Η αναζήτηση βρήκε 233 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Πέμ Απρ 14, 2022 8:04 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: ισοσκελές από ίσα γινόμενα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 408
Re: ισοσκελές από ίσα γινόμενα
Έστω ότι οι κύκλοι $(AEC)$, $(ABF)$ τέμνονται για δεύτερη φορά στο σημείο $D$. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η κοινή χορδή των δύο κύκλων είναι διχοτόμος της γωνίας $BAC$, οπότε, η διάκεντρος $KL$ ως κάθετος της κοινής χορδής $AD$, θα ορίζει ίσα τμήματα στις ευθείες των πλευρών $AB$, $AC$, δηλαδή, $AS=AT...
- Παρ Απρ 08, 2022 6:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Χρήσιμη και η τέταρτη κορυφή
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 458
Re: Χρήσιμη και η τέταρτη κορυφή
Αν το μέσο της διακέντρου , τότε από το ορθογώνιο τραπέζιο είναι .
Λόγω του παραλληλογράμμου , τα σημεία είναι , , συνευθειακά.
Επομένως, .
- Πέμ Μαρ 17, 2022 1:35 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ισότητα τμημάτων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 422
Ισότητα τμημάτων
equal_seg.png Σε τρίγωνο $ABC$ θεωρούμε το μέσο $M$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου αυτού του τριγώνου, και έστω $MX$, $MY$ τα εφαπτόμενα τμήματα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$ που άγονται από το $M$. Οι ευθείες $AX$ και $AY$ τέμνουν για δεύτερη φορά τον περιγεγραμμένο κύκλο...
- Πέμ Δεκ 16, 2021 11:40 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Περίκυκλος ισοτομικών
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 616
Re: Περίκυκλος ισοτομικών
Λόγω συμμετρίας είναι $BF'=CE'$. Επομένως, σύμφωνα με γνωστό λήμμα (βλέπε το λήμμα 1 viewtopic.php?f=22&t=68789&p=334622#p334622 ) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $AF'E'$ διέρχεται από το μέσο $A_{1}$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, και $A_{1}E'=A_{1}F'$. Θα αποδ...
- Τετ Δεκ 15, 2021 5:53 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 797
Re: Παραλληλία στη διχοτόμο από μέσα
Λόγω συμμετρίας προκύπτει άμεσα ότι $BP'= CQ'$, οπότε σύμφωνα με γνωστό λήμμα (βλέπε το λήμμα 1 viewtopic.php?f=22&t=68789&p=334622#p334622 ) ο περιγεγραμμένος κύκλος $\omega '$ του $\triangle AP'Q'$ διέρχεται από το μέσο $A_{1}$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου $\omega$ του $\triangle ABC...
- Παρ Δεκ 03, 2021 7:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Ισοτομικό ίχνους ύψους
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 521
Re: Ισοτομικό ίχνους ύψους
concycl.png Συμβολίζουμε με $\Omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$. Έστω $T$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου $\Omega$ στα σημεία του $B$ και $C$. Η $AT$ είναι η $A-$συμμετροδιάμεσος του $\triangle ABC$, και λόγω της υπόθεσης το $M$ είναι το ορθόκεντρο του $\triangle APQ$. ...
- Πέμ Νοέμ 25, 2021 12:37 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Δύο κάθετες
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 981
Re: Δύο κάθετες
Αναδιατυπώνουμε το πρόβλημα (για ευκολία) στο ισοδύναμό του ως εξής: Δίνεται τρίγωνο $KDE$, εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $I$, και έστω $M$ το μέσο της πλευράς $DE$. ΟΙ εφαπτομένες του κύκλου $(I)$ στα $D$, $E$ τέμνονται στο σημείο $C$. Αν $M'$ το συμμετρικό του $M$ ως προς την $KD$, να αποδείξετε ό...
- Τετ Νοέμ 03, 2021 11:29 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Διέλευση από το συμμετρικό
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 557
Re: Διέλευση από το συμμετρικό
isopl_triangl.png Έστω $P$ το αντιδιαμετρικό του $C$. Τότε $\angle PAC= 90^{\circ}\implies PA \bot AC$. Από την άλλη μεριά στο τρίγωνο $C'AC$ είναι $AB=\frac{CC'}{2}\implies C'A \bot AC$. Από τα δύο παραπάνω, τα $C'$, $P$, $A$ ανήκουν στην ίδια ευθεία. Έστω $T'= AC \cap BP$ και $M = AB \cap CP$. Στ...
- Κυρ Οκτ 31, 2021 11:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 769
Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
Οι τετράδες των ευθειών που προκύπτουν από τις πέντε ευθείες $AB$, $CD$, $AD$, $BC$, και $MN$ έχουν το ίδιο σημείο Miquel $Q$ (Σημείο Miquel πέντε ευθειών). Αυτό προκύπτει από το επόμενο λήμμα: Τα σηµεία $X$ και $Y$ κινούνται µε σταθερές ταχύτητες (όχι κατ' ανάγκη ίσες) σε δύο σταθερές ευθείες που τ...
- Πέμ Οκτ 28, 2021 9:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Εφαπτόμενοι κύκλοι...
