Η αναζήτηση βρήκε 342 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Απρ 24, 2020 10:31 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
- Θέμα: Σημεία τομής δύο παραβολών
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 2895
Re: Σημεία τομής δύο παραβολών
Βγαίνει με κανόνα προσήμων του συν κάποιο casework νομίζω
- Κυρ Απρ 19, 2020 8:06 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: EGMO 2020
- Απαντήσεις: 15
- Προβολές: 2964
Re: EGMO 2020
Για την 3. Αν προεκτείνουμε τις πλευρές του εξαγώνου,φτιάχνουμε τα ισόπλευρα (πρώτη συνθήκη) $XYZ,X'Y'Z'$-$X\equiv AB\cap EF,X'\equiv AF\cap BC$ -ωρολογιακά,$X'XY'YZ'Z$. Από τη δεύτερη συνθήκη,το σημείο τομής των διχοτόμων (έστω $I$) έχει ίδιες τριγραμμικές ως προς τα $2$ τρίγωνα,και επειδή σε ισόπλ...
- Παρ Απρ 17, 2020 4:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 1356
Re: Τρίκυκλος γεωμετρικός τόπος
Το είναι το σημείο του εγγράψιμου (τεμνόμενου) τετραπλεύρου .
Αν το θα ανήκει στη διαγώνιο και επιπλέον θα είναι κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία εγγράψιμων τετραπλεύρων).
Αν το θα ανήκει στη διαγώνιο και επιπλέον θα είναι κάθετες κλπ.(γνωστό λήμμα για σημεία εγγράψιμων τετραπλεύρων).
- Πέμ Απρ 16, 2020 8:13 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Πάνω στα μέσα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 939
Re: Πάνω στα μέσα
Καλησπέρα.Έστω $X\equiv AB\cap bis(E\angle),Y\equiv CD\cap bis(E\angle),Z\equiv AD\cap bis(S\angle),W\equiv BC\cap bis(S\angle)$.Με ένα απλό κυνήγι λόγων το $XYZW$ είναι ρόμβος.Θέμε να δείξουμε ότι το κέντρο του ανήκει στην ευθεία $Newton-Gauss$ του $ABCD$.Αυτό γίνεται με το Θεώρημα των ίσων λόγων γ...
- Τρί Απρ 14, 2020 9:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
- Θέμα: Ισοτομικές συγκλίσεις...
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 2136
Re: Ισοτομικές συγκλίσεις...
1.Είναι γνωστό ότι τα $A_{1},A_{1}',B_{1},B_{1}',C_{1},C_{1}'$ είναι ομοκωνικά. Έστω $X_{1}\equiv B_{1}C_{1}' \cap B_{1}'C_{1}$ και κυκλικά τα $Y_{1},Z_{1}$. Από Πάππο (ή $Pascal$) στο $B_{1}'C_{1}A_{1}'B_{1}C_{1}'A_{1}$ τα $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ είναι συνευθειακά,οπότε οι πολικές τους είναι συντρέχουσ...
- Δευ Απρ 06, 2020 2:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 2020
Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Μια σύντομη για την 4.
Παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς το βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των πως και επομένως αρκεί .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
Παίρνοντας το συμμετρικό του ως προς το βλέπουμε λόγω ισοτομικότητας των πως και επομένως αρκεί .Είναι όμως στο σχήμα του Προδρόμου από συμμετρική αντιστροφή που δίνει το ζητούμενο
- Τρί Μαρ 31, 2020 8:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 2625
Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Μια σύντομη υπενθύμιση ορισμών (αλά Google Translate :lol: )-αν και κάποιοι από τους παρακάτω δεν είναι οι επίσημοι,είναι αυτοί που βολεύουν για τα παραπάνω: Προβολικότητα μεταξύ δύο σημειοσειρών (=σειρών σημείων) σε ευθείες $l_{1},l_{2}$ είναι μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση $f$ που διατηρεί το Διπλ...
- Τρί Μαρ 31, 2020 2:07 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 2625
Re: Ορθοκεντρικό εξαγόμενο 7
Βρήκα μια με αρκετή Προβολική που όμως κάνει τη δουλειά: vittassdsko.png Έστω $X \equiv E'E''\cap F'F'',Y \equiv D'D''\cap F'F'',Z \equiv D'D''\cap E'E''$ και $X_{1}\equiv AB\cap YZ,X_{2}\equiv AC\cap YZ,Y_{1}\equiv BC \cap XZ,Y_{2}\equiv BA\cap XZ,Z_{1}\equiv AC\cap XY,Z_{2}\equiv BC\cap XY$ Τότε α...
- Δευ Μαρ 30, 2020 1:12 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
- Απαντήσεις: 11
- Προβολές: 1376
Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
4.Επί ,πλην και στα δύο μέλη και καταλήγει στην που ισχύει από (είναι πχ.)
- Δευ Μαρ 30, 2020 12:39 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1391
Re: Τεστ Εξάσκησης (36), Μικροί
4. Έστω ότι μένει ο $k$ στο τέλος. Κοιτάμε τα σύνολα από μέσα προς τα έξω και παρατηρούμε το εξής: Για κάθε $i$ που διαιρεί το $k$ και μόνο για αυτά τα $i$,όταν φτάσουμε στο $A_{i}$ η κατάσταση ( ύπαρξη ή μη) του $k$ στο μέχρι τότε σύνολο αλλάζει.Τελικά,για να μείνει το $k$ στο τέλος ,πρέπει να έχει...
- Παρ Μαρ 27, 2020 5:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1436
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Γεια σας κύριε Βήττα. Μας λείψατε :geek: :lol: Ελπίζω να'στε μια χαρά. Μια λύση ακόμη: Έστω $A'\equiv AD\cap (K)$. Κινούμε το $E$ στον κύκλο του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα $a$. Παρατηρούμε ότι και το $Q$ κινείται στον κύκλο του με την ίδια ταχύτητα (χορδής και εφαπτομένης στο $D$),όπως και το $Z$ μ...
- Πέμ Μαρ 26, 2020 12:05 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Βάση δακτυλίου ακεραίων
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 6408
Re: Βάση δακτυλίου ακεραίων
Όπα μισό. Νομίζω δεν ισχύει αυτό για δακτύλιους. Αν πχ. $K=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ τότε ο δακτύλιος των ακεραίων του $K$ έχει βάση την $\left \{1,\frac{\sqrt{5}+1}{2} \right \}$ και όχι την $\left \{ 1,\sqrt{5} \right \}$,παρότι το ελάχιστο πολυώνυμο του $\sqrt{5}$ υπέρ του $\mathbb{Q}$ είναι το $x^2-...
- Πέμ Μαρ 26, 2020 11:00 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 6457
Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
Είναι το https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://mathworld.wolfram.com/FermatsSandwichTheorem.html&ved=2ahUKEwjfhfeY4rfoAhWLShUIHSJ2CXUQFjAAegQIAhAB&usg=AOvVaw0wTAazYoa7PTv6XFE5jQVb&cshid=1585212933768. Από ότι φαίνεται δεν την είχε λύσει ο ίδιος. Μάλιστα στη Wikipedia λέει ότι ...
- Τετ Μαρ 25, 2020 8:47 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 6457
Re: Διοφαντική εξίσωση με κύβο
Να αποδειχθεί ότι η Διοφαντική εξίσωση $\displaystyle{ y^2 = x^3 - 2, }$ έχεις λύσεις τις $(x,y) = (3,\pm 5)$. Νομίζω είναι κλασική και οφείλεται στον $Fermat$. Αντιμετωπίζεται με (σχετικά) στοιχειώδη Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών.Την αφήνω όποιος θέλει να δοκιμάσει Edit.Βασικά όπως είναι η εκφώνηση,αρκ...
- Δευ Μαρ 23, 2020 10:26 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Αθροίσματα τετραγώνων
- Απαντήσεις: 29
- Προβολές: 10478
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Μα δεν έκανα κάτι περίεργο:Η ισότητα τιμών δίνει (και με τη ) ισότητα πολυωνύμων/συντελεστών.Αν οι πίνακες είναι συμμετρικοί (το παρέλειψα πλήρως παραπάνω) παίρνουμε -αυτό που θέμε.
Αν πάλι δεν είναι,παίρνουμε .
Αν πάλι δεν είναι,παίρνουμε .
- Δευ Μαρ 23, 2020 12:12 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Διοφαντική
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1144
Re: Διοφαντική
$Mod 360$ έχουμε: $4^x\equiv 4,(16,64,256,304,136,184) mod 360$ (στην παρένθεση οι κλάσεις που επαναλαμβάνονται) $3^y\equiv 3,(9,27,81,243) mod 360$ (ομοίως) $7^z\equiv (7,49,343,241,247,289,223,121,127,169,103,1) mod 360$ (ομοίως). Βλέπουμε εύκολα ότι η εξίσωση δεν μπορεί να ισχύει $mod 360$ για κλ...
- Κυρ Μαρ 22, 2020 4:12 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1888
Re: Τεστ Εξάσκησης #7-ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ
Είναι άμεση εφαρμογή και της "Ισοπτικής Υπερβολής" που έχω χαρακτηρίσει στο μερικές φορές..
- Κυρ Μαρ 22, 2020 12:25 am
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
- Θέμα: Αθροίσματα τετραγώνων
- Απαντήσεις: 29
- Προβολές: 10478
Re: Αθροίσματα τετραγώνων
Χάνω κάτι ή δεν περιορίζεται σε quadratic forms; Ισχύει νομίζω για τυχαία πολυώνυμα $n$ μεταβλητών. Η απόδειξη σχετικά απλή με επαγωγή (για $n=1$ το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας,και από κει και πέρα γράφουμε το Πολυώνυμό μας ως $q_{1}(x_{1},x_{2},..x_{n-1})x_{n}^k+q_{2}(x_{1},x_{2},..x_{n-1})x_{n...
- Πέμ Μαρ 19, 2020 12:46 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι
- Απαντήσεις: 9
- Προβολές: 1516
Re: Τεστ Εξάσκησης (12), Μεγάλοι
Εναλλακτικά μα ισοδύναμα για το 2: Παίρνουμε ένα βέλτιστο configuration,ένα δηλαδή με το ελάχιστο περίσσευμα και έστω ότι αυτό είναι μη μηδενικό.Έστω ότι περισσεύει ένα καρπούζι μάζας $W$. Τότε αφού δεν μπορούμε να το προσθέσουμε σε κανένα φορτηγό,έχουμε από υπόθεση (όπως παραπάνω) $W>6$. Έτσι: Από ...
- Τετ Μαρ 18, 2020 7:23 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Κυρτή Ανάλυση
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 835
Re: Κυρτή Ανάλυση
Έστω $(a_{1},a_{2},..a_{n})$ ένα σημείο με $\left | a_{i} \right | \leq 1 \forall i$. Έστω $S=\left \{ \pm 1 \right \}^{n}$ το σύνολο των σημείων του αριστερού μέλους. Θεωρούμε τα σημεία $A_{1}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},1),A_{2}=(a_{1},a_{2},..,a_{n-1},-1)$. Από επαγωγική υπόθεση μπορούμε να γράψουμε ...