Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)

Συντονιστές: vittasko, silouan, Doloros

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 72 θέματα

Ανακοινώσεις

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Διαδικτυακό Μαθηματικό Περιοδικό «Μελέτη»

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 2
από Γενικοί Συντονιστές » Σάβ Μαρ 11, 2017 5:04 pm » σε Γενικά Μηνύματα

περιοδικό

μελέτη

Αγαπητοί φίλοι,

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του πρώτου μας διαδικτυακού μαθηματικού περιοδικού απευθυνόμενο στους μαθητές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης.

Το περιοδικό «Μελέτη» απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου και Λυκείου και...

2 Απαντήσεις

5515 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Απρ 01, 2018 12:18 pm
Ενεργοποίηση Λέξεων Κλειδιά (tags) στο mathematica!

Τελευταία δημοσίευση από cretanman « Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενικά Μηνύματα
Απαντήσεις: 9
από cretanman » Τρί Σεπ 27, 2016 1:19 pm » σε Γενικά Μηνύματα

οδηγίες

λέξη

κλειδί

Λέξη-κλειδί

tags

Πλέον μπορούμε να προσθέσουμε λέξεις κλειδιά (tags στα αγγλικά) στις δημοσιεύσεις μας για πιο γρήγορη αναζήτηση από τους χρήστες. Και πάλι πρέπει να ευχαριστήσουμε τον Γιώργο Μαργαρίτη αφού με τη βοήθειά του μπορούμε να γράφουμε λέξεις - κλειδιά και...

9 Απαντήσεις

5497 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από cretanman
Δευ Οκτ 03, 2016 4:14 pm
Η Αρμονική Γεωμετρία του Νίκου Κυριαζή

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αρμονική-Γεωμετρία

Πληροφορούμε με μεγάλη χαρά μας τα μέλη και τους επισκέπτες του mathematica ότι το διακεκριμένο μέλος μας ο Γεωμέτρης Νίκος Κυριαζής ανήρτησε στο mathematica το βιβλίο του Αρμονική Γεωμετρία
Τον συγχαίρουμε, τον ευχαριστούμε θερμά και του ευχόμαστε...

0 Απαντήσεις

21726 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Ιαν 10, 2016 2:44 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Γ. Παιδείας

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Αναρτούμε την νέα δουλειά στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας που συνέθεσαν τα μέλη μας
Γιώργος Απόκης , Βασίλης, Κακαβάς, Δημήτρης Κατσίποδας, Χρήστος Κανάβης, Περικλής Παντούλας, Κώστας Τηλέγραφος, Χρήστος Τσιφάκης, Μάκης Χατζόπουλος
Το εξώφυλλο...

0 Απαντήσεις

81819 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Κυρ Μάιος 06, 2012 11:43 pm
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

από Γενικοί Συντονιστές » Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Με μεγάλη μας χαρά αναρτούμε το βιβλίο
Γ' Λυκείου: Μία συλλογή ασκήσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης.
που συνέθεσαν οι συνάδελφοι μέλη του mathematica
Βασίλης Κακαβάς , Δημήτρης Κατσίποδας , Περικλής Παντούλας , Κώστας Τηλέγραφος , Παναγιώτης...

0 Απαντήσεις

95068 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Δευ Απρ 09, 2012 11:06 am
Εικοσιδωδεκάεδρον (τεύχος 18)

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές « Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm
Δημοσιεύτηκε σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια
Απαντήσεις: 18
από Γενικοί Συντονιστές » Πέμ Νοέμ 18, 2010 11:04 pm » σε Γενική Συζήτηση - Σχόλια

Εικοσιδωδεκάεδρον

Αγαπητοί Φίλοι
Με χαρά μας αναρτούμε το πρώτο φύλλο αποδελτίωσης του mathematica που περιέχει ένα δείγμα από το πλούσιο υλικό που με την δική σας συμβολή υπάρχει στον ιστότοπο μας.
Η επιλογή έγινε από τους αρμόδιους επιμελητές του αντίστοιχου...

18 Απαντήσεις

155560 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γενικοί Συντονιστές
Σάβ Ιαν 06, 2018 11:12 pm

Θέματα

Απαντήσεις

Προβολές

Τελευταία δημοσίευση

Συνευθειακά;!

Τελευταία δημοσίευση από gavrilos « Δευ Μάιος 14, 2018 7:35 pm
Απαντήσεις: 2
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Μάιος 06, 2018 10:32 pm

συνευθειακά

μέσα

εφαπτόμενος-κύκλος

εφαπτόμενη

Έστω τρίγωνο $ABC$ και έστω $M, N$ τα μέσα των $AB$ και $AC$. Φέρνουμε τον κύκλο που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο στο $D$ και διέρχεται από τα $M, N$ (Το $D$ βρίσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο από το $A$ ως προς την $BC$). Η $AD$ ξανατέμνει...

2 Απαντήσεις

303 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gavrilos
Δευ Μάιος 14, 2018 7:35 pm
Συνευθειακότητα με το έγκεντρο

Τελευταία δημοσίευση από sakis1963 « Παρ Μάιος 04, 2018 8:11 pm
Απαντήσεις: 9
από sakis1963 » Τρί Απρ 24, 2018 1:22 pm

Συνευθειακότητα

Εγκεντρο

Διάμεσος

GEOMETRIA197=FB1794.png

Εστω τρίγωνο $ABC$, $M$ το μέσον της $BC$ και $S, T$ τα σημεία επαφής των εγκύκλων $ABM, AMC$ με τις $AB, AC$ αντίστοιχα.

Οι παράλληλες από τα $S, T$ προς τις $MT, MS$ αντίστοιχα, τέμνονται στο $P$.

Αν $I$ το έγκεντρο του...

9 Απαντήσεις

458 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από sakis1963
Παρ Μάιος 04, 2018 8:11 pm
Συνευθειακότητα με το έγκεντρο 2

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ « Κυρ Απρ 29, 2018 11:03 am
Απαντήσεις: 1
από sakis1963 » Πέμ Απρ 26, 2018 4:09 am

Συνευθειακότητα

Διχοτόμος

GEOMETRIA198=FB1802.png
Εστω τρίγωνο $ABC$ και σημεία $E, D$ της $BC$ τέτοια ώστε $\hat{BAE}=\hat{DAC}$.

Εστω επίσης $K_1, K_2$ τα έγκεντρα των τριγώνων $ABE, AEC$ και $L_1, L_2$ τα έγκεντρα των τριγώνων $ABD, ADC$.

Αν $I$ είναι το έγκεντρο του...

1 Απαντήσεις

220 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Κυρ Απρ 29, 2018 11:03 am
Διέρχεται από το μέσο

Τελευταία δημοσίευση από gavrilos « Δευ Απρ 16, 2018 6:54 pm
Απαντήσεις: 1
από giannimani » Δευ Απρ 16, 2018 4:02 pm

Ορθικό--Τρίγωνο

Ορθόκεντρο

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ θεωρούμε τα ύψη $AA_{1}$, $BB_{1}$ και $CC_{1}$ και έστω $H$ το ορθόκεντρο αυτού του τριγώνου.
Από το $H$ φέρουμε τις κάθετες στις ευθείες $B_{1}C_{1}$ και $A_{1}C_{1}$,οι οποίες τέμνουν τις ημιευθείες $CA$ και $CB$ στα...

1 Απαντήσεις

116 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από gavrilos
Δευ Απρ 16, 2018 6:54 pm
Εφαπτόμενοι Κύκλοι

Τελευταία δημοσίευση από giannimani « Τρί Απρ 10, 2018 10:41 pm
Απαντήσεις: 4
από giannimani » Δευ Απρ 09, 2018 11:41 am

Ισοσκελές-Τρίγωνο

Παραλληλόγραμμο

probl4.png Στις ίσες πλευρές $AB$, $AC$ και στη βάση $BC$ ενός ισοσκελούς τριγώνου $ABC$,
θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία $M$, $K$ και $D$ έτσι ώστε το $AMDK$ να είναι παραλληλόγραμμο.
Συμβολίζουμε με $L$ το κοινό σημείο των ευθειών $MK$ και $BC$,...

4 Απαντήσεις

320 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από giannimani
Τρί Απρ 10, 2018 10:41 pm
Γεωμετρικός τόπος σταθερού λόγου

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Σάβ Ιαν 20, 2018 7:42 pm
Απαντήσεις: 2
από Al.Koutsouridis » Πέμ Ιαν 18, 2018 9:43 pm

γεωμετρικός-τόπος

Μάλλον θα έχει ξαναεμφανιστεί στο :logo: , αλλά ας έχει...

Στο επίπεδο δίνονται δυο μη τεμνόμενοι κύκλοι. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $P$ του επιπέδου για το οποία, ο λόγος των μηκών των εφαπτομένων από αυτά τα σημεία προς τους...

2 Απαντήσεις

323 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Σάβ Ιαν 20, 2018 7:42 pm
Κάθετες διχοτόμοι

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis « Τετ Ιαν 17, 2018 9:44 pm

από Al.Koutsouridis » Τετ Ιαν 17, 2018 9:44 pm

διχοτόμος

τετράπλευρο

Στο εσωτερικό κυρτού τετράπλευρου $ABCD$ δίνεται σημείο $O$ για το οποίο ισχύει, $\angle AOP = \angle COQ$, όπου $P$, $Q$ τα σημεία τομής των ημιευθειών $BA, CD$ και $BC, AD$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $AOC$ και $BOD$...

0 Απαντήσεις

321 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Al.Koutsouridis
Τετ Ιαν 17, 2018 9:44 pm
Κριτήριο ισοσκελούς τραπεζίου

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Τρί Νοέμ 28, 2017 5:35 pm
Απαντήσεις: 6
από george visvikis » Τετ Οκτ 11, 2017 5:43 pm

περιγεγραμμένο-τετράπλευρο

Τετράπλευρο $ABCD$ είναι περιγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $I.$

Αν $(IA+IB)^2+(IC+ID)^2=(AB+CD)^2$ να δείξετε ότι το $ABCD$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

6 Απαντήσεις

825 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Τρί Νοέμ 28, 2017 5:35 pm
Με σεβιανές!

Τελευταία δημοσίευση από Demetres « Κυρ Νοέμ 19, 2017 1:21 pm
Απαντήσεις: 1
από matha » Πέμ Νοέμ 16, 2017 1:24 am

ανισότητα

σεβιανή

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και δύο τριάδες συντρεχουσών σεβιανών $\displaystyle{AA_1,BB_1,CC_1}$ και $\displaystyle{AA_2,BB_2,CC_2.}$
Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\frac{27(A_1B_1C_1)}{(A_2B_2C_2)}\leq...

1 Απαντήσεις

490 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Demetres
Κυρ Νοέμ 19, 2017 1:21 pm
Μία προκλητική διχοτόμηση.

Τελευταία δημοσίευση από vittasko « Κυρ Οκτ 15, 2017 10:16 am
Απαντήσεις: 4
από vittasko » Πέμ Οκτ 12, 2017 6:28 pm

συνευθειακότητα

μέσον

διχοτόμηση

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $AD$ το ύψος του. Έστω $(K),\ (L),$ οι κύκλοι με διάμετρο $AB,\ AC$ αντιστοίχως και ας είναι $E,\ Z,$ δύο τυχόντα σημεία τους ώστε να είναι $AE = AZ$ και έστω τα σημεία $X\equiv (L)\cap EZ$ και $Y\equiv...

4 Απαντήσεις

693 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από vittasko
Κυρ Οκτ 15, 2017 10:16 am
Ίσα τμήματα! (2)

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Δευ Οκτ 02, 2017 11:38 pm
Απαντήσεις: 4
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Σεπ 22, 2017 11:29 pm

κύκλος

Έστω κύκλος με κέντρο $O$ και σημείο $S$ στο εξωτερικό του. Φέρνουμε τις δύο τυχαίες τέμνουσες $SAB$ και $SCD$ στον κύκλο. Έστω $E$ το αντιδιαμετρικό του $A$ και $F$ του $B$ στον κύκλο. Έστω ότι οι $FC$ και $ED$ τέμνουν την $OS$ στα $M, N$...

4 Απαντήσεις

665 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Οκτ 02, 2017 11:38 pm
Ίσα τμήματα!

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος « Τρί Σεπ 19, 2017 10:42 pm
Απαντήσεις: 5
από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Σεπ 17, 2017 4:05 pm

κύκλος

Έστω κύκλος με κέντρο $O$ και σημείο $S$ στο εξωτερικό του. Φέρνουμε μια εφαπτόμενη $SA$ και μια τέμνουσα $SBC$ στον κύκλο. Έστω $D$ το αντιδιαμετρικό του $A$ στον κύκλο. Έστω ότι οι $DB, DC$ τέμνουν την $OS$ στα $M, N$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί πως...

5 Απαντήσεις

696 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Σεπ 19, 2017 10:42 pm
Ωραία άσκηση με εγγεγραμμένο κύκλο.

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός « Σάβ Σεπ 16, 2017 6:20 pm
Απαντήσεις: 2
από Datis-Kalali » Σάβ Σεπ 16, 2017 3:41 pm

εγγεγραμένος-κύκλος

Ο εγγεγραμμένος κύκλος $\Omega$ του τριγώνου $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC, CA$ και $AB$ στα σημεία $D, E$ και $F$, αντίστοιχα. Αν $K$ είναι το αντιδιαμετρικό σημείο του $D$ ( στον κύκλο $\Omega$ ) και οι ευθείες $EK$ και $DF$ τέμνονται στο σημείο...

2 Απαντήσεις

504 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Σεπ 16, 2017 6:20 pm
εφιάλτης

Τελευταία δημοσίευση από melasjumper « Τετ Σεπ 13, 2017 5:55 pm

από melasjumper » Τετ Σεπ 13, 2017 5:55 pm

κύκλοι

Έστω $ABC$ ενα τρίγωνο και $P$ ένα σημείο στο επίπεδο.Επιπλέον $A'B'C'$ το ομοιόθετο τρίγωνο με κέντρο $P$ και λόγο 2.Οι κύκλοι
$(AB'C'),(A'BC'),(A'B'C)$ τέμνονται ανα δύο στα σημεια $X,Y,Z$ .Oι κύκλοι $(ABC'),(AB'C),(A'BC)$ τέμνονται ανα δύο στα...

0 Απαντήσεις

567 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από melasjumper
Τετ Σεπ 13, 2017 5:55 pm
Μια όμορφη συνευθειακότητα!

Τελευταία δημοσίευση από min## « Τρί Σεπ 12, 2017 8:39 pm
Απαντήσεις: 1
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Σεπ 12, 2017 8:00 pm

τομές

συνευθειακά

μέσα

Παραλληλίες

Μια όμορφη συνευθειακότητα.png Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι $S$ τυχόν σημείο του επιπέδου του. Αν ${A}',{B}',{C}'$ είναι τα σημεία τομής των εκ των $A,B,C$ παραλλήλων προς τις $SC,SA,SB$ με τις ευθείες $CB,AC,BA$ αντίστοιχα, να...

1 Απαντήσεις

517 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από min##
Τρί Σεπ 12, 2017 8:39 pm
τραβηγμενη λυση στο imo shortlist 2012 G8

Τελευταία δημοσίευση από grigkost « Παρ Σεπ 01, 2017 10:06 pm
Απαντήσεις: 2
από melasjumper » Πέμ Αύγ 31, 2017 8:52 pm

πολικές

Έστω $\vartriangle ABC$ ένα τρίγωνο με περιγεγραμμένο κύκλο $(\Omega Ω)$ και έστω $(l)$ μια γραμμή που δεν τέμνει τον κύκλο. Εστω $P$ το ίχνος της καθέτου από το κέντρο $O$ του κύκλου στην $(l)$. Οι $BC,\ CA,\ AB$ τέμνουν την $(l)$ στα σημεία $X,\...

2 Απαντήσεις

757 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από grigkost
Παρ Σεπ 01, 2017 10:06 pm
Ίσα τμήματα

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ « Πέμ Αύγ 31, 2017 12:11 am
Απαντήσεις: 7
από Ορέστης Λιγνός » Δευ Αύγ 28, 2017 11:18 am

ίσα-τμήματα

Θεωρούμε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τη διάμεσο $AM$.

Φέρνουμε τα ύψη $BE$ και $CD$. Η κάθετη στο $A$ στην $AM$ τέμνει τις $BE,CD$ στα $P,Q$.

Να δείξετε ότι $AP=AQ$.

isa tmimata.png

Η άσκηση είναι δική μου κατασκευή.

7 Απαντήσεις

788 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Αύγ 31, 2017 12:11 am
Συνευθειακά από επαφή και τομές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης « Σάβ Αύγ 05, 2017 6:02 pm
Απαντήσεις: 7
από Doloros » Τετ Αύγ 02, 2017 11:25 am

επαφές

κύκλοι-ίσοι

συνευθειακά

Συνευθειακά απο επαφή και τομές.png

Δύο ίσοι κύκλου $({C_1})\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({C_2})$ τέμνονται στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$.

1. Να κατασκευάσετε (Γεωμετρικά ή αλλιώς) κύκλο $(K)$ που να εφάπτεται

εξωτερικά σε σημείο $T$ του...

7 Απαντήσεις

862 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης
Σάβ Αύγ 05, 2017 6:02 pm
Μεταβλητό σημείο επί δοσμένου κύκλου.

Τελευταία δημοσίευση από vittasko « Πέμ Αύγ 03, 2017 5:34 pm
Απαντήσεις: 2
από vittasko » Πέμ Αύγ 03, 2017 3:18 pm

μεταβλητό-σημείο

εφαπτόμενοι-κύκλοι

Εμπνευσμένο από Εδώ .

Με κοινή χορδή $AB$, δίνονται δύο άνισοι κύκλοι $(O),\ (O')$ ακτίνων $R,\ R'$ αντιστοίχως και ας είναι $R < R'$. Τυχών κύκλος $(K)$, εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο $(O)$ στο σημείο έστω $T$ και εσωτερικά στον κύκλο $(O')$,...

2 Απαντήσεις

584 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από vittasko
Πέμ Αύγ 03, 2017 5:34 pm
Εὐκλείδεια Ρωσικοῦ τουρνουὰ πόλεων

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής « Σάβ Ιούλ 08, 2017 1:28 am
Απαντήσεις: 3
από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τετ Ιούλ 05, 2017 11:47 pm

εγγεγραμμένος-κύκλος

Ρωσικές-Ολυμπιάδες

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω Δ σημεῖο τῆς πλευρᾶς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ, καὶ Κ τὸ σημεῖο τομῆς τῆς ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης (ὄχι τῆς ΒΓ, ἀλλὰ τῆς ἄλλης ἐξωτερικῆς κοινῆς ἐφαπτομένης) τῶν ἐγγεγραμμένων κύκλων τῶν τριγώνων ΑΒΔ καὶ ΑΓΔ μὲ τὴν ΑΔ. Δείξατε ὅτι τὸ μῆκος...

3 Απαντήσεις

783 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής
Σάβ Ιούλ 08, 2017 1:28 am
Περιγράψιμο καὶ ταυτοχρόνως ἐγγράψιμο τετράπλευρο

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis « Παρ Ιούλ 07, 2017 5:49 pm
Απαντήσεις: 2
από Γ.-Σ. Σμυρλής » Παρ Ιούλ 07, 2017 10:02 am

περιγράψιμα

εμβαδόν

εγγραψιμα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Δίδεται τετράπλευρο μὲ μήκη πλευρῶν $a,b,c,d$, τὸ ὁποῖο εἶναι περιγράψιμο, δηλαδή, ὑπάρχει κύκλος ἐντὸς αὐτοῦ, ὁ ὁποῖος ἐφάπτεται καὶ μὲ τὶς τέσσερίς του πλευρές. Ἂν τὸ ἐμβαδόν του ἰσοῦται μὲ $\sqrt{abcd}$, δείξατε ὅτι τὸ τετράπλευρο αὐτὸ...

2 Απαντήσεις

633 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από george visvikis
Παρ Ιούλ 07, 2017 5:49 pm
Χάρτης τεσσάρων χρωμάτων ἀπὸ ὀρθογώνια

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής « Δευ Ιούλ 03, 2017 7:42 pm

από Γ.-Σ. Σμυρλής » Δευ Ιούλ 03, 2017 7:42 pm

Χάρτης-τεσσάρων-χρωμάτων

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Σὲ τετραγωνισμένο χαρτὶ (ὅπως αὐτὸ ποὺ ὑπάρχει σὲ τετράδια Φυσικῆς) ζωγραφίζομε ὀρθογώνια παραλληλόγραμμα. Τὰ ὀρθογώνια αὐτὰ δὲν ἀλληλεπικαλύπτονται, ἀλλά ἐνδέχεται νὰ ἔχουν κοινὴ πλευρὰ ἢ μέρος αὐτῆς ἢ κοινὸ σημεῖο. Ἐπίσης, ἑκάστη τῶν...

0 Απαντήσεις

571 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής
Δευ Ιούλ 03, 2017 7:42 pm
Ορθόκεντρα και ίσα τμήματα.

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ « Πέμ Ιουν 08, 2017 1:08 am
Απαντήσεις: 1
από vittasko » Σάβ Ιουν 03, 2017 12:41 am

ορθόκεντρα

ίσα-τμήματα

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω $K,$ τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Έστω $L,\ M,\ N,$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle AHK,\ \vartriangle BHK,\ \vartriangle CHK$ αντιστοίχως, όπου $H$ είναι το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC.$...

1 Απαντήσεις

834 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Πέμ Ιουν 08, 2017 1:08 am
Συνευθειακότητα από παραλληλίες και παραλληλία

Τελευταία δημοσίευση από vittasko « Τετ Ιουν 07, 2017 1:19 am
Απαντήσεις: 2
από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Ιουν 05, 2017 1:37 am

Δέσμες-παραλλήλων

Νέα-παραλληλία

Συνυθειακές-τομές

Συνευθειακότητα τομών και παραλληλίες.png Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τυχόν σημείο $K$ στο εσωτερικό του . Οι εκ του $K$ παράλληλες ευθείες προς τις $BC,CA,AB$ τέμνουν τις εκ των $A,B,C$ παράλληλες ευθείες προς τυχούσα διεύθυνση $\left(...

2 Απαντήσεις

831 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από vittasko
Τετ Ιουν 07, 2017 1:19 am
ΑΚΟΜΑ ΜΙΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ...

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης « Παρ Μάιος 19, 2017 9:27 pm
Απαντήσεις: 3
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Πέμ Μάιος 18, 2017 3:42 pm

ΑΚΟΜΑ--ΜΙΑ

Δείτε κι αυτήν , ίσως κάτι αξίζει...

Σε τρίγωνο $ABC$ αποδείξτε ότι

$\sqrt{bc\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )}+\sqrt{ca\left ( s-c \right )\left ( s-a \right )}+\sqrt{ab\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )}\geq 2\sqrt{3}sr.$

3 Απαντήσεις

877 Προβολές

Τελευταία δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης
Παρ Μάιος 19, 2017 9:27 pm

Νέο Θέμα

Επισήμανση θεμάτων ως αναγνωσμένα • 72 θέματα

Επιστροφή στο ευρετήριο

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης

Προσβάσεις σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση

Δεν μπορείτε να δημοσιεύετε νέα θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να απαντάτε σε θέματα σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επεξεργάζεστε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να διαγράφετε τις δημοσιεύσεις σας σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση
Δεν μπορείτε να επισυνάπτετε αρχεία σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση