Την σχέση $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy$ δεν την βλέπω Είμαι περίεργος για το πώς προκύπτει. Θα απαντήσω σε ξεχωριστή ανάρτηση. Έχει ενδιαφέρον νομίζω. Παρεμπιπτόντως η $\left(\frac{x}{y} \right )^y$ συμπεριφέρεται για ...

Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\sum_{n=1}^\infty\left(\frac xn\right)^n\right)^{1/x}}$ $e^{\frac{1}{e}}$. Η λύση αύριο. 1η ΛΥΣΗ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty }\left (\frac{x}{n} \right )^n=\int_{0}^{x}\left (\frac{x}{y} \right )^y dy=x \int_{0}^{...

Καλησπέρα σας.. Ένα θέμα για Β λυκείου σε φυλλάδιο με γνώσεις έως τις συντεταγμένες διανυσ. (παρ. 1.4 σχολικού) Θα ήθελα να δω τη λύση σας για το iv ερώτημα. Με εκτίμηση! Θεωρούμε τα σημεία Α ( 0, 2) , Β ( 8, 3) και Γ ( 3, 4) . i) Ν. δ. ό. αποτελούν κορυφές τριγώνου. ii) Nα βρεθούν τα μήκη των πλευ...

Υπολογίστε το ελάχιστο της παράστασης : $\sqrt{(2x+3)^2+144}+2\sqrt{(x-2)^2+36}$ Καλησπέρα KARKAR. Η παράστασή μας γράφεται $\sqrt{(2x+3)^2+12^2}+\sqrt{(2x-4)^2+12^2}$ Από Minkowski έχουμε minimum όταν $\frac{|2x+3|}{12}=\frac{|2x-4|}{12}\Leftrightarrow |2x+3|=|2x-4| \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$ ...

Αν $a \in \mathbb{R}$ να υπολογίσετε το όριο: $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[\sqrt{x^3} \left(\sqrt{x+a+1}+\sqrt{x+a-1}-2\sqrt{x+a} \right)} \right].$ $\sqrt{x+a+1}+\sqrt{x+a-1}-2\sqrt{x+a}= \frac{2\sqrt{x+a+1}\sqrt{x+a-1}-(2x+2a)} {\sqrt{x+a+1}+\sqrt{x+a-1}+2\sqrt{x+a}}$ $= \fra...

Έχω μια πολύ απλή απορία... Ποιος είναι ο γεωμετρικός μέσος των αριθμών $-5$ και $-20$; Το σχολικό βιβλίο λέει ο θετικός αριθμός $\sqrt{ac}$. Άρα 10; Ναι $10$ είναι. Σύμφωνα με το σχολικό η θετική λύση της $b^2=ac$ δηλαδή η $b=\sqrt{ac}$ ονομάζεται Γ.Μ. . Σε κάθε γεωμετρική πρόοδο, οποιοσδήποτε και...

Αν η σκάλα σπρώχνεται προς τον τοίχο αντί να απομακρύνεται από αυτόν, το ίδιο παράδοξο εμφανίζεται και η σκάλα δεν χάνει ποτέ την επαφή της με τον τοίχο. Άρα το πρόβλημα δεν βρίσκεται εκεί. Αν το δούμε γεωμετρικά έχουμε σημεία (x(t), y(t)) που ανήκουν σε έναν κύκλο ή καλύτερα σε τεταρτοκύκλιο. Την ...

Έστω τετράγωνο πλευράς και τετράγωνο πλευράς

στο εσωτερικό του. Το μπορεί να μετατοπίζεται οριζόντια και κατακόρυφα παραμένοντας

όμως μέσα στο και έχοντας τις πλευρές του παράλληλες προς αυτό.

Να βρεθεί το και το .

Καλησπερα, Εχω κολλησει σε ενα προβλημα στα μαθηματικα της γ λυκειου και θα ηθελα την βοηθεια σας. Δινεται συναρτηση f:R->R η οποια ειναι 2 φορες παραγωγισιμη και διαφορη του μηδενος, με f(0)=2 f'(0)=-2 f(1)=1 Να δειξετε οτι υπαρχει ξΕ(0,1) τετοιο ωστε f(ξ)*f'(ξ)+f''(ξ)=0 Ευχαριστω, Λεωνιδας Προσπά...

Από τον ορισμό της σύνθεσης συναρτήσεων ισχύει $D_{f\circ g}=\left \{ x\in D_{g}|g(x)\in D_{f} \right \}\neq \varnothing$, άρα για να είναι αυτό ίσο με $R$, θα είναι $D_{g}=R$ και $D_{f}=R$ . Οπότε αντίστοιχα και τα σύνολα τιμών αυτών των δύο θα είναι το $R$. Ή μήπως αυτό παρ' όλα αυτά δεν αποδεικν...

Χαίρεται. Προσπαθώ να λύσω μια άσκηση που ζητείται η απόδειξη πως το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $R$. Συγκεκριμένα λέει: Δίνεται συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει: $f(f(x)-2)=x$ α) Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι 1-1 β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της $f$ είναι το $R$ Το α) ε...

Να δοθεί παράδειγμα "εκθετικής συνάρτησης" της οποίας η $\mathcal{C}_f$ έχει ασύμπτωτες τις ευθείες $(\varepsilon_1): y=0$ στο $+\infty$ και την $(\varepsilon_2):y=-2x-1$ στο $-\infty$ και η εφαπτομένη αυτής στο $\mathrm{A}(0, 1)$ διέρχεται από το σημείο $\Gamma(1, 0)$ και σχηματίζει με τον άξονα $...

Στην άσκηση 7 Β ομάδας του σχολικού βιβλίου στον ρυθμό μεταβολής, εμφανίζεται το «παράδοξο» το πάνω μέρος της σκάλας να αποκτά άπειρη ταχύτητα. Υπάρχει κάποια φυσική ερμηνεία για αυτό; Ναι υπάρχει. Απλά τέτοια κίνηση δεν υπάρχει από φυσική σκοπιά. Το πρόβλημα είναι λάθος θα σου πει ένας φυσικός. Η ...

3o ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ



Όμως

Επομένως

Ευχαριστώ πολύ κ.Γιώργο.Ακόμα μια απορία: Στην διαδικασία εύρεσης της αντίστροφης παίρνουμε τους περιορισμούς του y ώστε η εξίσωση f(x)=y να έχει λύση ως προς x. Πότε ελέγχουμε αν η λύση αυτή ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και πότε όχι;Παρατηρώ ότι κάποιες φορές είναι περιττό. Λύστε την σωστά με ισ...

Έστω $f:\left ( 0,+\infty \right )\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα: (i)$f(\sqrt{xy})\leq \frac{1}{2}\left[f(x)+f(y)\right ],\forall x\forall y\in \left ( 0,+\infty \right )$ (ii)η συνάρτηση$g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ώστε $g(t)=f(e^{t}),\forall t\in \ma...

Να αναλυθεί το πολυώνυμο σε γινόμενο δύο τεταρτοβάθμιων πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές.

Επαναφέρω μετά από πολύ καιρό... Μπορεί η άσκηση 6 να λυθεί με άλλους τρόπους χωρίς αυτό το υπέροχο τεχνασμα? Καλησπέρα. $x^4+(2-x)^4=34\Leftrightarrow x^4+(2-x)^4-34=0\Leftrightarrow 2x^4-8x^3+24x^2-32x-18=0$ $\Leftrightarrow x^4-4x^3+12x^2-16x-9=0\Leftrightarrow \left (x^4-4x^3+4x^2 \right )+ \le...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Πέμ Νοέμ 01, 2018 10:53 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑

Πέμ Νοέμ 01, 2018 10:50 am

Γιατί και όχι ;

Λάμπρο, και εγώ την ίδια απορία έχω. Η απάντηση είναι μάλλον "για να μπερδέψουμε τους μαθητές" σε
αντιδιαστολή με την Μαθηματική λιτότητα.

Καλημέρα κ.Λάμπρου.