Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 58 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Δεκ 31, 2018 3:15 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 3
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

3 Απαντήσεις

8535 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Δεκ 31, 2018 3:15 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

8442 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

23915 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

84126 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

98243 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 19 και 20)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Οκτ 27, 2018 5:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 19
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

19 Απαντήσεις

159159 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Οκτ 27, 2018 5:52 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Τέλειος κύβος

Τελευταία δημοσίευση από min## « Κυρ Φεβ 17, 2019 2:20 pm
Απαντήσεις: 4
από Chagi » Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm

Εκθέτες

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

4 Απαντήσεις

316 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Κυρ Φεβ 17, 2019 2:20 pm
Εύρεση τριών ακεραίων!

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Δεκ 30, 2018 10:16 pm
Απαντήσεις: 1
από matha » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm

ακέραιοι

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι $\displaystyle{a,b,c,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{2019}.}$

1 Απαντήσεις

273 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Δεκ 30, 2018 10:16 pm
Άγνωστοι εκθέτες

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Νοέμ 07, 2018 8:23 pm
Απαντήσεις: 3
από Xriiiiistos » Τετ Νοέμ 07, 2018 2:24 pm

ακέραιες-λύσεις

Αν $a,b,c\in \mathbb{N}$ με $12,8$ δεν διαιρούν το $c$ να λύθει ή εξίσωση

$50^{a}+21^{b}=37^{c}$

3 Απαντήσεις

378 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Νοέμ 07, 2018 8:23 pm
3 πρώτοι

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Τρί Οκτ 30, 2018 10:46 pm
Απαντήσεις: 1
από Xriiiiistos » Τρί Οκτ 30, 2018 6:16 pm

εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών $p,q,s$ που επαληθεύουν $p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0$

1 Απαντήσεις

311 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Τρί Οκτ 30, 2018 10:46 pm
Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Τελευταία δημοσίευση από ksofsa « Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm
Απαντήσεις: 1
από dement » Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am

ρητός

ακολουθία

ακέραιος

Έστω θετικοί $x, y \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε $x \neq y $ και ο $x^n - y^n$ είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του $n \in \mathbb{N}$. Αποδείξτε ότι οι $x, y$ είναι ακέραιοι.

1 Απαντήσεις

631 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ksofsa
Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm
IMC/2006/2/5

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm

από Demetres » Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm

IMC

διοφαντική

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη σχετικώς πρώτων θετικών ακεραίων $(m,n)$ ώστε η εξίσωση $(x+m)^3 = nx$ να έχει τρεις διακεκριμένες ακέραιες ρίζες.

0 Απαντήσεις

308 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm
Έυρεση πρώτων!

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am
Απαντήσεις: 1
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:55 am

πρώτοι

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

1 Απαντήσεις

317 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am
Λύσεις στους ρητούς

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Ιουν 18, 2018 7:03 am
Απαντήσεις: 1
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:38 am

ρητοί

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0}$ δεν έχει λύσεις στους ρητούς.

1 Απαντήσεις

294 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Ιουν 18, 2018 7:03 am
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Απαντήσεις: 4
από Number » Σάβ Μάιος 12, 2018 7:46 pm

Διαιρετότητα

Αν a,b,c ακέραιοι να δείξετε ότι $(a-b)(b-c)(c-a)+4\not\equiv 0 (mod 7)$ .

4 Απαντήσεις

586 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Απαντήσεις: 2
από Number » Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm

Διαιρετότητα

ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$. Να δείξετε ότι $3|a$ και $3|b$.

2 Απαντήσεις

369 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Γινόμενο Παραγοντικών

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Απαντήσεις: 3
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Πέμ Μαρ 29, 2018 5:41 pm

παραγοντικό

εξίσωση

Να εξεταστεί εάν η εξίσωση $x!y!=z!$ έχει λύση στους φυσικούς $x,y,z\geq 6$.

Edit: Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για την διόρθωση.

3 Απαντήσεις

521 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Απαντήσεις: 6
από panagiotis iliopoulos » Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pm

διαιρετότητα

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $m,n$ για τους οποίους ο αριθμός $\frac{n^{3}+1}{mn-1}$ είναι ακέραιος.

6 Απαντήσεις

676 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Διαχωρισμός

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Απαντήσεις: 2
από ipazia1777 » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:10 pm

Διαχωρισμός

αριθμητική

Καθορίστε όλα τα ζεύγη $(a, b)$ με α και β θετικούς ακέραιους αριθμούς,
έτσι ώστε το $\frac {b^3+1}{ab-1}$ να είναι ένας ακέραιος αριθμός.

2 Απαντήσεις

749 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Πρώτοι διαιρούν!

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Απαντήσεις: 1
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Φεβ 20, 2018 10:36 pm

δυνάμεις

πρώτοι

Μπορεί να την έχουμε ξαναδεί:

Να βρεθούν όλα τα ζευγάρια πρώτων $p, q$ έτσι ώστε $pq|5^p+5^q$.

1 Απαντήσεις

624 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Υπόλοιπο διαίρεσης!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Απαντήσεις: 5
από matha » Πέμ Ιαν 25, 2018 10:02 am

διαίρεση

υπόλοιπο

Ας είναι $\displaystyle{p}$ πρώτος.Θεωρούμε τον αριθμό

$\displaystyle{\xi=\prod_{k=1}^{p-1}(k^2+1).}$

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{\xi :p.}$

5 Απαντήσεις

820 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Μέγιστη τιμή ακεραίου

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Απαντήσεις: 1
από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm

ακέραιο-μέρος

πρώτος

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου $n$ για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor}$ είναι πρώτος.

1 Απαντήσεις

568 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Ακριβώς κ διαφορετικοί μέγιστοι κοινοί διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Σάβ Δεκ 09, 2017 6:05 pm

ΜΚΔ

μέγιστος-κοινός-διαιρέτης

Έστω ακέραιος $n \geq 3$. Να δειχθεί ότι για κάθε $k$, με $1 \leq k \leq \binom{n}{2}$, υπάρχει ένα σύνολο $A$ από $n$ διακεκριμένους θετικούς ακεραίους ώστε το σύνολο

$\displaystyle B = \{\gcd(x, y): x, y \in A, x \neq y \}$

να περιέχει ακριβώς...

2 Απαντήσεις

640 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm
Putnam 2017/A1

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 am

2017

Putnam

Το $S$ είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) $2 \in S$
(β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$, και
(γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$.

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο $S$

(Το σύνολο $S$ είναι το «μικρότερο»...

1 Απαντήσεις

669 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm
Εύρεση ακεραίου

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Νοέμ 30, 2017 10:55 am
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Τετ Νοέμ 29, 2017 9:26 pm

πολλαπλάσιο

Υπάρχει πολλαπλάσιο του $103$ , $x$ για το οποίο ισχύει: $2^{2x+1} \equiv 2 \mod x$;

1 Απαντήσεις

572 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Νοέμ 30, 2017 10:55 am
ΜΚΔ

Τελευταία δημοσίευση από dement « Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm
Απαντήσεις: 1
από polysindos » Παρ Νοέμ 03, 2017 7:08 pm

θεωρία-αριθμών

Υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών ώστε το άθροισμα

$GCD(a^2,b^2)+GCD(a,bc)+GCD(b,ca)+GCD(c,ab)$

να είναι $2016,2017$ ή $2018$;

1 Απαντήσεις

681 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm
Tricky θεωρία αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης « Παρ Σεπ 15, 2017 1:07 pm
Απαντήσεις: 3
από Panagiotis11 » Τετ Σεπ 13, 2017 1:06 pm

sfft

διοφαντικη

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων$(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$2(x^2+y^2)+x+y=5xy$

3 Απαντήσεις

817 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Σεπ 15, 2017 1:07 pm
Μεγάλος πρώτος διαιρέτης

Τελευταία δημοσίευση από min## « Πέμ Σεπ 07, 2017 4:14 pm
Απαντήσεις: 1
από Panagiotis11 » Πέμ Σεπ 07, 2017 3:30 pm

διαιρέτης-μεγαλύτερος-του-1000

Δίνεται ότι ο αριθμός $4^{11}+1$ διαιρείται από κάποιον πρώτο μεγαλύτερο του $1000$.Να βρείτε αυτόν τον πρώτο.

1 Απαντήσεις

696 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Πέμ Σεπ 07, 2017 4:14 pm
Putnam 2014/B1

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Παρ Ιούλ 28, 2017 12:53 pm

Putnam

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση $10$ ενός θετικού ακεραίου $N$ είναι μια παράσταση του $N$ στην μορφή

$\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$

με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε $i$, και $d_k \neq 0$. Π.χ. ο $N=10$...

1 Απαντήσεις

838 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Putnam 2013/A2

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Παρ Αύγ 18, 2017 10:44 am

2013

Putnam

Έστω $S$ το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων οι οποίοι δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Για $n \in S$ θεωρούμε όλες τις πιθανές επιλογές ακεραίων $a_1,\ldots,a_r$ ώστε

$\displaystyle{ n < a_1 < \cdots < a_r }$ και το $\displaystyle{n a_1 \cdots a_r}$...

2 Απαντήσεις

818 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am
Γινόμενο πρώτων αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11 « Τετ Ιούλ 05, 2017 5:45 pm
Απαντήσεις: 6
από Panagiotis11 » Παρ Ιουν 30, 2017 11:20 pm

Πρώτοι

Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $m$ έτσι ώστε $m^2-m+11$ να είναι γινόμενο τεσσάρων( όχι απαραίτητα διαφορετικών ) πρώτων αριθμών

6 Απαντήσεις

1297 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11
Τετ Ιούλ 05, 2017 5:45 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 58 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση