Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

akis15 · #1

Έστω ένας

πίνακας

τέτοιος ώστε κάθε μη μηδενικό διάνυσμα $\chi \in R^{3}$ να είναι ιδιοδιάνυσμα του

.Να αποδείξετε οτι ο

έχει μία μόνο ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα

.

slash · #2

Δείχνοντας ότι Ax=0

για κάθε διάνυσμα

συνεπάγεται ότι ο

είναι ο μηδενικός πίνακας ,προκύπτει αρκετά εύκολα ότι ο ζητούμενος πίνακας πρέπει να είναι της μορφής A=kI

.

#3

slash έγραψε:Δείχνοντας ότι για κάθε διάνυσμα συνεπάγεται ότι ο είναι ο μηδενικός πίνακας ,προκύπτει αρκετά εύκολα ότι ο ζητούμενος πίνακας πρέπει να είναι της μορφής .

Κάτι δεν μου πάει καλά με την απόδειξη. Πρώτα από όλα το κοκκινισμένο είναι ορισμός, οπότε τι πάμε να δείξουμε;
Δεύτερον, η ουσία της απόδειξης λείπει.

Δίνω απόδειξη στο αρχικό ερώτημα.

akis15 έγραψε:Έστω ένας πίνακας τέτοιος ώστε κάθε μη μηδενικό διάνυσμα $\chi \in R^{3}$ να είναι ιδιοδιάνυσμα του .Να αποδείξετε οτι ο έχει μία μόνο ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα .

Για

γραμμικά ανεξάρτητα υπάρχουν εξ υποθέσεως a,b,c

τέτοια ώστε A(x+y)=a(x+y), Ax=bx, Ay=cx

. Από την γραμμικότητα του

έπεται

. Από γραμμική ανεξαρτησία είναι b=c

(ίσον και τα δύο με

). Αλλάζοντας το

έπεται εύκολα Ay=ay

για κάθε

(ακόμη και για τα εξαρτημένα από το

(δηλαδή τα πολλαπλάσια του

). Τελικά

και λοιπά.

slash · #4

Ορισμός ; Από που και ως που ; Εν πάση περιπτώσει γράφω ολόκληρη την λύση αναλυτικά μιας και έκανα ένα σημαντικό λάθος στην διατύπωση λόγω απροσεξίας.

Θα δείξω ότι αν για κάθε

υπάρχει

ώστε

τότε αναγκαία A=kI

για κάποιο

. Θέτοντας $v=e_{1},e_{2},e_{3}$ παίρνουμε ότι ο A-kI

είναι διαγώνιος ( προφανώς για κάθε k). Τέλος θέτοντας $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ παίρνουμε ότι ο

είναι της μορφής

.

Με αυτό που έγραψα αρχικά εννοούσα ότι χρησιμοποιώντας το ότι (A-kI)v=0

για κάθε

παίρνουμε ότι A-kI=0

. Όμως το k είναι σαφώς μεταβλητή που εξαρτάται από το διάνυσμα άρα η αντιμετώπιση είναι κάπως διαφορετική.

#5

Εδώ μιλάμε για πίνακες και το γεγονός ότι αν Ax = 0

για κάθε

τότε ο

είναι ο μηδενικός πίνακας δεν είναι ορισμός. (Αποδεικνύεται όμως εύκολα). Η ένσταση του Μιχάλη μάλλον έγκειται στο γεγονός πως όταν μιλάμε για γραμμικούς τελεστές τότε πράγματι λέμε ότι ο τελεστής

είναι ο μηδενικός όταν Lx = 0

για κάθε

.

Δεν βλέπω όμως πως δουλεύει η λύση του Κώστα. Για κάθε

έχουμε

ώστε

. Από εδώ δεν βλέπω πως βγαίνει ότι τα k_v

είναι όλα τα ίδια. (Το έχει δείξει ο Μιχάλης πιο πάνω.)

slash · #6

Demetres έγραψε:Από εδώ δεν βλέπω πως βγαίνει ότι τα είναι όλα τα ίδια.

Για ευκολία χρησιμοποίησα το ίδιο σύμβολο για όλες τις διαφορετικές ιδιοτιμές. Δεν πίστευα να δημιουργηθεί σύγχυση. Στο σημείο :

slash έγραψε:Θέτοντας $v=e_{1},e_{2},e_{3}$ παίρνουμε ότι ο είναι διαγώνιος ( προφανώς για κάθε k).

παίρνω 3 ιδιοτιμές ( εν τέλει ίδιες) αλλά αυτές δεν επηρεάζουν τα στοιχεία εκτός της διαγωνίου. Δηλαδή για το $e_{1}$ προκύπτει ότι τα στοιχεία $a_{21},a_{31}$ είναι

(προκύπτει ανεξάρτητα της ιδιοτιμής). Αφού κάνω το ίδιο και με τα $e_{2},e_{3}$ μηδενίζω τα μη διαγώνια στοιχεία. Έπειτα υπάρχει ιδιοτιμή

για το $v=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ . Εύκολα βγαίνει ότι όλα τα στοιχεία της διαγωνίου θα πρέπει να είναι ίδια με αυτήν την ιδιοτιμή

άρα ο πίνακας είναι της μορφής ...

Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Re: Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Re: Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Re: Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Re: Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Re: Θέμα εξεταστικής ΕΜΠ

Μέλη σε σύνδεση