Το πρόβλημα ανάγεται στη μεγιστοποίηση του $\displaystyle 2(SKM)=x\sqrt{x(4-x)}$ Έστω $\displaystyle f(x)=x\sqrt{x(4-x)}$ . Τότε $\displaystyle {f}'(x)=\frac{-2{{x}^{2}}+6x}{\sqrt{-{{x}^{2}}+4x}}$ , οπότε το μέγιστο επιτυγχάνεται για $\displaystyle x=3$ και είναι ίσο με $\displaystyle 3\sqrt{3}$. Το...

Στην αρχή της παραγράφου 3.16 , υποθέτει ότι

Μια διαφορετική αντιμετώπιση στο πρώτο ερώτημα : Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle a,b,c>1$ και $\displaystyle {{a}^{2}}=bc$ Τότε $\displaystyle 2\log a=lob+\log c\Rightarrow 4\log a=2\log b+2\log c$ Θέτουμε $\displaystyle \log a=x,\log b=y,\log c=z$ Έτσι θέλουμε : $\displaystyle 4x=2y+2z\Rightarrow ...

14 χρόνια πέρασαν από το "time to move on" .
Χρόνια πολλά

Δίνεται η παραβολή με εξίσωση και ο κύκλος με κέντρο στον ,
ο οποίος εφάπτεται στην παραβολή στα σημεία και διέρχεται από την εστία της .
Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής .

Σχετικό
Στην παράγραφο 1.7 το σχολικό γράφει :

29. Για τις σταθερές $a, b, c$ η συνάρτηση $f(x)=ae^{2x}+be^{x}+c$ ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: (α) $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+6}{e^x} =1}$ (b) $f(\ln 2)=0$ Για την αντίστροφη συνάρτηση $g(x)$ της $f(x)$ ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{14} g(x)dx = p+q \ln 2}$. Να βρείτε ...

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί
Τότε :

Εντυπωσιακή η ποικιλία των λύσεων

Η δική μου προσέγγιση , με Αναλυτική

$\displaystyle \begin{array}{l} (OCD) = \frac{1}{2}(OC)(OD)\sin {45^0} = \frac{1}{2}|\overrightarrow {OC} ||\overrightarrow {OD} |\sin {45^0}\\ (OCD) = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} )|\\ \\ \frac{1}{2}\left( {\sqrt {13} \sqrt {{k^2} + 2k + 2} } \right)\left( {\sqrt {13...

Αναζητώ μια σύντομη αιτιολόγηση γιατί :

Αν υποθέσουμε ότι η γραμμική ταχύτητα είναι σταθερή , τότε γίνεται πιο πολύπλοκο. Καταλήγω στη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \sqrt {{{\left( {4\cos \left( {\frac{x}{4}} \right) - 7 + 3\cos \left( {\frac{x}{3}} \right)} \right)}^2} + {{\left( {4\sin \left( {\frac{x}{4}} \right) + 3\sin \left( {\fra...

α) $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2{{m}^{2}}x-4my-4=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$ Επειδή :$\displaystyle {{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4\Gamma =4{{m}^{4}}+16{{m}^{2}}+16>0$, έχουμε ότι η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο $\displaystyle K({{m}^{2}},2m)$ και ακτίνα $\displaystyle \,R=\frac{\sqrt{4{{m...

area.png Από τα ισεμβαδικά $\displaystyle kx = py \Rightarrow k = p\frac{y}{x}$ Από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle \frac{{x + y}}{k} = \frac{y}{p} \Rightarrow \frac{{1 + \frac{y}{x}}}{{p\frac{y}{x}}} = \frac{{\frac{y}{x}}}{p} \Rightarrow \frac{{1 + m}}{m} = m \Rightarrow {m^2} - m - 1 = ...

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2{{m}^{2}}x-4my-4=0\,\,\,\,(1)$ με $\displaystyle x,y,m\in R$. α) Να δείξετε ότι, καθώς το $\displaystyle m$ διατρέχει το $\displaystyle R$, η $\displaystyle \,(1)$ παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα . β) Να βρείτε τη γ...

Μήπως το παρακάνουμε με τα ρεαλιστικά Μαθηματικά ; Η πρόταση από τα στοιχεία του Ευκλείδη Ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ βάσιν τε ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ᾖ, διπλάσιόν ἐστι τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου. Η Νεοελληνική μετάφραση Ο παππούς του Πέτρου έχει έναν κήπο σχήματος ορθογω...

Με διανύσματα ...
Αν σε παραλληλόγραμμο , μια διαγώνιος διχοτομεί μια γωνία , τότε αυτό είναι ρόμβος .

Η νέα ύλη 2022-23 ( από εδώ)

Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συστήματα

1.1 Γραμμικά Συστήματα (χωρίς τις υποπαραγράφους "Λύση-Διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2x2" και "Γραμμικό Σύστημα 3x3")

Καλά το κατάλαβα ;

ΕΔΩ και στην παραπομπή της.

Καλό διάβασμα