Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 143 θέματα

1
2
3
4
5
6
Επόμενη

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 2
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

2 Απαντήσεις

6192 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 9
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

9 Απαντήσεις

6111 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

22235 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

82389 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

95957 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 18)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 18
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

18 Απαντήσεις

156307 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Τρίγωνο-97.

Τελευταία δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης « Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm

από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm

Τρίγωνο

10.png

Καλησπέρα .

Στο τρίγωνο $AB\Gamma$ του παραπάνω σχήματος είναι $AB=\Gamma \Delta$ .
Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

0 Απαντήσεις

20 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης
Παρ Σεπ 21, 2018 9:35 pm
Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος-1.

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Κυρ Σεπ 16, 2018 6:29 pm
Απαντήσεις: 1
από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 16, 2018 5:34 pm

Ημικύκλια

Κύκλος

10.png

Καλησπέρα .

Στο παραπάνω σχήμα το $O$ είναι κέντρο του μεγάλου ημικύκλιου.

Δείξτε ότι: $\dfrac{x}{y}=\sqrt{2}$ ($C, D, E, Z, T$ σημεία επαφής).

1 Απαντήσεις

81 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Κυρ Σεπ 16, 2018 6:29 pm
Τετράπλευρο-13.

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης « Κυρ Σεπ 16, 2018 1:26 am
Απαντήσεις: 1
από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Σεπ 15, 2018 11:40 pm

Τετράπλευρο

3.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

1 Απαντήσεις

74 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης
Κυρ Σεπ 16, 2018 1:26 am
Τρίγωνο-94.

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος « Σάβ Σεπ 15, 2018 12:57 am
Απαντήσεις: 7
από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Σεπ 13, 2018 9:13 pm

Τρίγωνο

1.png

Καλησπέρα.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος είναι $x+y=a+b$.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

7 Απαντήσεις

194 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος
Σάβ Σεπ 15, 2018 12:57 am
Καθετότητα σε ισοσκελή

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Παρ Σεπ 14, 2018 7:04 pm
Απαντήσεις: 2
από george visvikis » Σάβ Σεπ 08, 2018 8:31 pm

ισοσκελές-τρίγωνο

Καθετότητα σε ισοσκελή.png
Στο παραπάνω σχήμα να δείξετε ότι $CP\bot AB.$

2 Απαντήσεις

262 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Παρ Σεπ 14, 2018 7:04 pm
Ανίσωση από τρίγωνο

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos « Πέμ Σεπ 06, 2018 10:01 am
Απαντήσεις: 2
από Xriiiiistos » Τετ Σεπ 05, 2018 1:43 pm

εγγράψιμο

To τρίγωνο $ABC$ είναι τέτοιο ώστε αν $E$ σημείο τομής της $BC$ με την διχοτόμο της γωνίας $\widehat{BAC}$ και $D$ το συμμετρικό του $A$ ως προς το $E$ τότε $ABDC$ είναι εγγράψιμο. Να αποδείξετε

$BC^{2}\geq CD(AC+AB)$

2 Απαντήσεις

138 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Xriiiiistos
Πέμ Σεπ 06, 2018 10:01 am
Τρίγωνο-93.

Τελευταία δημοσίευση από Doloros « Τρί Σεπ 04, 2018 11:38 am
Απαντήσεις: 3
από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Σεπ 02, 2018 7:49 pm

Τρίγωνο

1.png

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta $.

3 Απαντήσεις

159 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Doloros
Τρί Σεπ 04, 2018 11:38 am
Λόγος τμημάτων-1.

Τελευταία δημοσίευση από Doloros « Παρ Αύγ 31, 2018 10:04 pm
Απαντήσεις: 3
από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Αύγ 29, 2018 9:26 pm

Τραπέζιο

2.png

Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{\alpha }{\beta }$.

3 Απαντήσεις

161 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Doloros
Παρ Αύγ 31, 2018 10:04 pm
Τρίγωνο-92.

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Τετ Αύγ 29, 2018 7:01 pm
Απαντήσεις: 2
από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Αύγ 29, 2018 12:18 am

Τρίγωνο

1.png

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές.

Υπολογίστε το μήκος της πλευράς $AB$.

2 Απαντήσεις

114 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Τετ Αύγ 29, 2018 7:01 pm
Τρίγωνο-90.

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης « Δευ Αύγ 27, 2018 12:41 pm
Απαντήσεις: 4
από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Αύγ 24, 2018 11:39 pm

Τρίγωνο

1.png

Το τρίγωνο $ABC$ είναι ισόπλευρο.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $\chi=DE$.

4 Απαντήσεις

194 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Αύγ 27, 2018 12:41 pm
Τρίγωνο-91.

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης « Δευ Αύγ 27, 2018 12:25 am
Απαντήσεις: 2
από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Αύγ 26, 2018 8:42 pm

Τρίγωνο

3.png

Καλησπέρα.

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta $.

2 Απαντήσεις

106 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης
Δευ Αύγ 27, 2018 12:25 am
Τετράπλευρο μπελάς.

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Σάβ Αύγ 25, 2018 11:56 pm
Απαντήσεις: 1
από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Αύγ 25, 2018 11:09 pm

Τετράπλευρο

2.png

Στο τετράπλευρο $ABCD$ του σχήματος, είναι $BC=CD$.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

1 Απαντήσεις

93 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Αύγ 25, 2018 11:56 pm
Τετράπλευρο -12.

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Πέμ Αύγ 23, 2018 9:57 am
Απαντήσεις: 1
από Φανης Θεοφανιδης » Τετ Αύγ 22, 2018 10:29 pm

Τετράπλευρο

1.png

Καλησπέρα.

Στο σχήμα που δίνεται, δείξτε ότι $\chi =y$.

1 Απαντήσεις

98 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Πέμ Αύγ 23, 2018 9:57 am
Τετράπλευρο-11.

Τελευταία δημοσίευση από Altrian « Κυρ Αύγ 19, 2018 7:50 pm
Απαντήσεις: 1
από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Αύγ 18, 2018 11:28 pm

Τετράπλευρο

1.png

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

1 Απαντήσεις

159 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Altrian
Κυρ Αύγ 19, 2018 7:50 pm
Τρίγωνο-87.

Τελευταία δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης « Τετ Αύγ 01, 2018 11:08 pm
Απαντήσεις: 4
από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Ιούλ 30, 2018 8:11 pm

Τρίγωνο

1.png

Καλησπέρα .

Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

4 Απαντήσεις

289 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης
Τετ Αύγ 01, 2018 11:08 pm
Υπερμενέλαος

Τελευταία δημοσίευση από Doloros « Πέμ Ιούλ 19, 2018 11:19 am
Απαντήσεις: 2
από KARKAR » Τετ Ιούλ 18, 2018 7:49 pm

ημικύκλιο

Υπερμενέλαος.png Στην προέκταση της διαμέτρου $AOB=2r$ ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο $T$ , ώστε : $BT=3r$ .

Πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου θεωρούμε τυχόν σημείο $P$ . Ονομάζουμε $D$ την τομή του τόξου με

την $PB$ , $C$ την τομή του τόξου με...

2 Απαντήσεις

214 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Doloros
Πέμ Ιούλ 19, 2018 11:19 am
Συμμετρικό και μέγιστο

Τελευταία δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος « Τετ Ιούλ 18, 2018 3:33 pm
Απαντήσεις: 2
από KARKAR » Τετ Ιούλ 11, 2018 12:27 pm

κύκλος

συμμετρικό

Συμμετρικό και μέγιστο ύψος.png Η $AB$ είναι διάμετρος κύκλου $(O,r)$ , το σημείο $P$ κινείται στο βόρειο ημικύκλιο και

τα $M,N$ είναι τα μέσα των $AP,OP$ αντίστοιχα . Ονομάζουμε $T$ την τομή της $BN$

με το κύκλο και $S$ την τομή της $TM$ μ'...

2 Απαντήσεις

210 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος
Τετ Ιούλ 18, 2018 3:33 pm
σταθερός λόγος

Τελευταία δημοσίευση από Doloros « Κυρ Ιούλ 15, 2018 11:19 pm
Απαντήσεις: 1
από rek2 » Κυρ Ιούλ 15, 2018 9:52 pm

εφαπτόμενο-τμήμα

κύκλος

Την πρόταση που ακολουθεί δεν την έχω ξαναδεί. Δίνει άμεση λύση σ' αυτή:

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο $A$. Έστω μεταβλητό σημείο $P$ του ενός και $PE$ το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται εκ του $P$ στον άλλο κύκλο.

Να αποδειχτεί ότι ο λόγος...

1 Απαντήσεις

189 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Doloros
Κυρ Ιούλ 15, 2018 11:19 pm
Τρίγωνο-84.

Τελευταία δημοσίευση από STOPJOHN « Παρ Ιούλ 13, 2018 7:24 pm
Απαντήσεις: 4
από Φανης Θεοφανιδης » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:48 pm

Τρίγωνο

1.png

Το τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο.
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $\chi =AD$.

4 Απαντήσεις

218 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από STOPJOHN
Παρ Ιούλ 13, 2018 7:24 pm
Τρίγωνο-82.

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης « Τετ Ιούλ 11, 2018 12:38 am
Απαντήσεις: 4
από Φανης Θεοφανιδης » Τρί Ιούλ 10, 2018 7:50 pm

Τρίγωνο

1.png

Καλησπέρα.

Το τρίγωνο $ABC$ του παραπάνω σχήματος είναι ισόπλευρο. Κατασκευάστε το σημείο $D$
και εν συνεχεία υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{BD}$.

4 Απαντήσεις

155 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης
Τετ Ιούλ 11, 2018 12:38 am
Τόπος σύγκλισης

Τελευταία δημοσίευση από Doloros « Δευ Ιουν 04, 2018 10:37 am
Απαντήσεις: 3
από KARKAR » Κυρ Ιουν 03, 2018 1:16 pm

συντρέχουν

Τόπος σύγκλισης.png Σημείο $P$ κινείται στη διάμετρο $AOB$ ενός ημικυκλίου . Υψώνω το κάθετο προς την $AB$ ,

τμήμα $PT$ και ονομάζω $M$ το μέσο του . Δείξτε ότι η $AM$ , η διχοτόμος της $\widehat{TOB}$ και

η εφαπτομένη του τόξου στο $T$...

3 Απαντήσεις

233 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Doloros
Δευ Ιουν 04, 2018 10:37 am
Άνισες γωνίες

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Πέμ Μάιος 10, 2018 10:46 pm
Απαντήσεις: 1
από KARKAR » Πέμ Μάιος 10, 2018 7:13 pm

τετράγωνο

Άνισες γωνίες.png Με κέντρο την κορυφή $D$ , τετραγώνου $ABCD$ , γράφουμε τον κύκλο $(D,DA)$

και έστω $C'$ το αντιδιαμετρικό του $C$ και $P$ τυχόν σημείο της πλευράς $BC$ .

Η $C'P$ τέμνει την προέκταση της $AB$ στο $S$ , από το οποίο φέρουμε το...

1 Απαντήσεις

161 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μάιος 10, 2018 10:46 pm
Ναι στην ισότητα !

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ « Δευ Μάιος 07, 2018 9:15 am
Απαντήσεις: 1
από KARKAR » Κυρ Μάιος 06, 2018 10:43 am

ισότητα

Ναι στην ισότητα.png Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle ABC$ βρίσκεται σημείο $S$ , ώστε : $\widehat{ABS}=\widehat{ACS}$ .

Ο κύκλος διαμέτρου $AS$ τέμνει τις πλευρές $AB,AC$ στα $T,P$ αντίστοιχα .

Αν το σημείο $M$ είναι το μέσο της πλευράς...

1 Απαντήσεις

206 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Δευ Μάιος 07, 2018 9:15 am
Ίσα γινόμενα 3

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος « Τρί Μάιος 01, 2018 1:55 am
Απαντήσεις: 2
από KARKAR » Δευ Απρ 30, 2018 1:31 pm

τεμνόμενοι--κύκλοι

Ίσα γινόμενα.png Κύκλος διερχόμενος από τα σημεία $S(1,0)$ και $P(7,0)$ , τέμνει τον κύκλο :

$x^2+y^2=25$ , στα σημεία $Q,T$ . Δείξτε ότι : $SQ\cdot ST=PQ\cdot PT$ .

2 Απαντήσεις

184 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος
Τρί Μάιος 01, 2018 1:55 am
Μέγιστη γωνία!

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Τρί Απρ 24, 2018 10:00 am
Απαντήσεις: 3
από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 23, 2018 9:34 pm

μέγιστη-γωνία

Σε τρίγωνο $\vartriangle ABC$, το $M$ είναι το μέσο της $BC$. Αν δίνεται ότι $\widehat{MAC}=15^\circ$, να βρείτε την μέγιστη (δυνατή) τιμή της γωνίας $\phi=\widehat{ABC}$.

MAX-angle.png

3 Απαντήσεις

235 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Τρί Απρ 24, 2018 10:00 am

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 143 θέματα

1
2
3
4
5
6
Επόμενη

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση