Πρόβλημα 2: Δίνονται θετικοί ακέραιοι αριθμοί $n, m$ για τους οποίους ισχύει ότι $\displaystyle n(4n+1)=m(5m+1)$ (α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά $n-m$ είναι τέλειο τετράγωνο κάποιου θετικού ακεραίου. (β) Να βρείτε ένα ζευγάρι θετικών ακεραίων $(n, m)$ για τους οποίους ισχύει η παραπάνω σχέση. (α) Π...

Εξαιρετικά ΔΩΡΕΑΝ μαθήματα για Python (και όχι μόνο) προσφέρει και το "Mathesis" με τα μαθήματα Εισαγωγή στην Python Προχωρημένος προγραμματισμός με Python Το "Mathesis" δημιουργήθηκε το 2015 ως ένα ιδιαίτερο Τμήμα των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης και λειτουργεί από το Ίδρυμα Τεχνολογίας κι Έρευν...

Ελάχιστα διαφορετικά από τον κ. Λάμπρου (ο οποίος για να κάνει σχολική τη λύση δεν ανέφερε το θέωρημα Darboux ). Μια και είμαστε όμως στα θέματα με απαιτήσεις και επειδή η απόδειξη του θ. Darboux μπορεί να γίνει με σχολική ύλη (βλέπε π.χ. στην παραπάνω παραπομπή), μπορούμε να κάνουμε τα εξής: Αν η $...

Πολλές ευχές για χρόνια γεμάτα υγεία κι ευτυχία στους πολλούς και εκλεκτούς συναδέλφους και φίλους που γιορτάζουν σήμερα!! Ειδικότερα στους Νίκο Μαυρογιάννη, Νίκο Φραγκάκη, Νίκο Ζανταρίδη, Νίκο Κατσίπη, Νίκο Ιωσηφίδη, , Νίκο Αθανασίου, Νίκο Κυριαζή, Νίκο Τσιάλα, Νίκο Κολλιόπουλο. Αλέξανδρος Συγκελάκης

Πολλές ευχές στα εκλεκτα μέλη της όμορφης παρέας μας! Ιδιαίτερες ευχές στον αγαπητό και ακούραστο εργάτη των μαθηματικών Μιχάλη Λάμπρου αλλά και στους φίλους Μιχάλη Νάννο, Μιχάλη Τσουρακάκη και Στράτη Αντωνέα.

Αλέξανδρος

Α Λυκείου 3 3) Αφού η $A\Gamma$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\angle{BA\Delta}$ άρα από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε $\dfrac{\Gamma B}{\Gamma\Delta}=\dfrac{AB}{A\Delta}$ και αφού $AB=A\Gamma$ και $BE=\Gamma\Delta$ άρα η προηγούμενη γράφεται: $\dfrac{\Gamma B}{BE}=\dfrac{A\Gamma}{A\Delta}$ κι επειδή τα ...

Α Λυκείου 2) Αφού ο αριθμός $N$ είναι πολλαπλάσιο του $8$ (άρα και του $4$), πρέπει ο αριθμός $\overline{1\beta}$ να είναι πολλαπλάσιος του $4$ που σημαίνει ότι $\beta=2$ ή $\beta=6$. Αν $\beta=2$ τότε πρέπει $\alpha = 1$ και ο αριθμός $112$ δεν είναι πληροί τις συνθήκες του προβλήματος. Αν $\beta=6...

Καλησπέρα σε όλους τους φίλους! Ωραίο κι ενδιαφέρον το ερώτημα του Νίκου. Θα πρόσθετα και το ότι (συνεχίζω την αρίθμηση του Νίκου): 6) Το $G$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου αν και μόνο αν ισχύει $\overrightarrow{GH}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{OH}$ όπου $O$ και $H$ το περίκεντρο και το ορθόκεντρο ...

Αγαπητοί φίλοι σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας και σας ανταποδίδω ευχόμενος να έχουμε όλοι την υγειά μας και να επιστρέψουμε σύντομα στις παλαιότερες προ-covid εποχές! Να ευχηθώ επίσης χρόνια πολλά και στον συνονόματο Αλέξανδρο Κουτσουρίδη και σε όλους τους (συν)εορτάζοντες! Στους συναδέλφους ε...

Πολλά πολλά συγχαρητήρια στους μαθητές μας της Ελλάδας και της Κύπρου για άλλη μία εξαιρετική επίδοση! Μάλιστα είναι διπλή η χαρά με το χρυσό μετάλλιο που πήρε η Κύπρος και καταλαβαίνω απόλυτα το Σωτήρη για την συγκίνηση, τη χαρά και τη δικαίωση των κόπων της ΚΥΜΕ όλα αυτά τα χρόνια! Μπράβο σε όσους...

Παραθέτω τα προβλήματα του χθεσινού διαγωνισμού και εύχομαι καλή επιτυχία στα παιδιά που εκπροσωπούν την Ελλάδα και την Κύπρο! Καλή δύναμη στον αρχηγό, υπαρχηγό και observer των αποστολών μας για τη σημερινή μέρα της διόρθωσης! Πρόβλημα 1 Έστω $n$ ($n \geq 1$) ένας ακέραιος. Θεωρούμε την εξίσωση $\d...

Προσοχή στο Δ4. Η φ δεν δίνεται παραγωγισιμη και χρειάζεται περιπτώσεις για το αν είναι παραγωγισιμη ή όχι στο $x_0$. :) Αν δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ τότε το $x_0$ είναι κρίσιμο σημείο. Αν είναι παραγωγισιμη στο $x_0$ τότε εύκολα προκύπτει από το θεώρημα Fermat ότι και πάλι είναι κρίσιμο σημε...

Καλημέρα σε όλους, Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές του διαγωνισμού! Τα θέματα αυτά αντικαθιστούν και τον Προκριματικό και γι' αυτό δε μπορούν να δημοσιοποιηθούν πριν από την επόμενη IMO καθώς ενδέχεται να περιέχουν προβλήματα μέσα από τη Shortlist των προβλημάτων τα οποία μπορεί να χρησι...

Καλημέρα σε όλους τους φίλους, Θυμάμαι το θέμα αυτό ως μαθητής ακόμη. Είναι από τον Διαγωνισμό Πόλεων του 1995-1996 (Tournament of Towns, εδώ και τα προβλήματα στα Ρωσικά: https://www.turgor.ru/en/problems/allproblems.php ) και το οποίο τέθηκε ως πρόβλημα στην Α-Β Λυκείου την παραπάνω σχολική χρονιά...

Και πάνω από όλα ήταν ο καλύτερος μπαμπάς του κόσμου όλου Τάνια καλωσόρισες στο mathematica! Ένα τόπο συνάντησης εξαιρετικών συναδέλφων μαθηματικών από όλη την ελληνική (και όχι μόνο) επικράτεια! Είναι αντίστοιχος με εκείνο που είχε σε μικρογραφία ο πατέρας σου στο βιβλιοπωλείο κάθε βράδυ μετά τις ...

Στον αγαπητό συνάδελφο και φίλο Βαγγέλη Μουρούκο και στον Βαγγέλη Παπαπέτρου, τις θερμότερες ευχές μου για χρόνια πολλά με υγεία!!

Χρόνια πολλά στην Ελλάδα μας...

Αλέξανδρος

1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι τρεις φυσικοί αριθμοί: δυο δεκαψήφιοι αριθμοί $a$ και $b$, καθώς και το άθροισμά τους $a+b$. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός περιττών ψηφίων που μπορεί να είναι γραμμένος στον πίνακα; (Ι. Μπογκντάνοβ, Π. Κοζέβνικοβ) Αρχικά το άθροισμα $a+b$, δύο δεκαψήφιων αριθμών μ...

Καλημέρα σε όλους, Ένα ενδιαφέρον θέμα το οποίο μπορεί να "γεννήσει" ενδιαφέρουσες ασκήσεις: Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x)=a^x$ και $g(x)=\dfrac{\ln{x}}{\ln{a}}$ με $a>1$. (Στην ουσία πρόκειται για τη συνάρτηση $\log_a{x}$ αλλά την έγραψα έτσι για να είναι εντός ύλης της Γ Λυκείου όπου οι μόνες λογα...

Έστω $a, b, c$ οι ρίζες της εξίσωσης $x^3-x-1=0$. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\frac{1-a}{1+a}+\frac{1-b}{1+b}+\frac{1-c}{1+c}$ Λίγο διαφορετικά. Η παράσταση $A$ είναι ίση με $A=-3+2\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right) = -3+2\dfrac{(1+a)(1+b)+(1+b)(1+c)+(1+c)(1+a)}{...

2nisic έγραψε: ↑

Τετ Φεβ 10, 2021 4:07 pm

Αν
Αδύνατη με


Αν μοναδική λύση η

Θα μπορούσες να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου; Η παραπάνω απέχει πάρα πολύ από το να μπορεί να θεωρηθεί ως λύση και σίγουρα δε θα έπαιρνε πάρα ελάχιστες έως καθόλου μονάδες σε επίπεδο διαγωνισμών.

Αλέξανδρος