Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

Συντονιστής: Demetres

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1700
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 13, 2018 11:02 pm

Εστω P(x,y) πολυώνυμο.

Αν για κάθε \sigma :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}

στροφή με κέντρο το (0,0)

ισχύει P(x,y)=P(\sigma (x,y))

τότε
P(x,y)=\sum_{k=0}^{n}c_{k}(x^{2}+y^{2})^{k}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1700
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 26, 2018 11:09 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 463
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am

Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1700
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιαν 28, 2018 12:38 pm

AlexandrosG έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y).
Αυτά δεν είναι στροφές στον \mathbb{R}^{2}
Είναι συμμετρίες ως προς ευθεία.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1700
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιαν 29, 2018 9:02 am

AlexandrosG έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 12:22 am
Με απλές στροφές βρίσκουμε ότι P(x,y)=P(y,x) και P(x,y)=P(x,-y). Από την πρώτη σχέση το πολυώνυμο είναι συμμετρικό και άρα από το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών πολυωνύμων, μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των απλών συμμετρικών πολυωνύμων x+y και xy. Όπου βλέπουμε το xy το γράφουμε xy=\frac{(x+y)^2-(x^2+y^2)}{2}. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο των μεταβλητών x+y και x^2+y^2. Από την δεύτερη σχέση, όλοι οι όροι που εμφανίζεται το x+y έχουν συντελεστή 0. Άρα το P μπορεί να γραφεί ως πολυώνυμο της μεταβλητής x^2+y^2.
Η λύση του Αλέξαντρου είναι σωστότατη.
Το προηγούμενο σχόλιο μου ήταν άστοχο.
Ο λόγος είναι ότι ισχύει για όλες τις στροφές οπότε μια στροφή
μπορεί να εξαρτάται από τα σημεία.
Ζητώ και δημόσια συγνώμη από τον Αλέξαντρο για την ταλαιπωρία που τον έβαλα.
(ανταλλάξαμε π.μ για το θέμα)

Υπάρχουν τουλάχιστον ακόμα δύο λύσεις.
Αν δεν δοθούν σε λίγες μέρες θα τις γράψω.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7722
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολυώνυμο δύο μεταβλητών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Ιαν 29, 2018 12:42 pm

Το είχα σκεφτεί πριν καιρό αλλά αμέλησα να το γράψω. Ως ιδέα δεν διαφέρει τόσο πολύ από την λύση του Αλέξανδρου. Μάλιστα η λύση του Αλέξανδρου είναι καλύτερη.

Θέτω z = x^2+y^2. Αλλάζοντας κάθε εμφάνιση του y^2 σε z-x^2, μπορώ να γράψω το P ως

P(x,y) = Q_z(x) + yR_z(x)

όπου τα Q_z,R_z είναι πολυώνυμα του x με συντελεστές στο \mathbb{R}[z]. Το P(x,y) είναι σταθερό σε κάθε κύκλο με κέντρο το (0,0) οπότε ισχύει ότι P(x,y) = P(x,-y) για κάθε x,y.

Τότε όμως είναι Q_z(x) = P(x,y) και yR_z(x) = 0 για κάθε x,y με x^2+y^2=z.

Ισχυρίζομαι ότι το Q_z(x) είναι πολυώνυμο στο z. Ας υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει και ότι υπάρχει δύναμη του x (τουλάχιστον 1) με μη μηδενικό συντελεστή. Ο συντελεστής μπορεί να είναι πολυώνυμο στο z. Υπάρχει λοιπόν κατάλληλη θετική τιμή του z, έστω z=z_0, ώστε το Q_{z_0}(x) να είναι μη σταθερό.

Αλλά για κάθε x,x' \in [0,z_0] έχουμε Q_{z_0}(x) = P(x,\sqrt{z_0^2-x^2}) = P(x',\sqrt{z_0^2-(x')^2}) = Q_{z_0}(x'). Άρα το Q_{z_0}(x) είναι σταθερό πολυώνυμο, άτοπο.

Άρα το Q_z(x) είναι όντως πολυώνυμο στο z.

Επίσης, πρέπει R_z(x) = 0 για κάθε x,y με x^2+y^2 = z και y \neq 0. Με παρόμοιο τρόπο όπως πιο πάνω παίρνουμε ότι R_z(x) είναι ταυτοτικά ίσο με 0.

Το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης