Ισόμορφες ομάδες

Tolaso J Kos · #1

Έστω

. Ορίζουμε την ομάδα:

$\displaystyle{\mathcal{Q}_{2^n} = \langle x, y \mid x^2=y^{2^{n-2}} , y^{2^{n-1}} = 1, x^{-1} yx =y^{-1} \rangle}$

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\mathcal{Q}_{2^n} / \mathcal{Z} \left ( \mathcal{Q}_{2^n} \right ) \simeq \mathcal{D}_{2^{n-1}}}$ όπου $\mathcal{D}$ η διεδρική ομάδα.

#2

Χρησιμοποιώντας την $x^{-1}yx = y^{-1}$ ή ισοδύναμα την $yx = xy^{-1}$ , μπορούμε να γράψουμε κάθε στοιχείο του $Q_{2^n}$ στη μορφή x^ry^s

για $r,s \in \mathbb{N}_0$ . Χρησιμοποιώντας το $x^2 = y^{2^{n-2}}$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $r\in \{0,1\}$ . Χρησιμοποιώντας το $y^{2^{n-1}} = 1$ μπορούμε να υποθέσουμε ότι $s\in \{0,1,\ldots,2^{n-1}-1\}$ .

Επαγωγικά είναι απλό να δειχθεί ότι $y^tx = xy^{-t}$ .

Έστω $Z = Z(Q_{2^n})$ . Ισχυριζόμαστε ότι $Z= \{1,y^{2^{n-2}}\}$ . Σίγουρα $1 \in Z$ . Επίσης, $y^{2^{n-2}} \in Z$ αφού:

$\displaystyle y^{2^{n-2}}\left(x^ry^s\right) = xy^{-2^{n-2}}x^{r-1}y^s = xy^{2^{n-2}}x^{r-1}y^s = \cdots = x^ry^{2^{n-2}}y^s =\left(x^ry^s\right)y^{2^{n-2}}$

Αν $y^k \in Z$ (με $0 \leqslant k < 2^{n-1}$ ), τότε $xy^k = y^kx = xy^{-k}$ οπότε $y^{2k} = 1$ και άρα k = 0

ή $k = 2^{n-2}$ .

Αν $xy^k \in Z$ , τότε $xy^{k+1} = yxy^{k} = xy^{k-1}$ οπότε y^2 = 1

, άτοπο αφού $n \geqslant 2$ .

Επομένως $Q_{2^n}/Z = \langle x,y| x^2 = y^{2^{n-2}}=1, yx = xy^{-1} \rangle$ η οποία είναι η διεδρική ομάδα με $2^{n-1}$ στοιχεία.

Ισόμορφες ομάδες

Ισόμορφες ομάδες

Re: Ισόμορφες ομάδες

Μέλη σε σύνδεση