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 769
Εφαπτόμενοι κύκλοι...
tang_cir.png Στο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ τετράπλευρο $𝐴𝐵𝐶𝐷$, τα σημεία $𝑀$ και $𝑁$ είναι τα μέσα των πλευρών $𝐴𝐷$ και $𝐵𝐶$ αντίστοιχα. Θεωρούμε επίσης τα σημεία $𝐹 = 𝐴𝐷 \cap 𝐵𝐶$, $𝑋 = 𝑀𝑁 \cap 𝐴𝐵$, $𝑌 = 𝑀𝑁 \cap 𝐷𝐶$, $𝑃 = 𝐴𝐵 \cap 𝐷𝐶$. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $𝐹...
- Τετ Οκτ 27, 2021 10:49 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Καθετότητα του Derk Jan SMEENK
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 717
Re: Καθετότητα του Derk Jan SMEENK
Έστω $K$, $L$ τα μέσα των $BE$, $CF$ αντίστοιχα. Τότε στο τρίγωνο $ABC$ ισχύουν $BK=CL$ και $BK+CL = BC$. Επομένως, σύμφωνα με τα λήμματα 1 και 2 ο περιγεγραμμένος κύκλος του $\triangle AKL$ διέρχεται από το μέσο $A_{0}$ του τόξου $BAC$ του περιγεγραμμένου κύκλου του $\triangle ABC$ (λήμμα 1), και α...
- Τετ Οκτ 20, 2021 11:49 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 776
Re: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
Συμβολίζουμε με $\omega$ τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\triangle ABC$. Έστω $L$ το αντιδιαμετρικό του $P$. Οι κύκλοι $\omega$ και $\Omega$ τέμνονται στα σημεία $A$ και $P$. Δύο ευθείες που διέρχονται από τα $A$ και $P$ τέμνουν τους κύκλους $\Omega$ και $\omega$ στα σημεία $E$, $B$ και $O$, $L$ αντίσ...
- Τρί Οκτ 19, 2021 9:37 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 776
Συμμετρικό σημείου τομής δύο κύκλων σε πλευρά τριγώνου
sym_of_intersec.png Ένας κύκλος $\Omega$, που διέρχεται από την κορυφή $A$ και το κέντρο $O$ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, τέμνει τις πλευρές $AC$, $AB$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία $F$, $E$ και $P$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό του σημείου $P$ ως προς την ...
- Τρί Οκτ 19, 2021 12:35 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 476
Re: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο
rad_bis.png Στάθη, καλησπέρα. Σωστά μάντεψες. Τη συμμετροδιάμεσο είχα κατά νου, και το προηγούμενο πρόβλημα που πρότεινα (Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα). Η ευθεία $AP$ συμμετροδιάμεσος, και $O_{1}O_{2}\bot AP$. Αλλά,είναι γνωστό ότι Αν από ένα σηµείο της συµµετροδιαµέσου (διαµέσου) ϕέρουµε κάθετες σ...
- Δευ Οκτ 18, 2021 10:15 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 476
Η ακτίνα διχοτομεί διάκεντρο
rad_bis_diak_001.png Στο οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ με$AB>AC$, το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς $BC$. Το σημείο $P$ είναι εσωτερικό του τριγώνου $AMC$, και τέτοιο ώστε $\angle MAB=\angle PAC$. Έστω $O$, $O_1$, $O_2$ τα περίκεντρα των τριγώνων $ABC$, $ABP$, $ACP$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η $...
- Δευ Οκτ 18, 2021 7:20 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 425
Διάμεσος παράλληλη σε ακτίνα
Σε τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς , το το περίκεντρο του , και τα , είναι τα ίχνη των καθέτων, που άγονται από το , στις πλευρές , αντίστοιχα. Έστω το μέσο του . Να αποδείξετε ότι .
- Σάβ Αύγ 28, 2021 7:48 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Σταθερό μήκος
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 572
Re: Σταθερό μήκος
trapezium.png Έστω $M$, $N$ τα μέσα των $EB$, $EC$ αντίστοιχα. Τότε, $MN \parallel = \frac{BC}{2}$. Για την περίπτωση του επισυναπτόμενου σχήματος έχουμε $\angle DAB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EKB=180^{\circ}-\angle EKM$, και $\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ELC=\angle ELN$. Εφόσον $\angle DAB+\ang...
- Τετ Φεβ 03, 2021 9:31 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Διέρχεται από το κέντρο
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 658
Re: Διέρχεται από το κέντρο
Pas_thr_mid.png Έστω $H=AD \cap BC$. Προφανώς το $H$ ορθόκεντρο του $\vartriangle PAB$. Επομένως, ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle PCD$. Στη συνέχεια, οι $OC$, $OD$ εφαπτομένες αυτού του κύκλου (π.χ για την $OD$ προκύπτει από την ισότητα των κίτρινων γωνιών στο σχήμα). Το ζητούμεν...
- Κυρ Ιαν 24, 2021 11:08 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Διχοτόμηση...
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 464
Διχοτόμηση...
Τα σημεία και είναι τα σημεία τομής του κύκλου , που έχει κέντρο το και ακτίνα ,
με το ημικύκλιο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία διχοτομεί το .
- Πέμ Ιαν 21, 2021 12:08 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
- Θέμα: Συνευθειακά...
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 887
Re: Συνευθειακά...
col2.png Είναι γνωστό ότι το ορθόκεντρο $H$ του $\vartriangle ABC$ είναι το έγκεντρο του ποδικού του τριγώνου DEF . Επομένως, άμεσα προκύπτει ότι το $A$ είναι το $D-$παράκεντρο του $\vartriangle $ DEF . Αν $M$ το σημείο επαφής του $D-$παρεγγεγραμμένου κύκλου με την $EF$, και $P$ το αντιδιαμετρικό τ...