Η αναζήτηση βρήκε 6227 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
Re: Ισότητα
Ζητείται να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{a,b,c>0 \wedge a+b+c=abc\implies \frac{2a}{1-a^2}+\frac{2b}{1-b^2}+\frac{2c}{1-c^2}=\frac{2a}{1-a^2}\frac{2b}{1-b^2}\frac{2c}{1-c^2}}$. Ισοδύναμα ζητείται να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{x,y,z>0 \wedge x+y+z=\pi \implies \tan x+\tan y+\tan z=\tan x \tan y \...
- Πέμ Ιούλ 07, 2022 2:52 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων
- Απαντήσεις: 97
- Προβολές: 15135
Re: Άρρητοι αριθμοί: Συλλογή ασκήσεων
Κάνω την αρχή.
. Ας είναι οι θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι
. Ας είναι οι θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι
- Πέμ Ιουν 30, 2022 7:24 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 658
Re: ΛΙΓΟ ΠΡΙΝ ΚΛΕΙΣΟΥΜΕ...
Ας αποδείξουμε την ισχυρότερη
- Τρί Ιουν 07, 2022 7:54 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Απόνερα πανελλαδικών
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1515
Re: Απόνερα πανελλαδικών
**************************************************** Ας μου επιτραπεί να προτείνω και την ανισότητα $x_1+x_2<\ln 9$. **************************************************** Και αυτό άμεσο από την ανισότητα λογαριθμικού-γεωμετρικού μέσου. :D Είναι $\displaystyle{x_1=\ln (3x_1), x_2=\ln (3x_2)}$, οπότε ...
- Κυρ Ιουν 05, 2022 5:27 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 555
Re: Ολοκλήρωμα ανεξάρτητο της παραμέτρου
Έστω $\displaystyle{F}$ μια αρχική της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{(0,+\infty).}$ Είναι $\displaystyle{F(ax)-F(a)=g(x)}$ για κάθε $\displaystyle{a>0,x>0}$. Παραγωγίζοντας ως προς $\displaystyle{a}$ λαμβάνουμε $\displaystyle{xF'(ax)=F'(a)}$ για κάθε $\displaystyle{a>0,x>0.}$ Για $\displayst...
- Παρ Ιουν 03, 2022 9:41 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ακτινικά εμφράγματα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 362
Re: Ακτινικά εμφράγματα
Ξεκινάω με την πρώτη.
Επειδή ισχύει , όπου το σημείο Nagel του τριγώνου, η αποδεικτέα γράφεται
Αυτή είναι άμεση συνέπεια της
Επειδή ισχύει , όπου το σημείο Nagel του τριγώνου, η αποδεικτέα γράφεται
Αυτή είναι άμεση συνέπεια της
- Τρί Μάιος 31, 2022 9:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: Ψευδής υπόθεση!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 885
Re: Ψευδής υπόθεση!
Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά. Όπως έδειξε ο Ορέστης, είναι $\displaystyle{a^ab^bc^c=1,}$ αλλά και $\displaystyle{abc=1.}$ Από αυτές προκύπτει $\displaystyle{a^{a-1}b^{b-1}c^{c-1}=1.}$ Όμως εύκολα μπορούμε να αποδείξουμε ότι για όλους τους $\displaystyle{x>0}$ ισχύει $\displaystyle{x^{x-1}\geq 1}...
- Τρί Μάιος 31, 2022 9:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Καλοκαιρινό μαθηματικό σχολείο
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1023
Re: Καλοκαιρινό μαθηματικό σχολείο
Υποθέτω ότι ο ερωτών δεν αναφέρεται σε φροντιστήρια κτλ., αλλά, όπως δηλώνει και ο τίτλος της δημοσίευσης, σε Μαθηματικά Σχολεία, όπως αυτά που διοργάνωνε η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία μέχρι και το έτος 2019. Τα έτη 2020, 2021 η πανδημία δεν επέτρεψε την πραγματοποίησή τους και από όσα γνωρίζω ούτε...
- Πέμ Μάιος 26, 2022 9:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά
- Θέμα: Ψευδής υπόθεση!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 885
Ψευδής υπόθεση!
Από τα μαθητικά μου χρόνια θυμάμαι την παρακάτω άσκηση: $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ Αν $\displaystyle{a,b,c>0}$, διαφορετικοί ανά δύο, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\log a}{b-c}=\frac{\log b}{c-a}=\frac{\log c}{a-b}\implies a^ab^bc^c=1.}$ $\displaystyle{\color{red}\rule{300pt}{5pt}...
- Κυρ Μάιος 22, 2022 6:58 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
- Θέμα: Σύγκριση αριθμών
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 562
Re: Σύγκριση αριθμών
Ας θυμηθούμε και ένα πρόβλημα από την Μαθηματική Ολυμπιάδα των Η.Π.Α. του έτους 1989:
Αν με
να συγκριθούν οι
Αν με
να συγκριθούν οι
- Τρί Μάιος 17, 2022 5:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Διωνυμικό άθροισμα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 871
Re: Διωνυμικό άθροισμα
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{(2n)!}{(k!)^2(((n-k)!)^2}=\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2\frac{(2n)!}{(n!)^2}=\binom{n}{k}^2\binom{2n}{n}.}$ Άρα το άθροισμα ισούται με $\displaystyle{\binom{2n}{n}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}^2,}$ αφού ισχύει $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}\binom{...
- Πέμ Μαρ 24, 2022 7:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Σύστημα από μακριά
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 469
Re: Σύστημα από μακριά
Αν και μπορούμε να ακολουθήσουμε συμβατικές μεθόδους (αντικατάσταση κτλ.) μια πιο γουστόζικη πορεία είναι η εξής: Ας είναι $\displaystyle{x=a^2, y=b^2 }$ με $\displaystyle{a,b>0}$. Το σύστημα γράφεται $\displaystyle{a+\frac{a}{a^2+b^2}=\frac{2}{\sqrt{3}},~~ b-\frac{b}{a^2+b^2}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt...
- Πέμ Μαρ 10, 2022 6:04 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1020
Re: Ημιτριγωνομετρική ανισότητα
Η ζητούμενη για γράφεται
Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη
Ας αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισχυρότερη
- Δευ Μαρ 07, 2022 12:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Τέλειος κύβος
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1211
Re: Τέλειος κύβος
Σαφώς δυσκολότερη είναι η γενικότερη εκδοχή της, χωρίς τη συνθήκη ο να είναι πρώτος.
Να βρεθούν οι ακέραιοι , ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Υποθέτω δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
Να βρεθούν οι ακέραιοι , ώστε ο να είναι τέλειος κύβος.
Υποθέτω δεν μπορούμε να αποφύγουμε τη χρήση αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
- Παρ Μαρ 04, 2022 8:21 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Διπλή ανισότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 430
Re: Διπλή ανισότητα
Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4-sx^3+px^2-qx+r}$, όπου $\displaystyle{s=a+b+c+d, p=ab+ac+ad+bc+bd+cd, q=abc+bcd+cda+dab, r=abcd.}$ και παρατηρούμε ότι $\displaystyle{f(i)f(-i)=16,}$ οπότε $\displaystyle{16=|f(i)|^2=|i^4-si^3+pi^2-qi+r|^2=(1-p+r)^2+(s-p)^2.}$ Επομέν...
- Κυρ Φεβ 27, 2022 7:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Με μια ματιά
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 280
Re: Με μια ματιά
Προφανώς ελάχιστο το στο .
- Δευ Φεβ 21, 2022 9:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1037
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Επίσης, ας παρατηρήσουμε ότι η ζητούμενη είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}\geq \sqrt{3}}$ ($\displaystyle{\color{red}\bigstar}$) καθώς είναι $\displaystyle{\boxed{\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{4R+r}{s}}}$. Από εδώ είνα...
- Δευ Φεβ 21, 2022 9:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ενδιαφέρον ελάχιστο
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 342
Re: Ενδιαφέρον ελάχιστο
Αντιμετωπίζεται και με σχεδόν γυμνασιακές γνώσεις: Πρόκειται για το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle{f(y)=my^2-2y+1, y>0}$ όπου $\displaystyle{m>1.}$ (Θέσαμε $\displaystyle{y=\sqrt{\frac{1}{m+1}}}$ και $\displaystyle{m=k-1}$) Φανερά είναι $\displaystyle{f(y)=m\left(y-\frac{1}{m}\right)^2+1-\fr...
- Παρ Φεβ 18, 2022 5:51 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 1037
Re: ΕΤΣΙ, ΓΙΑ ΝΑ ΥΠΑΡΧΕΙ...
Την παρακάτω ανισότητα είναι πολύ πιθανόν να την έχουμε ξαναδεί... Ας την προτείνω για να είμαι βέβαιος ότι κάποτε τέθηκε... Την χρειάστηκα πρόσφατα για την απόδειξη μιας άλλης ανισότητας. Σε τρίγωνο $ABC$ να αποδειχθεί ότι $ s\sqrt{3}\leq 4R+r $ Ας παρατηρήσουμε ότι η ανισότητα αυτή είναι ουσιαστι...
- Σάβ Ιαν 29, 2022 2:01 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 503
Re: Ανισότητα υπό συνθήκη (ΙΙ)
θέτουμε $\displaystyle{a+b=2z, b+c=2x, c+a=2y}$, οπότε η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{x^2+y^2+z^2\leq 1}$ και έχουμε να αποδείξουμε $\displaystyle{\sum \frac{(y+z-x)(z+x-y)+1}{z^2}\geq 12}$ δηλαδή $\displaystyle{\sum \frac{z^2-(x-y)^2+1}{z^2}\geq 12}$ η οποία γράφεται $\displaystyle{\sum \frac{1-...