Αλλιώς, η ζητούμενη είναι άμεση συνέπεια των γνωστών
για κάθε
Η αναζήτηση βρήκε 6228 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Μαρ 18, 2023 1:09 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Νέα ανισότητα
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 670
- Σάβ Μαρ 18, 2023 7:58 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
- Απαντήσεις: 190
- Προβολές: 51930
Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 51 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με $P(k)=F_k $ για κάθε $k\in \mathbb N$, όπου $F_k$ οι αριθμοί Fibonacci Αν υπήρχε τέτοιο πολυώνυμο, θα είχαμε $\displaystyle{f(k+1)=F_{k+1}}$ και $\displaystyle{f(k+2)=F_{k+2}}$ για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{N}}$, οπότε θα ήταν $\displaysty...
- Τρί Μαρ 07, 2023 10:08 pm
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
- Θέμα: Άλγεβρα και Γεωμετρία
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 577
Re: Άλγεβρα και Γεωμετρία
Όπως είναι φανερό από την παραπάνω απόδειξη, δεν χρειάζεται να είναι οι γωνίες του τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο, αλλά μόνο να είναι μία τουλάχιστον γωνία ίση με
Επίσης ας προσθέσω ότι αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την
Επίσης ας προσθέσω ότι αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με την
- Πέμ Φεβ 23, 2023 9:55 pm
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Παραποιημένη ανισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 487
Re: Παραποιημένη ανισότητα
Για προκύπτει ότι Θα δείξουμε ότι αποδεικνύοντας ότι
για κάθε Βέβαια αυτό είναι απλούστατο μελετώντας τη συνάρτηση
για κάθε Βέβαια αυτό είναι απλούστατο μελετώντας τη συνάρτηση
- Σάβ Φεβ 18, 2023 5:02 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
- Απαντήσεις: 85
- Προβολές: 17050
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2023
Μια λύση για το 1ο των μικρών: Ισχύει $\displaystyle{(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+4(ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+b^3c+c^3a)+12abc(a+b+c)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2).}$ Λόγω των εξίσωσεων του συστήματος προκύπτει $\displaystyle{a^4+b^4+c^4+4(a^3b+b^3c+c^3a)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=0}$ δηλαδή $\displaystyle{a^2\left[(a+2...
- Παρ Φεβ 03, 2023 10:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 628
Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές
Αν $a,b,c,d$ θετικοί με $abcd\ge 1$, να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$ Πιο σύντομα: Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}\geq 1.}$ Από Cauchy Schwarz είναι $\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}=\sum \frac{\sqrt{a}^2}{a+3}\geq \f...
- Τετ Φεβ 01, 2023 9:34 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- Θέμα: Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 752
- Δευ Ιαν 30, 2023 8:09 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 695
Re: ΚΥΡΙΑΚΑΤΙΚΟ ΒΡΑΔΥ.
Πρόκειται στην πραγματικότητα για την ανισότητα $\displaystyle{\boxed{x,y,z>0 \implies \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}}}$ μέσω της αντικατάστασης $\displaystyle{x=s-a, y=s-b, z=s-c.}$ Η αποδεικτέα γράφεται μετά από τον μετασχηματισμό $\displaystyle{\frac{x}{y}=k^3...
- Δευ Ιαν 30, 2023 7:59 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 650
Re: Μεγαλύτερο αλλά όχι πάντα
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=6^x+3^x+2^x-x^2}$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε, επειδή η ανίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)\geq f(-1)}$, οι λύσεις της είναι οι αριθμοί του διαστήματος $\displaystyle{[-1, +\infty ).}$ Πράγματι, είναι $\displaystyle{f'(x)=6^x \ln 3+3^x \ln 3+2^x \ln 2-2x>6^x+3^x-2x=...
- Σάβ Νοέμ 12, 2022 11:17 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2022
- Απαντήσεις: 112
- Προβολές: 19648
Re: ΘΑΛΗΣ 2022
Θέμα 1ο Γ' Λυκείου: Μια ακόμα αντιμετώπιση με μια ιδέα που έχουμε ξανασυζητήσει. Θέτουμε $\displaystyle{a=1+x,b=1-x, x\in [-1,1].}$ Είναι $\displaystyle{a^3+b^3=(1+x)^3+(1-x)^3=\cdots =6x^2+2}$ και $\displaystyle{a^4+b^4=(1+x)^4+(1-x)^4=\cdots =2x^4+12x^2+2.}$ Επομένως $\displaystyle{A=-6x^4+12x^2+...
- Πέμ Νοέμ 03, 2022 11:20 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: "Εκλαϊκευμένος" Gauss
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 714
Re: "Εκλαϊκευμένος" Gauss
Επίσης, βλέπουμε κάποιον να ξέρει ρητά του Euler, αλλά όχι πώς γράφεται το όνομά του.
Γιώργο, από πού είναι αυτό;
Γιώργο, από πού είναι αυτό;
- Τρί Νοέμ 01, 2022 7:57 pm
- Δ. Συζήτηση: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
- Θέμα: Είναι τελικά μονώνυμο ;
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 446
Re: Είναι τελικά μονώνυμο ;
Eίναι μονώνυμο το ;
- Δευ Οκτ 10, 2022 4:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Δεν είναι ρίζα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 677
Re: Δεν είναι ρίζα
Ας το δούμε και αλλιώς. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι $\displaystyle{a,b,c}$ είναι ακέραιοι. Αν $\displaystyle{x=\sqrt[3]{3}}$ είναι ρίζα, έχουμε τις ισότητες $\displaystyle{ax^2+bx+c=0, \\ 3a+bx^2+cx=0, \\ 3ax+3b+cx^2=0}$. Αυτό το σύστημα είναι ομογενές με μη μηδενικές λύσεις, οπότε ισχύει $\displa...
- Παρ Σεπ 23, 2022 5:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Τρίγωνο-136.
- Απαντήσεις: 33
- Προβολές: 4849
Re: Τρίγωνο-136.
Δηλαδή λίγο πολύ μας λες ότι τα παρακάτω είναι βήματα που μπορούν να παραλειφθούν από την απόδειξη Έχουμε $\displaystyle \frac {\sin (169^\circ-\angle \theta)}{\sin \angle \theta}=cos 11^\circ +\frac {\sin 11^\circ}{\tan \angle \theta}$, $\displaystyle\frac {\sin 136^\circ}{\sin 33^\circ}-cos 11^\ci...
- Παρ Σεπ 23, 2022 2:15 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Τρίγωνο-136.
- Απαντήσεις: 33
- Προβολές: 4849
Re: Τρίγωνο-136.
Δεν καταλαβαίνω πώς προκύπτει το ζητούμενο. Θα ήθελα να δω όλη την απόδειξη.cool geometry έγραψε: ↑Παρ Σεπ 23, 2022 12:40 pm
Από αυτές τις δύο σχέσεις λαμβάνουμε
και αφού
θα είναι
- Τετ Σεπ 21, 2022 2:49 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Μέγιστη τιμή
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 651
Re: Μέγιστη τιμή
Είναι λογικό να θέσουμε $\displaystyle{a+b=2z, b+c=2x, c+a=2y}$, οπότε $\displaystyle{a=y+z-x, b=z+x-y, c=x+y-z}$, με $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2}\right]}$. Θέλουμε το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{(x+y-z)^2+(y+z-x)^2+(z+x-y)^2}$ όταν $\displaystyle{x,y,z\in \left[0,\frac{1}{2...
- Τετ Σεπ 21, 2022 2:33 pm
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Τριάδες ακεραίων
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1147
Re: Τριάδες ακεραίων
Αν κάποιος εκ των $\displaystyle{a,b,c}$ ισούται με μηδέν, π.χ. ο $\displaystyle{a}$, θέλουμε να είναι ακέραιοι οι $\displaystyle{\frac{b}{c}, \frac{c}{b}}$, οπότε $\displaystyle{|b|=|c|.}$ Αν $\displaystyle{abc\ne 0}$, είναι $\displaystyle{\left|\frac{a}{b+c}\right|\geq 1, \left|\frac{b}{c+a}\right...
- Πέμ Σεπ 08, 2022 2:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 870
Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών
Ας αναφερθεί ακόμα ότι μια υπολογιστική μηχανή μας δείχνει ότι ισχύει
- Πέμ Σεπ 08, 2022 12:30 am
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 870
Re: Άθροισμα αντίστροφων φυσικών αριθμών
Υποθέτουμε ότι είναι άνισοι ανά δύο, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι ισχύει
Τότε
άτοπο.
Τότε
άτοπο.
- Τρί Αύγ 23, 2022 8:29 am
- Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
- Θέμα: Σχέση σε ... τρίγωνο
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 917
Re: Σχέση σε ... τρίγωνο
Ας υπάρχει και η τριγωνομετρική απόδειξη που είναι ρουτίνα: Από τον νόμο των ημιτόνων έχουμε $\displaystyle{\frac{a}{\sin 50^o}=\frac{c}{\sin 30^o}}$ δηλαδή $\displaystyle{\frac{a}{c}=2\sin 50^o.}$ Η αποδεικτέα γράφεται $\displaystyle{\left(\frac{a}{c}\right)^3-3\frac{a}{c}=-1.}$ Πράγματι, $\display...