Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις - Σελίδα 38

Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 946 θέματα

Σελίδα 38 από 38
- Μετάβαση στη σελίδα:
Προηγούμενη
1
…
34
35
36
37
38

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 5
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

5 Απαντήσεις

93292 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μαρ 14, 2021 10:02 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

95471 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

99495 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

158778 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

175724 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 22)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Παρ Σεπ 01, 2023 12:17 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 22
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
22 Απαντήσεις

325599 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Παρ Σεπ 01, 2023 12:17 am

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Γεωμετρία-10:44-

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή « Σάβ Οκτ 24, 2009 4:48 pm
Απαντήσεις: 3
από Φωτεινή » Παρ Οκτ 23, 2009 10:44 am

'' Μια άσκηση από το βιβλίο του Χαρ.Στεργίου : Γεωμετρία ( 3 ) για Διαγωνισμούς''

ΑΣΚΗΣΗ
ΑΒΓ οξυγώνιο τρίγωνο.ΒΔ,ΓΕ τα ύψη του, οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{AB\Delta},\hat{A\Gamma E}$ τέμνονται στο Ρ.Αν Μ είναι το μέσο του ΒΓ
να αποδειχθεί ότι...

3 Απαντήσεις

644 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή
Σάβ Οκτ 24, 2009 4:48 pm
Γεωμετρία από τη συλλογή Rabinowiz

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ « Σάβ Οκτ 17, 2009 2:10 pm
Απαντήσεις: 6
από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Οκτ 14, 2009 9:12 am

ΑΣΚΗΣΗ (προς άρσιν του 666 , όπως επεσήμανε ο Μάκης !)

Στο παρακάτω σχήμα το ABCD είναι παραλληλόγραμμο και στο εξωτερικό του τα ADE , FBA είναι όμοια ορθογώνια τρίγωνα. Να αποδειχθεί ότι η γωνία FCE είναι ορθή.

Μπάμπης

6 Απαντήσεις

893 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Σάβ Οκτ 17, 2009 2:10 pm
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas « Δευ Οκτ 05, 2009 11:31 am
Απαντήσεις: 1
από S.E.Louridas » Πέμ Οκτ 01, 2009 8:23 pm

Έστω δύο τετράπλευρα
$ABCD\,\kappa \alpha \iota \,A_1 B_1 C_1 D_1 :AB = A_1 B_1 ,BC = B_1 C_1 ,CD = C_1 D_1 ,DA = D_1 A_1 \wedge$
$\angle \left( {BA,CD} \right) = \angle \left( {B_1 A_1 ,C_1 D_1 } \right) .$
Να εξετάσετε άν τα τετράπλευρα αυτά...

1 Απαντήσεις

629 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από S.E.Louridas
Δευ Οκτ 05, 2009 11:31 am
Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος « Κυρ Σεπ 27, 2009 8:25 pm
Απαντήσεις: 3
από cretanman » Σάβ Σεπ 26, 2009 1:51 am

Η άσκηση αυτή προέκυψε από τη συζήτηση εδώ και τη χρήση της στην απόδειξη της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος Ceva που ζήτησε ο Γιώργος Ρίζος. Είναι αρκετά χρήσιμο λήμμα για όσους ασχολούνται με διαγωνισμούς και την παραθέτω παρακάτω.

Αν...

3 Απαντήσεις

2175 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος
Κυρ Σεπ 27, 2009 8:25 pm
Ισοσκελές-2-

Τελευταία δημοσίευση από R BORIS « Σάβ Σεπ 26, 2009 7:38 pm
Απαντήσεις: 8
από Φωτεινή » Πέμ Σεπ 24, 2009 12:28 pm

για τους Γεωμέτρες της Μαθηματικής παρέας δίνω την παρακάτω άσκηση (τη βρήκα μόλις τώρα-δεν την έχω λύσει)

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω $P$ εσωτερικό σημείο , τριγώνου $ABC$ τέτοιο ώστε :
$\hat{PAB}=10^o,\hat{PBA}=20^o,\hat{PCA}=30^{o} ,\, \kappa\alpha\iota...

8 Απαντήσεις

1576 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από R BORIS
Σάβ Σεπ 26, 2009 7:38 pm
Γεωμετρία - Αφορμή για πιο ψηλά !

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ « Παρ Σεπ 18, 2009 12:22 am
Απαντήσεις: 10
από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Σεπ 15, 2009 8:57 am

Στους μαθηματικούς διαγωνισμούς, ακόμα και των junior, ορισμένα βασικά θεωρήματα που είναι στο περιθώριο της σχολικής ύλης, αποτελούν σημαντικά εργαλεία για τη λύση ασκήσεων.Ας δώσουμε αφορμή για εφαρμογή τέτοιων θεωρημάτων , μια και είναι σίγουρο...

10 Απαντήσεις

2122 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Παρ Σεπ 18, 2009 12:22 am
Πολυγωνο

Τελευταία δημοσίευση από R BORIS « Παρ Ιούλ 24, 2009 6:53 am
Απαντήσεις: 2
από papel » Τρί Ιούλ 21, 2009 10:39 pm

Το συνολο των σημειων (x,y) που ικανοποιουν την παρακατω ανισοτητα σχηματιζουν ενα πολυγωνο.

$\ $.

Να ευρεθει
α) Ο αριθμος των πλευρων του πολυγωνου
β)Το εμβαδο του παραπανω πολυγωνου.

($\ $ = συμβολιζει απολυτη τιμη)

2 Απαντήσεις

624 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από R BORIS
Παρ Ιούλ 24, 2009 6:53 am
Αθροισμα γωνιων

Τελευταία δημοσίευση από papel « Παρ Ιούλ 17, 2009 6:21 pm
Απαντήσεις: 2
από papel » Παρ Ιούλ 17, 2009 3:28 pm

Να υπολογισετε το αθροισμα των γωνιων απο 1 εως 12 στο παρακατω σχημα.
(Απο Αμερικανικο Πολιτειακο Διαγωνισμο)

2 Απαντήσεις

810 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από papel
Παρ Ιούλ 17, 2009 6:21 pm
Εμβαδο τετραγωνων

Τελευταία δημοσίευση από papel « Παρ Ιούλ 17, 2009 2:25 pm
Απαντήσεις: 3
από papel » Παρ Ιούλ 17, 2009 2:11 pm

Η πλευρα του μεγαλυτερου τετραγωνου ειναι ιση με 1.Να βρειτε το συνολικο εμβαδον των γραμμοσκιασμενων
τετραγωνων οπως φαινεται στο σχημα .(Το πληθος τους θεωρειται απειρο).

3 Απαντήσεις

784 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από papel
Παρ Ιούλ 17, 2009 2:25 pm
Τρίγωνο

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή « Κυρ Ιουν 14, 2009 2:25 pm
Απαντήσεις: 6
από Φωτεινή » Σάβ Ιουν 13, 2009 3:38 pm

Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$με πλευρές α,β,γ και $\widehat{B}=2\widehat{\Gamma}$

Να αποδείξετε ότι:$\beta^{2}=\gamma \cdot(\gamma + \alpha)$

6 Απαντήσεις

1196 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή
Κυρ Ιουν 14, 2009 2:25 pm
Ισοσκελές τρίγωνο με γωνία 20 μοίρες (NO :5 )

Τελευταία δημοσίευση από Σεραφείμ « Σάβ Ιουν 13, 2009 10:32 am
Απαντήσεις: 1
από Φωτεινή » Παρ Ιουν 12, 2009 11:24 pm

ακόμα μία άσκηση με ισοσκελές και $\widehat{A}=20^{\circ}$
--------------------------------------
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC,(ΑΒ=ΑC) με $\widehat{A}=20^{\circ}$.

Στην πλευρά ΑC παίρνουμε σημείο D,ώστε $\widehat{DBC}=60^{\circ}$ και στην πλευρά...

1 Απαντήσεις

1080 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Σεραφείμ
Σάβ Ιουν 13, 2009 10:32 am
Σε γνωστά μονοπάτια...

Τελευταία δημοσίευση από p_gianno « Παρ Ιουν 12, 2009 9:25 pm
Απαντήσεις: 7
από rek2 » Δευ Ιουν 08, 2009 9:58 pm

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και $\hat{A}=100^{o}$ φέρνουμε την διχοτόμο ΒΔ. Να αποδειχτεί ότι ΑΔ+ΔΒ=ΒΓ.

7 Απαντήσεις

1210 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από p_gianno
Παρ Ιουν 12, 2009 9:25 pm
Ωραία γεωμετρία

Τελευταία δημοσίευση από p_gianno « Κυρ Ιουν 07, 2009 8:50 pm
Απαντήσεις: 6
από chris_gatos » Κυρ Ιουν 07, 2009 11:35 am

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( ΑΓ=ΒΓ ) και ( Ο,R) ο περιγεγραμμένος κύκλος αυτού...Εστω Ρ σημείο του τόξου ΑΒ
(εκείνου που δεν περιέχει το Γ ). Αν ΓΔ είναι η κάθετη προς τη ΡΒ ( Δ σημείο της ΡΒ ) τότε να αποδείξετε πως:
ΡΑ+ΡΒ=2ΡΔ.

6 Απαντήσεις

1037 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από p_gianno
Κυρ Ιουν 07, 2009 8:50 pm
Τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από mathfinder « Παρ Ιουν 05, 2009 4:49 pm
Απαντήσεις: 7
από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Ιουν 05, 2009 8:54 am

ΑΣΚΗΣΗ

Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ. Η ΑΓ τέμνει την ΔΜ στο Ε. Αν Ζ είναι η προβολή του Γ στην ΔΜ, να αποδειχθεί ότι ΓΖ = 3ΖΕ.

Σχόλιο

Αν και δεν την προσπάθησα πολύ , το μόνο που κατάφερα είναι να βρω μόνο μετρική λύση(...

7 Απαντήσεις

1255 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από mathfinder
Παρ Ιουν 05, 2009 4:49 pm
Ασκηση σε ισοσκελές τρίγωνο με γωνία 20 μοίρες (Νο 4)

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή « Δευ Ιουν 01, 2009 7:52 pm
Απαντήσεις: 13
από mathfinder » Δευ Μαρ 02, 2009 12:34 am

Άλλη μία στο πνεύμα των προηγούμενων , ως συμπλήρωμα στη συλλογή .
Αθ. Μπεληγιάννης

13 Απαντήσεις

2349 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Φωτεινή
Δευ Ιουν 01, 2009 7:52 pm
Γεωμετρία

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ « Παρ Απρ 24, 2009 11:23 am
Απαντήσεις: 13
από Μπάμπης Στεργίου » Σάβ Απρ 18, 2009 10:34 am

Την άσκηση την έχω συλλέξει (χθες)από μια γερμανική ιστοσελίδα ολυμπιάδων. Είναι η άσκηση του μήνα για το κρατίδιο του Αμβούργου.Την έχει χωρίς λύση.Μόλις έκανα μια καθαρή γεωμετρική λύση, ελπίζω καλή (!).Αλλά είμαι σίγουρος ότι θα βρεθούν και άλλες...

13 Απαντήσεις

2020 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Παρ Απρ 24, 2009 11:23 am
Ελάχιστη τιμή

Τελευταία δημοσίευση από mathfinder « Τετ Απρ 22, 2009 6:21 pm
Απαντήσεις: 43
από nicolae » Σάβ Απρ 04, 2009 1:38 pm
1

2

3
Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$, με $\widehat{A}=90^{\circ}.$ Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle P=\frac{\beta^2(\gamma+\alpha)+\gamma^2(\beta+\alpha)}{\alpha\beta\gamma}$
43 Απαντήσεις

6576 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από mathfinder
Τετ Απρ 22, 2009 6:21 pm
Βρείτε τις πλευρές τριγώνου

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Απρ 13, 2009 1:01 am
Απαντήσεις: 2
από nicolae » Δευ Απρ 13, 2009 12:12 am

Να υπολογίσετε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, για το οποίο είναι $\widehat{A}=105^0, \widehat{B}=45^0$ και η περίμετρός του είναι$\sqrt{27}+\sqrt{18}+9$

2 Απαντήσεις

1074 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Απρ 13, 2009 1:01 am
Θέματα Γεωμετρίας (Junior)

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou « Δευ Μαρ 30, 2009 1:50 am
Απαντήσεις: 15
από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Μαρ 28, 2009 10:12 pm

Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος,

ας δώσουμε όσες πιο πολλές διαφορετικές λύσεις σε τρεις ακόμα όμορφες ασκήσεις, από την ομιλία της Ελένης Μήτσιου.

8) Έστω α και β τα μέτρα των βάσεων ενός ισοσκελούς τραπεζίου και δ το μέτρο κάθε...

15 Απαντήσεις

2769 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gbaloglou
Δευ Μαρ 30, 2009 1:50 am
Άσκηση Γεωμετρίας σε ισοσκελές τρίγωνο γωνια 20 μοιρες (Νο2)

Τελευταία δημοσίευση από lonis « Παρ Μαρ 06, 2009 12:04 am
Απαντήσεις: 5
από cretanman » Σάβ Φεβ 28, 2009 1:54 pm

Μία κλασσική παλιά και εύκολη άσκηση με ισοσκελές τρίγωνο που η γωνία της κορυφής είναι $20^{\circ}$. Τη βάζω για να την έχουμε λυμένη στο αρχείο μας.

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC \ \ (AB=AC)$ και γωνία $\angle{A}=20^{\circ}$. Πάνω στην πλευρά...

5 Απαντήσεις

3673 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από lonis
Παρ Μαρ 06, 2009 12:04 am
Κάντο μόνο με τον κανόνα !(Για αρχιμήδη !)

Τελευταία δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου « Πέμ Ιαν 29, 2009 8:12 am
Απαντήσεις: 2
από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Ιαν 28, 2009 7:23 pm

Ένα ωραίο προβληματάκι στον κύκλο και στην ενότητα των εγγράψιμων είναι και το παρακάτω :

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Στις πλευρές ΒΓ,ΓΔ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα, ώστε
η γωνία ΕΑΖ να είναι ίση με 45 μοίρες .
Μόνο με τη βοήθεια του...

2 Απαντήσεις

854 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου
Πέμ Ιαν 29, 2009 8:12 am

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 946 θέματα

Σελίδα 38 από 38
- Μετάβαση στη σελίδα:
Προηγούμενη
1
…
34
35
36
37
38

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση