Υπολογισθήτω : $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}{\rm Ci}(na)}{n^2}}$ όπου $0 \leq a \leq 2\pi$. Για $\displaystyle{ - \pi \le a \le \pi }$ βρίσκω $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}Ci\left( {n \cdot a} \right)}}{{{n^2}}...

Δείξατε ότι $\displaystyle{\int_{-\infty}^{0} e^x \log^2 x \, {\rm d}x=\gamma^2 -2 i \gamma \pi -\frac{5\pi^2}{6}}$ όπου $\gamma$ η σταθερά των Euler - Mascheroni. Θεωρούμε γνωστούς τους μετασχηματισμούς Laplace http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/laplace5.pdf : $\displaystyle{\int\limit...

Δείξατε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\infty} \frac{(x^2-4) \sin 2x}{x(x^2+4)} \, {\rm d}x = \left ( \frac{1}{e^4} - \frac{1}{2} \right ) \pi }$ Θα ήθελα να δω μία λύση με πραγματική ανάλυση κυρίως με μετασχηματισμούς Laplace. Με καθαρή Πραγματική Ανάλυση Λήμμα 1: $\displaystyle{\int\limits_0^\infty...

Τόλη καλημέρα. Γνωρίζω ότι από αυτό το ολοκλήρωμα προκύπτει η φόρμουλα του Kummer . Γνωρίζω επίσης την στοιχειώδη απόδειξη της φόρμουλας, όπου αντιμετωπίζεται με διαφορετικό τρόπο το συγκεκριμένο θέμα. Σκέφτηκα να μην παραθέσω απλά έναν σύνδεσμο της απόδειξης, αλλά να δοθεί και και μια άλλη προοπτι...

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\mathcal{J}_n = \int_0^1 \log \Gamma (x) \sin (2 n \pi x) \, {\rm d}x}$ Από εδώ http://www.math.titech.ac.jp/~tosho/Preprints/pdf/128.pdf γνωρίζουμε την φόρμουλα του Kummer : $\displaystyle{\log \Gamma \left( x \right) = \frac{1}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^...

Δειχθήτω: $\displaystyle{\int_0^{\infty}\ {\rm Li}_2 \left(e^{-\pi x}\right)\arctan x\,{\rm d}x =\frac{\pi^2}{18} - \frac{3 \zeta(3)}{8}}$ Κάποια λήμματα .. $\displaystyle{L1:\quad \int\limits_0^\infty {{e^{ - \pi nx}} \cdot arc\tan x\;dx} = \frac{{ - 1}}{{n \cdot \pi }}\int\limits_0^\infty {{{\lef...

Θέλω να ρωτήσω , εσάς που είσαστε έμπειροι . Υπάρχει περίπτωση φοιτητής που παρακολουθεί διαβάζει 2 ώρες κάθε μέρα , αλλά δεν έχει ειδικό χάρισμα , να μπορεί να λύσει τέτοια θέματα και να πάρει στην ώρα του πτυχίο ; Ευχαριστώ . Εκτίμησή μου είναι πως το συγκεκριμένο θέμα (που ασφαλώς δεν λύνεται αρ...

Δείξατε ότι: $\displaystyle{\int_0^1 \frac{\log(1+x)}{(1+x)\sqrt{x}}\, {\rm d}x = \pi \log 2 - \mathcal{G}}$ :no: :no: Περίπου .. αλλιώς (τέλος πάντων) .. $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\frac{{\log \left( {1 + x} \right)}}{{\left( {1 + x} \right)\sqrt x }}dx} \mathop { = = = = }\limits^{x \to {x^2...

Έστω $\mathbb{N} \ni s \geq 2$ και έστω $s$ άρτιος. και ας δηλώσουμε τον διλογάριθμο με ${\rm Li}_2$ και το τριλογάριθμο με ${\rm Li}_3$. Τότε δείξατε ότι $\displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{x^{s/2-1}{\rm Li}_2(-x)}{1+x^s}\, {\rm d}x}=- \frac{\pi^3}{4} \left( \frac1{3 s}+ \frac1{ s^3}\right)$ $\di...

Καλησπέρα σας ! Πώς μπορώ να αποδείξω ότι αν μια συνάρτηση $f$ είναι αναλυτική κατά μήκος και στο εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης $C$ και $z_{0}$ είναι ένα σημείο στο εσωτερικό της $C$, τότε ισχύει ότι $\int \frac{f'(z)}{z-z_{0}}dz=\int \frac{f(z)}{(z-z_{0})^{2}}dz$ ;; ευχαριστώ πολύ ! $\displayst...

Έστω $n \in \mathbb{N}$. Να υπολογιστεί: $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} \int_0^1 x^{2n} \log(2-x) \, {\rm d}x}$ $\displaystyle{S = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{{2^n}}}\int\limits_0^1 {{x^{2n}}\log \left( {2 - x} \right)dx} } = \int\limits_0^1 {\log \left( {2 - x} \right)\...

Tolaso J Kos έγραψε:Εγώ έκανα Mellin.

Mellin .. .. σκληρά Μαθηματικά ..

Δείξατε ότι: $\displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{\log t (1- \cos t)}{t^2} \, {\rm d}t=\frac{\pi}{2}(1-\gamma)}$ Με αντίστροφους μετασχηματισμούς Laplace (κάπως αναλυτικά) .. χμ .. είναι άραγε βαρύ εργαλείο; Γνωστές σχέσεις : 1) Αν $\displaystyle{\int\limits_0^\infty {F\left( t \right) \cdot {e^{ -...

Έστω $k^2 \leq n < (k+1)^2$. Έχουμε δύο περιπτώσεις: ................. Ωραία Ραφαήλ. Όντως το κλειδί είναι να ελέγξουμε τις τιμές του $\displaystyle{n}$ για $\displaystyle{{k^2} \le n < {\left( {k + 1} \right)^2}}$ . Δεν ήταν πολύ δύσκολη, απλά μου άρεσε ότι αυτή η ακολουθία εκφράζει όλους τους μη ...

Για κάθε $\displaystyle{a \in R}$ να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\int\limits_0^a {\;\left[ x \right] \cdot \left[ {a - x} \right]dx} = \frac{{a \cdot \left[ a \right] \cdot \left( {\left[ a \right] - 1} \right)}}{2} - \frac{{\left[ a \right] \cdot \left( {{{\left[ a \right]}^2} - 1} \right)}}{3}}...

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$-οστός αρμονικός όρος. Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\mathcal{S} = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_{2n+1}}{2^n (2n+1)}}$ Με μία γρήγορη υπολογιστική ματιά που του ριξα μάλλον τους πολυλογαρίθμους δε τους γλιτώνουμε. :yes3: :yes3: $\displaystyle{\sum\limi...

Μου προέκυψε τυχαία .. το βρήκα συναρπαστικό. Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {L{i_3}\left( {{e^{ - 2 \cdot n \cdot \pi }}} \right)} = \frac{{7 \cdot {\pi ^3}}}{{360}} - \frac{1}{2} \cdot \zeta \left( 3 \right)}$ :) όπου $\displaystyle{L{i_3}\left( x \right) = \sum\limit...