Θεωρία Galois

[giannisn1990]

1) έστω επέκταση σωμάτων και , στοιχεία του αλγεβρικά πάνω από το . Να εξετάσετε αν το είναι αλγεβρικό πάνω από το .

2) υπάρχει αλγεβρική επέκταση , όπου το σώμα των ρητών, με βαθμό επέκτασης άπειρο?

[nsmavrogiannis]

1) έστω επέκταση σωμάτων και , στοιχεία του αλγεβρικά πάνω από το . Να εξετάσετε αν το είναι αλγεβρικό πάνω από το .

2) υπάρχει αλγεβρική επέκταση , όπου το σώμα των ρητών, με βαθμό επέκτασης άπειρο?

Το πρώτο είναι βασικό αποτέλεσμα και υπάρχει στα περισσότερα βιβλία Άλγεβρας. Η απόδειξη στηρίζεται στην ιδέα ότι αν τα είναι στοιχεία του αλγεβρικά επί του τότε η επέκταση είναι αλγεβρική. To είναι το ελάχιστο υπόσωμα του που περιέχει τα . Η αιτιολόγηση είναι απλή. Είναι δηλαδή το μπορεί να προκύψει με επισύναψη στο πρώτα του και μετά του . Τωρα αφού το είναι αλγεβρικό επίτου είναι αλγεβρικό και επί της επέκτασης του . 'Αρα η επέκταση είναι αλγεβρική. Δηλαδή η είναι αλγεβρική. Επομένως όλα τα στοιχεία της είναι αλγεβρικά. Τα στοιχεία αυτά είναι ρητές παραστάσεις των με συντελεστές από το . Ανάμεσα σε αυτά και το .

Για το δεύτερο το βασικό παράδειγμα που είχα υπ΄όψιν μου ήταν του σώματος όπου στα αποσιωπητικά υπονοούνται οι ρίζες όλων των πρώτων. Το είχα δεί στο βιβλίο των Βhattacharya, Jain First Course in Rings, Fields and Vector Spaces που με συντροφεύει πολλά χρόνια. Είδα ότι υπάρχει και σε ένα νεώτερο βιβλίο τους που δεν το έχω. Ωστόσο προσπαθώντας χθες να γράψω μία πλήρη απόδειξη με δυσκόλεψε ένα σημείο που δεν διευκρινίζεται ούτε στο βιβλίο. Γιαυτό αναζήτησα (αυτά είναι τα καλά του mathematica) ένα άλλο παράδειγμα. Κοιτώντας εδώ και εκεί συνάντησα το ακόλουθο που έχει κάποια ομοιότητα με το παραπάνω. Θεωρούμε το σώμα όπου τα αποσιωπητικά τώρα εννοούν τις ρίζες με πρώτο. Πρόκειται για το ελάχιστο υπόσωμα του που περιέχει τους αριθμούς . Κάθε στοιχείο του είναι ρητή παράσταση πεπερασμένου πλήθους απο τους αριθμούς και επομένως από το 1) αλγεβρικό. Άρα πρόκειται για μία αλγεβρική επέκταση των ρητών. Αλλά το τυχόν είναι ρίζα του πολυωνύμου που εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι ανάγωγο (λ.χ. από το κριτήριο του Eisenstein) άρα έχει ελάχιστο πολυώνυμο το και επομένως έχει βαθμό επί του ίσο με . Άρα η επέκταση είναι μία επέκταση με στοιχεία οσοδήποτε μεγάλου βαθμού άρα έχει άπειρο βαθμό επέκτασης και είναι αλγεβρική.
Μαυρογιάννης