Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)

Συντονιστές: cretanman, silouan, rek2

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 66 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 4
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

4 Απαντήσεις

11609 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Νοέμ 02, 2019 12:37 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 10
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

10 Απαντήσεις

11495 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Φεβ 20, 2019 12:52 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

26076 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

86355 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

101133 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 21)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Τρί Οκτ 01, 2019 2:51 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 20
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
1

2
Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...
20 Απαντήσεις

163417 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Τρί Οκτ 01, 2019 2:51 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Ακολουθία!

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Κυρ Δεκ 01, 2019 12:16 am
Απαντήσεις: 2
από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Νοέμ 30, 2019 9:50 pm

ακολουθία

θεωρία-αριθμών

Άλλη μία άσκηση που έφτιαξα :

Έστω η ακολουθία φυσικών $(a_n)$ ώστε :

$\bullet \, \, a_1=0, a_2=1, a_3=6$
$\bullet \, \, a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n+6$, $\forall n \in \mathbb{N}=\{0,1, \ldots \}$.

Να εξετάσετε, αν υπάρχει όρος της ακολουθίας...

2 Απαντήσεις

211 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Δεκ 01, 2019 12:16 am
Σύστημα!

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:39 pm
Απαντήσεις: 2
από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Νοέμ 23, 2019 3:11 pm

σύστημα

Μία άσκηση που έφτιαξα :

Θεωρούμε το σύστημα των εξισώσεων :

$\begin{Bmatrix}
a+b+c=M & \\
4(ab+bc+ca)=M^2&
\end{Bmatrix}$

Να δείξετε, ότι για κάθε $M \in \{2024,2025,2026, \ldots, 2039,2040 \}$, το σύστημα δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις...

2 Απαντήσεις

272 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Νοέμ 24, 2019 1:39 pm
Διαιρετότητα με το 1989

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ « Σάβ Νοέμ 16, 2019 1:05 pm
Απαντήσεις: 2
από matha » Τετ Νοέμ 13, 2019 6:18 pm

1989

διαιρετότητα

Αν $\displaystyle{n\geq 3}$ είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{1989|\Bigleft (n^{n^{n^n}}-n^{n^{n}}\Bigright)}$

2 Απαντήσεις

345 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Νοέμ 16, 2019 1:05 pm
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από christinat « Τρί Αύγ 27, 2019 12:03 am
Απαντήσεις: 5
από petrosqw » Δευ Αύγ 26, 2019 4:20 pm

Θεωρία-Αριθμών

Βρείτε όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους $m$
ώστε $(2^{2m+1})^{2}+1$ να διαιρείται με δυο το πολύ διαφορετικούς μεταξύ τους πρώτους

5 Απαντήσεις

517 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από christinat
Τρί Αύγ 27, 2019 12:03 am
Πρόβλημα Θεωρίας Αριθμών

Τελευταία δημοσίευση από miltosk « Τετ Μάιος 29, 2019 10:07 pm
Απαντήσεις: 15
από minageus » Σάβ Μάιος 25, 2019 7:44 pm

Θεωρία-Αριθμών

Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί της μορφής $13^n+3$ που είναι τέλεια τετράγωνα, με n φυσικό.
Πρόκειται για πρόβλημα που βρήκα στο aops, αλλά κανείς δεν έχει δημοσιεύσει λύση.

15 Απαντήσεις

1230 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από miltosk
Τετ Μάιος 29, 2019 10:07 pm
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Σάβ Μάιος 25, 2019 2:44 am
Απαντήσεις: 1
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 25, 2019 2:13 am

Θεωρία-αριθμών

Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση:

$\displaystyle{3^x +y^2 = 2^y}$

1 Απαντήσεις

358 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Σάβ Μάιος 25, 2019 2:44 am
Μια διαιρετότητα!

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Σάβ Μάιος 11, 2019 7:47 pm
Απαντήσεις: 1
από matha » Παρ Μάιος 10, 2019 11:31 pm

διαιρετότητα

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$, ώστε ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}$

να είναι ακέραιος.

1 Απαντήσεις

488 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:47 pm
Είναι δύσκολη (?) η εκθετική

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pm
Απαντήσεις: 1
από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Μάιος 01, 2019 2:08 pm

Διοφαντική

Εκθετική

Χρόνια Πολλά και Χριστός Ανέστη!

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων $x,y$ που είναι τέτοια ώστε $3^{x}+2=5^{y}$.

Υ.Γ. Ενδεχομένως να είναι αρκετά εύκολη για αυτόν τον φάκελο. Αλλά την προσπαθώ από την προηγούμενη εβδομάδα και δεν έχω...

1 Απαντήσεις

576 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Τετ Μάιος 01, 2019 9:50 pm
Τέλειος κύβος

Τελευταία δημοσίευση από min## « Κυρ Φεβ 17, 2019 2:20 pm
Απαντήσεις: 4
από Chagi » Κυρ Φεβ 17, 2019 1:07 pm

Εκθέτες

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $2^n + 3^n$ δεν είναι τέλειος κύβος για καμιά τιμή του φυσικού $n$.

Από φυλλάδιο του κυρίου Θάνου Μάγκου.

4 Απαντήσεις

590 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Κυρ Φεβ 17, 2019 2:20 pm
Εύρεση τριών ακεραίων!

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Κυρ Δεκ 30, 2018 10:16 pm
Απαντήσεις: 1
από matha » Κυρ Δεκ 30, 2018 9:35 pm

ακέραιοι

Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι $\displaystyle{a,b,c,}$ για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{2019}.}$

1 Απαντήσεις

468 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Κυρ Δεκ 30, 2018 10:16 pm
Άγνωστοι εκθέτες

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Νοέμ 07, 2018 8:23 pm
Απαντήσεις: 3
από Xriiiiistos » Τετ Νοέμ 07, 2018 2:24 pm

ακέραιες-λύσεις

Αν $a,b,c\in \mathbb{N}$ με $12,8$ δεν διαιρούν το $c$ να λύθει ή εξίσωση

$50^{a}+21^{b}=37^{c}$

3 Απαντήσεις

606 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Νοέμ 07, 2018 8:23 pm
3 πρώτοι

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Τρί Οκτ 30, 2018 10:46 pm
Απαντήσεις: 1
από Xriiiiistos » Τρί Οκτ 30, 2018 6:16 pm

εξίσωση

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πρώτων αριθμών $p,q,s$ που επαληθεύουν $p^{3}-p^{2}-q^{2}-s^{2}=0$

1 Απαντήσεις

501 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Τρί Οκτ 30, 2018 10:46 pm
Οι ρητοί είναι ακέραιοι

Τελευταία δημοσίευση από ksofsa « Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm
Απαντήσεις: 1
από dement » Τετ Απρ 25, 2018 10:25 am

ρητός

ακολουθία

ακέραιος

Έστω θετικοί $x, y \in \mathbb{Q}$ τέτοιοι ώστε $x \neq y $ και ο $x^n - y^n$ είναι ακέραιος για άπειρο πλήθος τιμών του $n \in \mathbb{N}$. Αποδείξτε ότι οι $x, y$ είναι ακέραιοι.

1 Απαντήσεις

824 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ksofsa
Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:16 pm
IMC/2006/2/5

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm

από Demetres » Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm

IMC

διοφαντική

Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη σχετικώς πρώτων θετικών ακεραίων $(m,n)$ ώστε η εξίσωση $(x+m)^3 = nx$ να έχει τρεις διακεκριμένες ακέραιες ρίζες.

0 Απαντήσεις

449 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Ιουν 21, 2018 1:52 pm
Έυρεση πρώτων!

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am
Απαντήσεις: 1
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:55 am

πρώτοι

Βρείτε όλους τους πρώτους $\displaystyle{p,q}$ ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{\left( 5^{p}-2^{p} \right )\left (5^{q}-2^{q} \right )}{pq}}$ να είναι ακέραιος.

1 Απαντήσεις

441 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Δευ Ιουν 18, 2018 10:46 am
Λύσεις στους ρητούς

Τελευταία δημοσίευση από matha « Δευ Ιουν 18, 2018 7:03 am
Απαντήσεις: 1
από ΑΝΔΡΕΑΣ ΛΑΜΠΡΟΥ » Δευ Ιουν 18, 2018 1:38 am

ρητοί

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\left (x+y+z\right )+5=0}$ δεν έχει λύσεις στους ρητούς.

1 Απαντήσεις

457 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Δευ Ιουν 18, 2018 7:03 am
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Απαντήσεις: 4
από Number » Σάβ Μάιος 12, 2018 7:46 pm

Διαιρετότητα

Αν a,b,c ακέραιοι να δείξετε ότι $(a-b)(b-c)(c-a)+4\not\equiv 0 (mod 7)$ .

4 Απαντήσεις

787 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Δευ Μάιος 14, 2018 8:02 am
Διαιρετότητα

Τελευταία δημοσίευση από silouan « Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Απαντήσεις: 2
από Number » Τρί Απρ 24, 2018 8:06 pm

Διαιρετότητα

ΑΝ $a,b\in N$ και $9|a^{2}+ab+b^{2}$. Να δείξετε ότι $3|a$ και $3|b$.

2 Απαντήσεις

561 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από silouan
Τετ Απρ 25, 2018 2:29 am
Γινόμενο Παραγοντικών

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou « Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Απαντήσεις: 3
από harrisp » Πέμ Μαρ 29, 2018 5:41 pm

παραγοντικό

εξίσωση

Να εξεταστεί εάν η εξίσωση $x!y!=z!$ έχει λύση στους φυσικούς $x,y,z\geq 6$.

Edit: Ευχαριστώ τον κ. Λάμπρου για την διόρθωση.

3 Απαντήσεις

730 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Mihalis_Lambrou
Πέμ Μαρ 29, 2018 10:27 pm
Διαιρετότητα για θετικούς ακεραίους

Τελευταία δημοσίευση από achilleas « Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Απαντήσεις: 6
από panagiotis iliopoulos » Τετ Μαρ 21, 2018 5:44 pm

διαιρετότητα

θεωρία-αριθμών

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $m,n$ για τους οποίους ο αριθμός $\frac{n^{3}+1}{mn-1}$ είναι ακέραιος.

6 Απαντήσεις

925 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από achilleas
Τρί Μαρ 27, 2018 9:09 pm
Διαχωρισμός

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas « Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Απαντήσεις: 2
από ipazia1777 » Σάβ Δεκ 16, 2017 1:10 pm

Διαχωρισμός

αριθμητική

Καθορίστε όλα τα ζεύγη $(a, b)$ με α και β θετικούς ακέραιους αριθμούς,
έτσι ώστε το $\frac {b^3+1}{ab-1}$ να είναι ένας ακέραιος αριθμός.

2 Απαντήσεις

916 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sokpanvas
Τετ Φεβ 28, 2018 6:17 pm
Πρώτοι διαιρούν!

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Απαντήσεις: 1
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Φεβ 20, 2018 10:36 pm

δυνάμεις

πρώτοι

Μπορεί να την έχουμε ξαναδεί:

Να βρεθούν όλα τα ζευγάρια πρώτων $p, q$ έτσι ώστε $pq|5^p+5^q$.

1 Απαντήσεις

796 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τετ Φεβ 21, 2018 8:25 pm
Υπόλοιπο διαίρεσης!

Τελευταία δημοσίευση από matha « Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Απαντήσεις: 5
από matha » Πέμ Ιαν 25, 2018 10:02 am

διαίρεση

υπόλοιπο

Ας είναι $\displaystyle{p}$ πρώτος.Θεωρούμε τον αριθμό

$\displaystyle{\xi=\prod_{k=1}^{p-1}(k^2+1).}$

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης $\displaystyle{\xi :p.}$

5 Απαντήσεις

1022 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από matha
Κυρ Ιαν 28, 2018 7:36 pm
Μέγιστη τιμή ακεραίου

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Απαντήσεις: 1
από Γιάννης Μπόρμπας » Παρ Δεκ 29, 2017 8:35 pm

ακέραιο-μέρος

πρώτος

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του θετικού ακεραίου $n$ για την οποία ισχύει ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\lfloor \sqrt{i}\rfloor}$ είναι πρώτος.

1 Απαντήσεις

737 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Σάβ Δεκ 30, 2017 1:04 am
Ακριβώς κ διαφορετικοί μέγιστοι κοινοί διαιρέτες

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm
Απαντήσεις: 2
από Demetres » Σάβ Δεκ 09, 2017 6:05 pm

ΜΚΔ

μέγιστος-κοινός-διαιρέτης

Έστω ακέραιος $n \geq 3$. Να δειχθεί ότι για κάθε $k$, με $1 \leq k \leq \binom{n}{2}$, υπάρχει ένα σύνολο $A$ από $n$ διακεκριμένους θετικούς ακεραίους ώστε το σύνολο

$\displaystyle B = \{\gcd(x, y): x, y \in A, x \neq y \}$

να περιέχει ακριβώς...

2 Απαντήσεις

813 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Πέμ Δεκ 14, 2017 1:24 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 66 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση