Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 51 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 2
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

2 Απαντήσεις

5515 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 9
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

9 Απαντήσεις

5497 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

21725 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

81819 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

95067 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 18)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 18
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

18 Απαντήσεις

155560 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Απαντήσεις: 4
από Number » Σάβ Μάιος 12, 2018 7:46 pm

Διαιρετότητα

Αν a,b,c ακέραιοι να δείξετε ότι $(a-b)(b-c)(c-a)+4\not\equiv 0 (mod 7)$ .

4 Απαντήσεις

311 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Τελευταία δημοσίευση από dement « Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am

από dement » Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am

ρητός

ακολουθία

ακέραιος

Έστω θετικοί $x, y \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε $x \neq y $ και ο $x^n - y^n$ είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του $n \in \mathbb{N}$. Αποδείξτε ότι οι $x, y$ είναι ακέραιοι.

0 Απαντήσεις

137 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Απαντήσεις: 2
από Number » Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm

Διαιρετότητα

ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$. Να δείξετε ότι $3|a$ και $3|b$.

2 Απαντήσεις

166 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Γινόμενο Παραγοντικών

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Απαντήσεις: 3
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Πέμ Μαρ 29, 2018 5:41 pm

παραγοντικό

εξίσωση

Να εξεταστεί εάν η εξίσωση $x!y!=z!$ έχει λύση στους φυσικούς $x,y,z\geq 6$.

Edit: Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για την διόρθωση.

3 Απαντήσεις

246 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Απαντήσεις: 6
από panagiotis iliopoulos » Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pm

διαιρετότητα

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $m,n$ για τους οποίους ο αριθμός $\frac{n^{3}+1}{mn-1}$ είναι ακέραιος.

6 Απαντήσεις

364 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Διαχωρισμός

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Απαντήσεις: 2
από ipazia1777 » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:10 pm

Διαχωρισμός

αριθμητική

Καθορίστε όλα τα ζεύγη $(a, b)$ με α και β θετικούς ακέραιους αριθμούς,
έτσι ώστε το $\frac {b^3+1}{ab-1}$ να είναι ένας ακέραιος αριθμός.

2 Απαντήσεις

538 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Πρώτοι διαιρούν!

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Απαντήσεις: 1
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Φεβ 20, 2018 10:36 pm

δυνάμεις

πρώτοι

Μπορεί να την έχουμε ξαναδεί:

Να βρεθούν όλα τα ζευγάρια πρώτων $p, q$ έτσι ώστε $pq|5^p+5^q$.

1 Απαντήσεις

402 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Υπόλοιπο διαίρεσης!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Απαντήσεις: 5
από matha » Πέμ Ιαν 25, 2018 10:02 am

διαίρεση

υπόλοιπο

Ας είναι $\displaystyle{p}$ πρώτος.Θεωρούμε τον αριθμό

$\displaystyle{\xi=\prod_{k=1}^{p-1}(k^2+1).}$

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{\xi :p.}$

5 Απαντήσεις

552 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Μέγιστη τιμή ακεραίου

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Απαντήσεις: 1
από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm

ακέραιο-μέρος

πρώτος

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου $n$ για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor}$ είναι πρώτος.

1 Απαντήσεις

373 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Ακριβώς κ διαφορετικοί μέγιστοι κοινοί διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Σάβ Δεκ 09, 2017 6:05 pm

ΜΚΔ

μέγιστος-κοινός-διαιρέτης

Έστω ακέραιος $n \geq 3$. Να δειχθεί ότι για κάθε $k$, με $1 \leq k \leq \binom{n}{2}$, υπάρχει ένα σύνολο $A$ από $n$ διακεκριμένους θετικούς ακεραίους ώστε το σύνολο

$\displaystyle B = \{\gcd(x, y): x, y \in A, x \neq y \}$

να περιέχει ακριβώς...

2 Απαντήσεις

465 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm
Putnam 2017/A1

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Δευ Δεκ 04, 2017 10:24 am

2017

Putnam

Το $S$ είναι το μικρότερο σύνολο θετικών ακεραίων ώστε:

(α) $2 \in S$
(β) Αν $n^2 \in S$ τότε $n \in S$, και
(γ) Αν $n \in S$ τότε $(n+5)^2 \in S$.

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι οι οποίοι δεν ανήκουν στο $S$

(Το σύνολο $S$ είναι το «μικρότερο»...

1 Απαντήσεις

462 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Δεκ 05, 2017 7:57 pm
Εύρεση ακεραίου

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Νοέμ 30, 2017 10:55 am
Απαντήσεις: 1
από JimNt. » Τετ Νοέμ 29, 2017 9:26 pm

πολλαπλάσιο

Υπάρχει πολλαπλάσιο του $103$ , $x$ για το οποίο ισχύει: $2^{2x+1} \equiv 2 \mod x$;

1 Απαντήσεις

408 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Νοέμ 30, 2017 10:55 am
ΜΚΔ

Τελευταία δημοσίευση από dement « Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm
Απαντήσεις: 1
από polysindos » Παρ Νοέμ 03, 2017 7:08 pm

θεωρία-αριθμών

Υπάρχουν τριάδες φυσικών αριθμών ώστε το άθροισμα

$GCD(a^2,b^2)+GCD(a,bc)+GCD(b,ca)+GCD(c,ab)$

να είναι $2016,2017$ ή $2018$;

1 Απαντήσεις

497 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Τρί Νοέμ 14, 2017 7:24 pm
Tricky θεωρία αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης « Παρ Σεπ 15, 2017 1:07 pm
Απαντήσεις: 3
από Panagiotis11 » Τετ Σεπ 13, 2017 1:06 pm

sfft

διοφαντικη

Βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων$(x,y)$ που ικανοποιούν την εξίσωση:

$2(x^2+y^2)+x+y=5xy$

3 Απαντήσεις

611 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Σεπ 15, 2017 1:07 pm
Μεγάλος πρώτος διαιρέτης

Τελευταία δημοσίευση από min## « Πέμ Σεπ 07, 2017 4:14 pm
Απαντήσεις: 1
από Panagiotis11 » Πέμ Σεπ 07, 2017 3:30 pm

διαιρέτης-μεγαλύτερος-του-1000

Δίνεται ότι ο αριθμός $4^{11}+1$ διαιρείται από κάποιον πρώτο μεγαλύτερο του $1000$.Να βρείτε αυτόν τον πρώτο.

1 Απαντήσεις

537 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Πέμ Σεπ 07, 2017 4:14 pm
Putnam 2014/B1

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ « Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Απαντήσεις: 1
από Demetres » Παρ Ιούλ 28, 2017 12:53 pm

Putnam

Ένα υπερ-ανάπτυγμα στην βάση $10$ ενός θετικού ακεραίου $N$ είναι μια παράσταση του $N$ στην μορφή

$\displaystyle{ N = d_k 10^k + d_{k-1}10^{k-1} + \cdots + d_0 10^0}$

με $d_i \in \{0,1,2,\ldots,10\}$ για κάθε $i$, και $d_k \neq 0$. Π.χ. ο $N=10$...

1 Απαντήσεις

651 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 22, 2017 9:29 pm
Putnam 2013/A2

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Παρ Αύγ 18, 2017 10:44 am

2013

Putnam

Έστω $S$ το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων οι οποίοι δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Για $n \in S$ θεωρούμε όλες τις πιθανές επιλογές ακεραίων $a_1,\ldots,a_r$ ώστε

$\displaystyle{ n < a_1 < \cdots < a_r }$ και το $\displaystyle{n a_1 \cdots a_r}$...

2 Απαντήσεις

611 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Σάβ Αύγ 19, 2017 10:29 am
Γινόμενο πρώτων αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11 « Τετ Ιούλ 05, 2017 5:45 pm
Απαντήσεις: 6
από Panagiotis11 » Παρ Ιουν 30, 2017 11:20 pm

Πρώτοι

Να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο $m$ έτσι ώστε $m^2-m+11$ να είναι γινόμενο τεσσάρων( όχι απαραίτητα διαφορετικών ) πρώτων αριθμών

6 Απαντήσεις

1001 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Panagiotis11
Τετ Ιούλ 05, 2017 5:45 pm
Αριθμοί στην περιφέρεια κύκλου

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Ιούλ 02, 2017 10:28 am
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Τετ Ιουν 28, 2017 4:40 pm

2015

Senior-O

Τουρνουά-Πόλεων

μέγιστος-κοινός-διαιρέτης

Στην περιφέρεια ενός κύκλου είναι τοποθετημένοι $2017$ θετικοί ακέραιοι. Η διαφορά μεταξύ κάθε δύο διαδοχικών αριθμών ισούται με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη τους. Να βρεθεί το μέγιστο $N$ ώστε ο $N$ να διαιρεί το γινόμενο των $2017$ αριθμών...

2 Απαντήσεις

715 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Ιούλ 02, 2017 10:28 am
Όλοι σύνθετοι!

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας « Σάβ Ιούλ 01, 2017 1:50 pm
Απαντήσεις: 6
από matha » Δευ Μάιος 20, 2013 7:33 pm

Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί

$\displaystyle{\bullet ~A=2^{2^{4n+1}}+7,}$

$\displaystyle{\bullet ~B=2^{2^{6n+2}}+13,}$

$\displaystyle{\bullet ~ C=2^{2^{10n+1}}+19,}$

$\displaystyle{\bullet ~ D=2^{2^{6n+2}}+21}$

είναι σύνθετοι για κάθε τιμή του...

6 Απαντήσεις

1169 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας
Σάβ Ιούλ 01, 2017 1:50 pm
Τετράγωνο απόστασης

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Ιουν 29, 2017 5:31 pm
Απαντήσεις: 3
από Demetres » Πέμ Ιουν 15, 2017 12:29 pm

άθροισμα-τετραγώνων

Να βρεθεί ο ελάχιστος φυσικός $n$ ώστε αν έχουμε $n$ σημεία με ακέραιες συντεταγμένες στο επίπεδο τότε υπάρχουν δύο που το τετράγωνο της απόστασής τους είναι πολλαπλάσιο του $2016$.

3 Απαντήσεις

703 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Ιουν 29, 2017 5:31 pm
Διοφαντική με δύναμη πρώτου

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας « Πέμ Ιουν 29, 2017 1:36 am
Απαντήσεις: 3
από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιουν 26, 2017 1:33 am

εξισωση

πρωτος

Να βρεθούν όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι $n,m$ και πρώτοι αριθμοί $p$ που είναι τέτοιοι ώστε:
$\displaystyle{\binom{2n}{n}+n!=p^m}$

3 Απαντήσεις

753 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας
Πέμ Ιουν 29, 2017 1:36 am
Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας « Δευ Ιουν 26, 2017 12:28 pm
Απαντήσεις: 2
από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Ιουν 26, 2017 1:36 am

συναρτηση

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:
$f(y+2f(x))=xg(y)+f(yf(x))+y ,\forall x,y\in\mathbb{R}$

2 Απαντήσεις

671 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας
Δευ Ιουν 26, 2017 12:28 pm
Τέλειο τετράγωνο

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Μάιος 18, 2017 2:47 pm
Απαντήσεις: 3
από petros r » Πέμ Ιούλ 25, 2013 8:59 pm

Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί ακέραιοι έτσι ώστε το άθροισμα κάθε δύο από αυτούς να είναι τέλειο τετράγωνο;

3 Απαντήσεις

991 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Μάιος 18, 2017 2:47 pm
Και οι δύο ακέραιοι

Τελευταία δημοσίευση από dement « Πέμ Απρ 13, 2017 3:30 pm
Απαντήσεις: 2
από dement » Τετ Απρ 12, 2017 4:37 pm

θεωρία-αριθμών

Έστω $a, b \in \mathbb{R}$ με $a \neq b$ τέτοιοι ώστε ο $a^n - b^n$ είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο $n$. Αποδείξτε ότι οι $a, b$ είναι ακέραιοι.

2 Απαντήσεις

928 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από dement
Πέμ Απρ 13, 2017 3:30 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 51 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση