Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 118 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 4
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

4 Απαντήσεις

18126 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

18279 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

31427 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

92004 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

107212 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 22)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 21
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
21 Απαντήσεις

173314 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Τρί Μαρ 03, 2020 12:45 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Ανισότητα Cauchy-Schwarz 4

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Τρί Ιουν 30, 2020 1:28 pm
Απαντήσεις: 5
από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:18 pm

ανισότητα

Cauchy-Schwarz

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $a,b,c \geqslant 0$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \sqrt{ab+bc} + \sqrt{bc+ca} + \sqrt{ca+ab} \leqslant \sqrt{2}(a+b+c)$

5 Απαντήσεις

347 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιουν 30, 2020 1:28 pm
Ανισότητα Cauchy-Schwarz 1

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm
Απαντήσεις: 3
από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:08 pm

Cauchy-Schwarz

Ανισότητα

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a,b$ ώστε $a^2 + b^2 = 1$. Να δειχθεί ότι $3a+4b \leqslant 5$. Πότε ισχύει η ισότητα;

Παρακαλώ διαβάστε το μήνυμα στο hide.

Θα ξεκινήσω να βάζω κάποιες απλές και σύντομες ασκήσεις σε διάφορους τομείς των ολυμπιάδων ώστε...

3 Απαντήσεις

272 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Ιουν 29, 2020 8:55 pm
Ανισότητα Cauchy-Schwarz 5

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N « Δευ Ιουν 29, 2020 7:14 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:36 pm

ανισότητα

Cauchy-Schwarz

Δίνονται μη αρνητικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geqslant \frac{a+b+c}{2}$

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.

2 Απαντήσεις

183 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N
Δευ Ιουν 29, 2020 7:14 pm
Ανισότητα Cauchy-Schwarz 3

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N « Δευ Ιουν 29, 2020 6:46 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:13 pm

Cauchy-Schwarz

ανισότητα

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$.

2 Απαντήσεις

154 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N
Δευ Ιουν 29, 2020 6:46 pm
Ανισότητα Cauchy-Schwarz 2

Τελευταία δημοσίευση από llenny « Δευ Ιουν 29, 2020 6:28 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Δευ Ιουν 29, 2020 5:11 pm

Cauchy-Schwarz

ανισότητα

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$. Να δειχθεί ότι $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$. Γενικεύστε σε $n$ μεταβλητές.

2 Απαντήσεις

166 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από llenny
Δευ Ιουν 29, 2020 6:28 pm
ελάχιστη τιμή παράστασης

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Κυρ Ιουν 07, 2020 5:31 pm
Απαντήσεις: 2
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιουν 07, 2020 2:34 pm

ελάχιστη

τριγωνομετρία

Για κάθε $n \in \mathbb{N}$ και $x\in \mathbb{R}$
ορίζουμε την παράσταση:

$\displaystyle \prod_{k=1}^{n} \left ( \cos^{2k+1} x + \sin^{2k+1} x \right )}$

Αν το $n$ είναι σταθερό να προσδιοριστεί το ελάχιστο της καθώς και οι τιμές του $x$ για τις...

2 Απαντήσεις

158 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιουν 07, 2020 5:31 pm
Ανισότητα

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N « Πέμ Μάιος 28, 2020 5:52 pm
Απαντήσεις: 3
από achilleas » Τετ Μαρ 27, 2019 12:21 am

Ανισότητα

Δίνονται θετικοί αριθμοί $x,y,z$ τέτοιοι ώστε $xyz+xy+yz+zx=4.$ Να δειχθεί ότι $x+y+z\geq 3.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

3 Απαντήσεις

785 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Pantelis.N
Πέμ Μάιος 28, 2020 5:52 pm
Απόδειξη Ανισότητας

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Τετ Μάιος 27, 2020 9:29 pm
Απαντήσεις: 10
από Κω.Κωνσταντινίδης » Κυρ Απρ 22, 2018 3:43 pm

Βασικές-ανισότητες

Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $\chi ,\psi, \zeta
$ έχουν άθροισμα ίσο με το 1, να δείξετε ότι:

$\left ( 1+\frac{1}{\chi } \right )\left ( 1+\frac{1}{\psi } \right )\left ( 1+\frac{1}{\zeta } \right )$$ \geq 64$

10 Απαντήσεις

1049 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Μάιος 27, 2020 9:29 pm
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί Ι

Τελευταία δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου « Παρ Απρ 17, 2020 7:52 pm

από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Απρ 17, 2020 7:52 pm

διαγωνισμοι

λυσεισ

Στον σύνδεσμο που ακολουθεί ο συνάδελφος Τάκης Χρονόπουλος έχει δώσει παραπομπές σε πολλές ασκήσεις , που είναι θέματα και

περιέχονται στο βιβλίο μας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ Ι

που έχουμε με τον Σιλουανό !

Οι παραπομπές θα βοηθήσουν τους...

0 Απαντήσεις

444 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου
Παρ Απρ 17, 2020 7:52 pm
Βρείτε τον a

Τελευταία δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας « Κυρ Απρ 05, 2020 4:53 pm
Απαντήσεις: 1
από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Δεκ 25, 2017 10:46 pm

ελάχιστος-αριθμός-συνθήκες

Να βρεθεί ο ελάχιστος $a$ για τον οποίο υπάρχουν θετικοί αριθμοί $x$ και $y$ τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι παρακάτω:

$x+y\leq a$

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\leq a$

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a}} +\dfrac{1}{\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{a}}\leq a$

1 Απαντήσεις

814 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας
Κυρ Απρ 05, 2020 4:53 pm
Τέλεια Τετράγωνα

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Τετ Απρ 01, 2020 4:44 pm
Απαντήσεις: 11
από SPYRIDON TZORTZIS » Τετ Μαρ 25, 2020 4:54 pm

JUNIORS

Αν οι αριθμοί $x,y\in \mathbb{N^*}$ ικανοποιούν τη σχέση $2x^2+x=3y^2+y $ $(1)$, τότε:
α) να αποδείξετε πως οι αριθμοί $x-y$ και $2x+2y+1$ είναι τέλεια τετράγωνα
β) να βρείτε όλα τα ζεύγη $(x,y)$ τα οποία ικανοποιούν την $(1)$

11 Απαντήσεις

611 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Τετ Απρ 01, 2020 4:44 pm
Πρωτοχρονιάτικο Μέγιστο

Τελευταία δημοσίευση από JimNt. « Κυρ Μαρ 29, 2020 7:38 pm
Απαντήσεις: 3
από JimNt. » Πέμ Δεκ 29, 2016 10:22 am

Μέγιστο

Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύει $(a+b^{2}+1)(b+c^{2}+1)(c+a^{2}+1)=27$ Να βρείτε την μέγιστη τιμή της $A=(a^2b^2+a^2b + ab^2+a^2+ab+b^2+a+b+1)(c^2+c+1)$.

3 Απαντήσεις

840 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από JimNt.
Κυρ Μαρ 29, 2020 7:38 pm
Μέγιστο

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos « Πέμ Μαρ 26, 2020 1:43 am
Απαντήσεις: 1
από socrates » Τετ Μαρ 25, 2020 10:04 pm

μέγιστο

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $𝑥_1, 𝑥_2, 𝑥_3, 𝑥_4, 𝑥_5, 𝑥_6$ για τους οποίους ισχύει
$\displaystyle{(𝑥_2 − 𝑥_1)^2 + (𝑥_3 − 𝑥_2)^2 + (𝑥_4 − 𝑥_3)^2 + (𝑥_5 − 𝑥_4)^2 + (𝑥_6 − 𝑥_5)^2 = 1}$

Να βρείτε τη μέγιστη δυνατή τιμή της διαφοράς...

1 Απαντήσεις

173 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από emouroukos
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:43 am
Ανισότητα με ακεραίους

Τελευταία δημοσίευση από socrates « Παρ Μαρ 20, 2020 6:53 pm
Απαντήσεις: 2
από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Απρ 16, 2013 12:56 am

Αν $a,b$ είναι θετικοί ακέραιοι να αποδείξετε ότι $\sqrt {a^{2a}b^{2b}}\leq a^2-ab+b^2.$

(Από το πρώτο τεύχος του περιοδικού Θεαίτητος, του Μανόλη Μαραγκάκη)

2 Απαντήσεις

260 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από socrates
Παρ Μαρ 20, 2020 6:53 pm
ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 125

Τελευταία δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ « Τρί Αύγ 20, 2019 12:39 pm
Απαντήσεις: 2
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Δευ Αύγ 19, 2019 3:02 pm

ΑΡΧΕΙΟ--ΘΑΝΟΥ--125

Σας προτείνω το θέμα $2$ από το αρχείο του Θάνου.

Αν $x,y,z> 0$ με $x+y+z=1$ , αποδείξτε ότι $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\sqrt{3xyz}\leq 1.$

2 Απαντήσεις

477 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Τρί Αύγ 20, 2019 12:39 pm
Γειτονικοί ρητοί

Τελευταία δημοσίευση από minageus « Τετ Ιουν 05, 2019 1:34 pm
Απαντήσεις: 5
από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 28, 2017 1:09 am

ακολουθία-ρητών

Ως συνέχεια αυτής της ανάρτησης:

Γράφουμε σε αύξουσα σειρά, όλους τους θετικούς ρητούς (σε ανάγωγη μορφή) με παρονομαστή το πολύ $99$. Ποιοι είναι οι δύο γειτονικοί ρητοί του $\frac{5}{8}$;

5 Απαντήσεις

1127 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από minageus
Τετ Ιουν 05, 2019 1:34 pm
Ανώμαλη μετάβαση

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Παρ Μάιος 03, 2019 1:27 pm
Απαντήσεις: 3
από KARKAR » Παρ Μάιος 03, 2019 8:50 am

άθροισμα--αντιστρόφων

$\bigstar$ Αν για τον θετικό αριθμό $x$ , είναι : $x^2+\dfrac{1}{x^2}=23$ , βρείτε το : $x^5+\dfrac{1}{x^5}$

3 Απαντήσεις

436 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Παρ Μάιος 03, 2019 1:27 pm
Εξίσωση - αλεπού

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος « Τρί Απρ 16, 2019 9:17 pm
Απαντήσεις: 1
από KARKAR » Τρί Απρ 16, 2019 8:27 pm

εξίσωση

Αν $a\in \mathbb{R}$ , λύστε - στο $ \mathbb{R}$ φυσικά - την εξίσωση :

$x^4+4x^3+(3-a)x^2-(2+2a)x+a=0$

1 Απαντήσεις

373 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος
Τρί Απρ 16, 2019 9:17 pm
Σύστημα

Τελευταία δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ « Τρί Απρ 09, 2019 11:15 pm
Απαντήσεις: 1
από Prødigy » Τρί Απρ 09, 2019 10:25 pm

Τρεις-άγνωστοι

Σύστημα

3ου-βαθμού

Να λυθεί το σύστημα στο σύνολο των ακέραιων αριθμών:

$x^3-4x^2-16x+60=y$
$y^3-4y^2-16y+60=w$
$w^3-4w^2-16w+60=x$

Δηλώνω εκ των προτέρων ότι δεν έχω λύση.

Ελπίζω ο φάκελος να είναι ο κατάλληλος.

1 Απαντήσεις

446 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Τρί Απρ 09, 2019 11:15 pm
Τριγωνομετρία Γυμνασίου

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Τετ Μαρ 13, 2019 6:38 pm
Απαντήσεις: 3
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Φεβ 17, 2019 12:00 am

συνημίτονα--άθροισμα

Εστω

$a_{i}\in \mathbb{R},i=1,2,...,N$

Να δειχθεί ότι για κάθε

$x\in \mathbb{R}$

είναι

$\displaystyle \sum _{1\leq i

3 Απαντήσεις

766 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Τετ Μαρ 13, 2019 6:38 pm
Εξίσωση με πρώτο αριθμό

Τελευταία δημοσίευση από Prødigy « Δευ Μαρ 11, 2019 5:04 pm
Απαντήσεις: 2
από panagiotis iliopoulos » Πέμ Απρ 05, 2018 6:49 am

Εξίσωση-με-πρώτο-αριθμό

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι $p$ για τους οποίους η εξίσωση $x^{4}+4=py^{4}$ έχει λύση στους ακεραίους $x,y$.

2 Απαντήσεις

899 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Prødigy
Δευ Μαρ 11, 2019 5:04 pm
Mε τον κατάλληλο τρόπο γίνεται απλή

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Κυρ Φεβ 03, 2019 10:06 am
Απαντήσεις: 1
από Xriiiiistos » Κυρ Φεβ 03, 2019 9:05 am

ανισότητα

Αν $a,b,c$ θετικοί με $b+c>1$ να δείξεται ότι

$\frac{(a+b+1)^{3}}{b+a+2c-1}+\frac{(b+c-1)^{3}}{c+b+2a+1}+\frac{(a+c)^{3}}{a+c+2b}\geq \frac{2}{3}(a+b+c)^{2}$

Η ισότητα πότε ισχύει;

1 Απαντήσεις

454 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Φεβ 03, 2019 10:06 am
Ελάχιστη τιμή

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Τετ Ιαν 30, 2019 10:34 pm
Απαντήσεις: 3
από Prødigy » Τετ Ιαν 30, 2019 9:03 pm

Άλγεβρα

Αν $x>0$ να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$A=\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})}$

Για 48 ώρες ανοικτή μόνο για μαθητές.

3 Απαντήσεις

587 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Τετ Ιαν 30, 2019 10:34 pm
Ανισότητα!

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Κυρ Ιαν 27, 2019 10:56 pm
Απαντήσεις: 3
από Prødigy » Κυρ Ιαν 27, 2019 7:59 pm

Ανισότητα

Αν $a,b,c>0$ να αποδείξετε ότι:

$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{a+b+c}$

Πότε ισχύει η ισότητα;

Την αφήνω για 48 ώρες.

3 Απαντήσεις

793 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 27, 2019 10:56 pm
Ανισότητα

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Πέμ Ιαν 10, 2019 12:11 am
Απαντήσεις: 1
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Πέμ Ιουν 14, 2018 3:25 am

Ανισότητα

Αν $\displaystyle{a,\ b,\ c}$ $\displaystyle{>0}$ , ώστε $\displaystyle{a+b+c=3}$ να δείξετε ότι:
$\displaystyle{\sqrt{\frac 23}\left(\sqrt {a}\ +\sqrt {b}\ + \sqrt {c}\hskip 0.05 in\right)
+\sqrt{a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)\ }\geq\sqrt{6}.}$
Πηγή: (Aops)...

1 Απαντήσεις

781 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 10, 2019 12:11 am

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 118 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση