Γραμμική απεικόνιση

Mathletic · #1

Γειά σας!

Στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^3$ έχουμε τα εξής διανύσματα:
$\\ a_1=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \ \ a_2=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \ \ a_3=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}, \\ b_1=\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}, \ \ b_2=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}, \ \ b_3=\begin{pmatrix}4\\ 1\\ -3\end{pmatrix}$

Θέλω να δείξω ότι υπάρχει ακριβώς μια γραμμική απεικόνιση $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ με $f(a_i)=b_i, \ \ i=1,2,3$ .

Έχω κάνει τα παρακάτω:

Έχουμε ότι τα $a_1=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \ \ a_2=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \ \ a_3=\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και αφού είναι

διανύσματα και η διάσταση του $\mathbb{R}^3$ είναι

έχουμε ότι τα διανύσματα αυτά παράγουν το $\mathbb{R}^3$ , σωστά;

Έστω $c\in \mathbb{R}^3$ , τότε c=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3

.

Έχουμε ότι
$f(c)=f(x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3)=x_1f(a_1)+x_2f(a_2)+x_3f(a_3) \\ =x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3$ .

Υποθέτουμε ότι η απεικόνιση δεν είναι μοναδική, δηλαδή υποθέτουμε ότι υπάρχει και η γραμμική απεικόνιση $\tilde{f}:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ με $\tilde{f}(a_i)=b_i, \ \ i=1,2,3$ .

Έχουμε ότι
$\\ \tilde{f}(c)=\tilde{f}(x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3)=\tilde{f}(x_1a_1)+\tilde{f}(x_2a_2)+\tilde{f}(x_3a_3) \\ =x_1\tilde{f}(a_1)+x_2\tilde{f}(a_2)+x_3\tilde{f}(a_3)=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=f(c)$

Οπότε $\tide{f}=f$ , και άρα η γραμμική απεικόνιση είναιμοναδική, σωστά;

Στη συνέχεια θέλω να βρώ τα $\ker f , \text{im} f$ και την διάστασή τους. Επίσης θέλω να δείξω ότι $f\circ f=f$ .

Έχουμε ότι
$\\ \ker f=\{c\in \mathbb{R}^3 \mid f(c)=0\}=\{c\in \mathbb{R}^3 \mid x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=0\} \\ =\{c\in \mathbb{R}^3 \mid x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=0\}$ .
Άρα πρέπει να λύσουμε το σύστημα:
$\\ -x_1+x_2+4x_3=0 \\ x_1+x_3=0 \\ 2x_1-x_2-3x_3=0$
και παίρνουμε x_2=5x_1, x_3=-x_1

.

Οπότε έχουμε ότι $c=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=x_1a_1+5x_1a_2-x_1a_3=x_1(a_1+5a_2-a_3)=x_1\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 4\end{pmatrix}$ .
Οπότε, $\ker f=\left \{ x_1\begin{pmatrix}-2\\ 0\\ 4\end{pmatrix} \mid x_1\in \mathbb{R}\right \}$ .

Αφού όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια ενός διανύσματος η διάσταση είναι

, σωστά;

Έχουμε ότι $\text{im} f=\{w\in \mathbb{R}^3\mid \exists v\in \mathbb{R}^3: f(v)=w\}$ . Πώς μπορούμε να βρούμε την εικόνα;

Επίσης πώς μπορούμε να δείξουμε ότι $f\circ f=f$ ; Έχουμε ότι f(f(a_i))=f(b_i)

. Πώς μπορούμε να συνεχίσουμε;

#2

Πνίγεσαι σε μία κουταλιά νερό.

Μέσες άκρες σωστά αυτά που γράφεις αλλά και απλούστατα. Και αυτά που δεν κατάφερες είναι εξ ίσου απλούστατα.

ΚΑΝΩ ΑΛΛΗ ΜΙΑ ΕΚΚΛΗΣΗ ΝΑ ΣΚΕΠΤΕΣΑΙ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΣΕ ΑΠΑΣΧΟΛΟΥΝ ΠΡΙΝ, επαναλαμβάνω ΠΡΙΝ, αποταθείς στο φόρουμ. Έλεος πια.

Mathletic έγραψε:Γειά σας!
Υποθέτουμε ότι η απεικόνιση δεν είναι μοναδική, δηλαδή υποθέτουμε ότι υπάρχει και η γραμμική απεικόνιση $\tilde{f}:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ με $\tilde{f}(a_i)=b_i, \ \ i=1,2,3$ .

Έχουμε ότι
$\\ \tilde{f}(c)=\tilde{f}(x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3)=\tilde{f}(x_1a_1)+\tilde{f}(x_2a_2)+\tilde{f}(x_3a_3) \\ =x_1\tilde{f}(a_1)+x_2\tilde{f}(a_2)+x_3\tilde{f}(a_3)=x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=f(c)$

Αυτό που κοκκίνισα είναι περιττό αφού δεν το χρησιμοποίησες. Παρακάτω έγραψες απευθείας την απόδειξη ότι οι δύο

ταυτίζονται, οπότε ποιος ο λόγος να ετοιμαστείς για άτοπο και να μην πάρεις αυτό τον δρόμο;

Mathletic έγραψε:
Έχουμε ότι
$\\ \ker f=\{c\in \mathbb{R}^3 \mid f(c)=0\}=\{c\in \mathbb{R}^3 \mid x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=0\} \\ =\{c\in \mathbb{R}^3 \mid x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3=0\}$ .
Άρα πρέπει να λύσουμε το σύστημα:
$\\ -x_1+x_2+4x_3=0 \\ x_1+x_3=0 \\ 2x_1-x_2-3x_3=0$
και παίρνουμε .

Οχι, εκτός αν έχεις γράψει λάθος το b_2

στην αρχή της εκφώνησης.

Mathletic έγραψε:Γειά σας!
Αφού όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια ενός διανύσματος η διάσταση είναι , σωστά;

Έλεος. Μη μου πεις ότι δεν ξέρεις να το απαντήσεις (και μάλιστα σε ποστ επιπέδου ΑΕΙ) και θέλεις επιβεβαίωση από το φόρουμ.

Mathletic έγραψε: Έχουμε ότι $\text{im} f=\{w\in \mathbb{R}^3\mid \exists v\in \mathbb{R}^3: f(v)=w\}$ . Πώς μπορούμε να βρούμε την εικόνα;

Επίσης πώς μπορούμε να δείξουμε ότι $f\circ f=f$ ; Έχουμε ότι . Πώς μπορούμε να συνεχίσουμε;

Δεν είναι δυνατόν να μην μπορείς να το σκεφτείς μόνος σου. Άσε που είμαι 100% βέβαιος ότι ΟΛΑ ΣΟΥ ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΕΧΟΥΝ ΠΑΡΟΜΟΙΟ ΕΤΟΙΜΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Ευκαιρία λοιπόν να ανοίξεις τα βιβλία σου.

Γραμμική απεικόνιση

Γραμμική απεικόνιση

Re: Γραμμική απεικόνιση

Μέλη σε σύνδεση