράλληλη χορδή $PQ$ μήκους $\dfrac{x}{2}$ . Κατασκευάστε εκείνο το ζεύγος χορδών...

Διαφορά γινομένων.png Η πλευρά $AD$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι το μόνο γνωστό στοιχείο του σχήματος . Τυχαίος κύκλος , ο οποίος διέρχεται από τα $A,D$ , τέμνει την $AB$ στο $S$ και την $AC$ στο $T$ . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης $AT\cdot AC-AS\cdot AB$ Καλησπέρα . Μια ακόμη άποψη . Δια...

Διαφορά γινομένων.png Η πλευρά $AD$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι το μόνο γνωστό στοιχείο του σχήματος . Τυχαίος κύκλος , ο οποίος διέρχεται από τα $A,D$ , τέμνει την $AB$ στο $S$ και την $AC$ στο $T$ . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης $AT\cdot AC-AS\cdot AB$ Καλησπέρα σε όλους. Διαφορά γινομ...

το πρόβλημα είναι τώρα αρκετά απλό που λύνεται ευκολότερα χωρίς εξίσωση (με κοινό νου). Αγαπητέ 369, για ξαναλύσε τώρα το πρόβλημα χωρίς χρήση εξίσωσης (με κοινό νου). Η λύση χωρίς εξίσωση είναι απλούστερη από ότι η λύση με εξίσωση. ευχαριστω παιδια! :D . Γιατί δεν κάνεις μια προσπάθεια με τρόπο χω...

Διαφορά γινομένων.png Η πλευρά $AD$ του παραλληλογράμμου $ABCD$ είναι το μόνο γνωστό στοιχείο του σχήματος . Τυχαίος κύκλος , ο οποίος διέρχεται από τα $A,D$ , τέμνει την $AB$ στο $S$ και την $AC$ στο $T$ . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης $AT\cdot AC-AS\cdot AB$ Καλησπέρα Εκτός φακέλου . Από τη ...

Σταθερή παράσταση.png Το σημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και το τμήμα $ST$ είναι κάθετο στην $AB$ . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο $S$ , τέμνει τις εφαπτόμενες στα άκρα της διαμέτρου , στα σημεία $A',B'$ . Δείξτε ότι η παράσταση : $t(a+b)= ST(AA'+BB')$ είναι σταθερή . Καλημέρα Θανά...

Μία γνωστή - όμορφη κατασκευή. Δοθέντων τεσσάρων σημείων του επιπέδου να κατασκευαστεί, με κανόνα και διαβήτη, τετράγωνο στο οποίο καθένα από τα σημεία αυτά ανήκει στο φορέα διαφορετικής πλευράς του. Κατασκευή τετραγώνου.png Παλιά ωραία άσκηση.Γεωμετρία $G. LEMAIRE$, σελίδα 93 Φιλικά Νίκος Άρση από...

Ομοια και ορθή.png Έστω δύο κύκλοι $(K)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L)$ τεμνόμενοι στα $A\,\,,\,B$. Ευθεία που διέρχεται από το $A$ τέμνει τον $(K)\,$ στο $E$ και τον $\,(L)$ στο $Z$. Από τυχαίο σημείο $S$ του $EZ$ φέρνουμε παράλληλη στην $BE$ που τέμνει την $BZ$ στο $T$ και παράλληλη στην $BZ$ που...

Δύο κύκλοι $(K,R)$ και $(\Lambda ,r)$ με $r<R$ εφάπτονται εσωτερικά στο σημείο $A$. Μία χορδή $B\Gamma$ του κύκλου $(K,R)$ εφάπτεται στον κύκλο $(\Lambda ,r)$. Να δείξετε ότι η $A\Delta$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{BA\Gamma }$. Καλημέρα σε όλους! Για την άσκηση-βασικό λήμμα ξέρω μία λύση με ομ...