Μηδενική ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Μεταφέρω τη παρακάτω άσκηση με πολλή επιφύλαξη ως προς τη μετάφραση.

Δίδεται πίνακας $A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right)$ τέτοιος ώστε

$\displaystyle{ A \det A + A^* \det A^*=i \left( A+ A^* \right)}$
Να δειχθεί ότι $\det A =0$ αν ο

περιττός.

Δεν έχω λύση.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά...

jason.prod · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Απρ 13, 2020 11:30 pm Μεταφέρω τη παρακάτω άσκηση με πολλή επιφύλαξη ως προς τη μετάφραση.

Δίδεται πίνακας $A \in \mathcal{M}_n \left( \mathbb{C} \right)$ τέτοιος ώστε

$\displaystyle{ A \det A + A^* \det A^*=i \left( A+ A^* \right)}$
Να δειχθεί ότι $\det A =0$ αν ο περιττός.

Καλησπέρα. Δίνω μια λύση με μία, κάπως κλασική θα έλεγα, τεχνική.

Κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι $detA^*\neq i$ , καθώς τότε, ο θα είχαμε $detA=\overline{detA^*}=-i \Rightarrow A=O_n$ , που είναι άτοπο.
Πολλαπλασιάζοντας τώρα τη σχέση με

από αριστερά και δεξιά και συγκρίνοντας, έχουμε ότι (detA^*-i)AA^*=(i-detA)A^2=(detA^*-i)A^*A

, που δίνει άμεσα ότι ο

είναι κανονικός. Συνεπώς, αν $\lambda_1,...,\lambda_n$ οι ιδιοτιμές του, υπάρχει unitary πίνακας

τέτοιος ώστε A=U^*DU

, όπου $D=diag(\lambda_1,...,\lambda_n)$ .
Από αυτή τη σχέση, και πολλαπλασιάζοντας δεξιά με U^*

και αριστερά με

έπεται ότι DdetD+D^*detD^*=i(D+D^*)

.
Δηλαδή, οι ιδιοτιμές $\lambda_k$ ικανοποιούν τη σχέση $d\lambda_k+\overline{d\lambda_k}=i(\lambda_k+\overline{\lambda_k})$ , όπου $d=detD=\lambda_1\cdots\lambda_n$ .
Επειδή το άθροισμα ενός αριθμού και του συζυγούς του είναι πραγματικός αριθμός, είναι $d\lambda_k+\overline{d\lambda_k}=\lambda_k+\overline{\lambda_k}=0$ , για κάθε k=1,2,...,n

. Αυτό δίνει ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι φανταστικοί αριθμοί, και, επειδή ο

είναι περιττός, η ορίζουσα του

θα είναι επίσης φανταστικός αριθμός, δηλαδή $\overline{d}=-d$ .
Αν, τώρα $d\neq0$ , θα είναι $\lambda_k=\overline{\lambda_k}$ , για κάθε

, που δίνει ότι όλες οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές.
Αφού είναι, όμως, όλες φανταστικές, είναι προφανώς όλες ίσες με

, και αυτό δίνει το ζητούμενο άτοπο.

#4

Έστω $\det(A) = z$ . Τότε έχουμε $zA + \bar{z}A^{\ast} = i(A+A^{\ast})$ . Παίρνοντας conjugate transpose έχουμε επίσης και $\bar{z}A^{\ast} + zA = -i(A^{\ast} + A)$ . Οπότε καταλήγουμε ότι $A + A^{\ast} = 0$ . Αλλά τότε είναι και $zA + \bar{z}A^{\ast} = 0$ . Από αυτά τα δυό παίρνουμε $(z-\bar{z})A = 0$ . Αν A = 0

τότε τελειώσαμε. Αλλιώς ο

είναι πραγματικός. Όμως τότε έχουμε

$\displaystyle z = \det(A) = \det(-A^{\ast}) = (-1)^n\det(A^{\ast}) = -\bar{z} = -z$

αφού

περιττός. Άρα $\det{A} = z = 0$ όπως θέλαμε.

Μηδενική ορίζουσα

Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Re: Μηδενική ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση